草根受邀在下班后参加了一次YW业余数学教研小组的研题活动，几位热爱数学教学的年轻朋友相聚一堂，共同钻研、互相学习，这是一道大家当天研究的几何证明问题，大家群策群力，想出四种不同解法，在此罗列，供参考。
如图，△ABC是边长为的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长
思路一：翻折
CD可以认为是∠BCA的平分线，于是想到在边CB截取CE=CN，
构造△CDN≌△CDE，同时可得AN=BE
由于题目要求的是△AMN的周长，把三边汇集到一条边上，自然是重要策略之一，于是想到利用BD是∠ABC的平分线上，再次把BN'即AN翻折到边AB上。
在BA上截取BF=BE，联结FD，
构造△BDE≌△BDF
最后的目标是证明△MND≌△MFD，
由于MD是公共边，ND=DE=DF，
所以最终目标锁定
证明∠NDM=∠FDM。
如下图，黄 红=120°,2黄 2红=240°，
所以∠FDN=120°，
∠MDN=∠MDF=60°
思路二：旋转
怎么用好∠MDN=60°呢？
尝试延长ND交BC于点E，
则∠NDE=∠BDC=120°，
得∠MDB=∠EDC，
配上BD=DC，∠MBD=∠DCE=30°，
可证△BDM≌△DEC，
相当于将△MDB绕点D逆时针旋转120°
与之对应，亦可构造△BDF≌△NDC
有了两次全等铺垫，
不难发现MD=DE，DN=DF，
接下去的目标就要证明△MND≌△DEF
易证红 黄=180°,则红弧 黄弧=180°
而∠BDC=120°，
红弧、黄弧重叠部分：
∠EDF=60°=∠MDN
最后梳理线段关系，由于MB=EC，所以BE=AM；由于NC=BF，所以FC=AN，再配上MN=EF，成功！
思路三：划归
本题与下题很类似：
如图，已知△ABC是边长为9的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交边AB于点M、交AC于点N，联接MN，求△AMN的周长。
于是想到能不能将本题划归为这道经典问题？
延长CD、BD交边AB、AC于点E、G，
易证∠BEC=∠BFC=90°，∠EDG=120°，
成功转化，后续证明方法笔者仅提供辅助线及全等提示，相信稍具几何证明功底的朋友都见过此题。
将遇到的新的几何问题划归为经典问题算不算“赖皮”？笔者认为姑且不谈抓到老鼠都是好猫，这至少说明做题者对于经典问题的熟悉，并且能够将其引申，这其间同样体现了数学思维。
思路四：本质
聆听了大家的讨论，笔者突然有所顿悟，发现其实图中的点D并不简单！它实际上就是△ABC的外心（等边三角形，内心、重心、外心、垂心四心共点），那联结AD后，AD、BD、CD皆是△ABC外接圆的半径，他们都相等！
利用此，可以直接将△AMD、△AND绕点D旋转使得AM、AN皆落到边BC上！
比如在BC上截取BE=AM、CF=AN，联结DE、DF即可轻松证明△AMD≌△BDE，△AND≌△DFC，
得：DM=DE,DN=DF
得：∠MDA=∠BDE,∠ADN=∠FDC
∠BDE ∠FDC=60°,∠EDF=∠MDN=60°
从而证明：△MDN≌△DEF
四种解法优劣大家自有评议，但若能挖掘出数学问题的本质属性，确能更通透地理解其各种不同解法，这是大家共同的收获！
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