兀

一个神秘的常数，时至今日我们仍然无法完全理解



 



数学与控制论学习笔记

5小时前 · 山西大学数学科学学院教授





π 的来源与计算

数学中，几乎没有哪一个常数能像 π 一样拥有丰富的研究历史。早在两千多年以前，人们就在对圆的研究中发现了 π，因此 π 又称为圆周率。在求圆的面积和周长的过程中，人们遇到了两大难题：如何求圆的面积与半径平方之比；如何求圆的周长与直径之比。当时人们并不知道它们是相等的。直到公元前 3 世纪，古希腊数学家阿基米德才在其手稿《圆的测量》中给出了它们的关系：

任何一个圆的面积都可以等于一个直角三角形的面积，这个直角三角形的一条直角边为圆的半径，另一条直角边为圆的周长。

通过上面的命题，阿基米德便将圆的周长、面积和半径联系起来，从而可以推出圆的面积与半径平方之比和圆的周长与直径之比是相等的。正是这一命题，让 π 的概念怀胎形成，他将人们遇到了两大难题合二为一。在上述命题的基础之上，阿基米德证明了:



在《九章算术》中，我国数学家也对 π 进行了估计。文中有这样一个问题：设有一圆形土地，其周长为 181 步，其直径为 60+1/3步，求其面积。《九章算术》的解法为：“取周长之半乘以半径，即得圆之面积，以步记之。”这些描述与阿基米德的命题几乎如出一辙。《九章算术》也给出了 π 的估计：π = 3。

到了公元 3 世纪（约东汉年间），刘徽在点评《九章算术》时指出：π = 3 是不对的，因为正六边形的周长与直径之比为 3, 而正六边形的周长显然小于对应圆的周长。刘徽这样写道：“圆与正多边形之间的差别正如弓与弦之间的差别，两者永远不会重合，然而这样一个错误却被代代相传，谁也没有花心思加以检查。”刘徽正式将 π 称为圆周率，并用内接正 96 边形的周长来近似圆的周长，从而得到了圆周率的估计：



显然，这一估计与阿基米德的估计 (1.40) 非常吻合。刘徽和阿基米德，两位伟大的数学家，尽管时隔百年，天各一方，但却有着完全相同的想法，这是多么令人吃惊的事实啊！



刘徽求取 π 的办法称为“割圆术”。在圆内做正多边形，边数越多，它的周长就和圆的周长越接近，从而得到更精确的圆周率。刘徽可谓数学痴才，他并没有像阿基米德一样就此止步，竟然做到了正 3072 边形，得到了如下结果：



而 3.1416 正式我们现在使用的 π 的标准近似值。或许刘徽就是使用标准近似值的第一人。

在祖冲之（429-500）面前，刘徽的正 3072 边形或许只是小儿科，祖冲之推广了刘徽的“割圆术”，做到了圆的内接正 49152 边形，得到了著名的圆周率估计：在 3.1415926 和 3.1415927 这两个数之间。祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后 7 位的人，比欧州人早了 1000 多年，这是多么了不起的贡献啊！

时至今日，我仍然想不出祖冲之计算圆周率的动力何在，或许他们都是数学痴才。他们都为数学而痴狂，这么做仅仅是出于对数学的痴爱吧。历史上类似的痴才还有很多，英格兰有个业余数学家 William Shanks(1812-1882) 可谓当之无愧的数学痴人，他竟然计算了 π 的 707 位数值。然而悲催的是这哥们在计算第 527 位时犯了悲剧性错误，因此后面的一百多位数全错了。当时还没有计算机，能算到如此多位数，究竟是什么动力在支持他做如此巨量的数学计算呢？这实在令人费解。现在，借助于计算机，计算 π 的位数已经突破一万亿大关。

神秘莫测的 π

“割圆术”仅仅是计算 π 的一个小技巧，远远没有触及 π 的奥妙。大约在1500 年以前印度有位佚名数学家发现了一个优美的公式，掀开了 π 的神秘一角。



π 可以看作是一个几何概念，来源于圆的面积和周长的计算；π 还是一个重要的常数，在数论中有重要的地位；而 (1.43) 还用到了级数这个数学工具。因此公式(1.43) 是如此之优美，三条浩瀚的数学支流在这里汇合：几何，数论和分析学。从不同的数学分支来看这一公式，会有不同的体会。可谓横看成岭、侧看成峰、优美至极！看到这样的公式之后，阿基米德，祖冲之和刘徽想必会目瞪口呆！

微积分发现之后，寻找 π 的类似于 (1.43) 的表达式变的相对容易了。欧拉在 1734 年证明了：



等式 (1.44) 的右端正是大名鼎鼎的黎曼猜想中 ζ 函数在 x = 2 处的值，即



谁能知道 π 之后是否隐藏着打开黎曼猜想的钥匙呢！对于每一个大于 1 的正整数 k, 如何具体地求出 ζ(k) 是极其困难的，至今仍未彻底解决。莱布尼兹和贝努利等数学家都曾经尝试求 ζ(2)，但都没有成功。

即使在数学已经高度发达的今天，π 仍然还有很多不为人们所知的事实。1995 年，贝利 (David Bailey,1948-)，波温 (Peter Borwein,1953-) 和普劳夫 (Simon Plouffe, 1956-)发现了一个关于π 的全新公式，它或许有资格和欧拉发现的(1.44)相媲美。这个公式的奇妙之处在于它具有“自我修正”功能。也就是说，当你像前文那个被催数学家 William Shanks 一样在计算 527 位出错时，你后面的计算仍然有效。就像 GPS 导航一样，当你某一步走错时，导航还会把你纠正到正确的轨道上来。这一点真的让人匪夷所思。

π 的无理性和超越性

除了上面的讨论之外，数字 π 还隐藏着更深层次的秘密。它不但是无理数而且还是超越数[注记1] 。 古代数学家们对 π 是无理数的事实失之交臂，因此失掉了完备化实数的机会。1761 年德国数学家兰伯特 (Lambert, 1728-1777) 证明了 π 确实是无理数。林德曼 (Ferdinand Lindermann,1852-1939) 证明了 π 是超越数。这样，林德曼解决了古希腊人提出的化圆为方的问题，即：是否能够仅仅通过简单的几何操作花出一个正方形，使其面积恰好等于一个已知圆。

下面我们给出 π 是无理数的一个简洁而又巧妙的证明。让我们通过这个证明来体会数学的优美和巧妙吧。

我们用反证法. 如果 π 为有理数, 令 π = a/b, 其中 a,b 均为整数且 b > 0. 对任意正整数 n, 构造多项式



我们先来研究该多项式的各阶导数在 x = 0 以及 x = π 处的值.为此, 先回忆一下一个多项式的系数与其各阶导数的关系. 假设









读者可能会感到这个证明太有些突发奇想甚至于不可思议了, 怎么就会想到构造那么一个多项式 f(x) 呢? 我们要说的是, 这个所谓过于灵巧的证明, 实际上也是经过了几代数学家的集体努力和共同探索, 最后才找到和定型的, 它是集体智慧的结晶.

[注记1]实数可以分成有理数和无理数两大类, 但每个无理数是否都能由有理数的代数运算而得到,亦即每个无理数是否都是有理系数多项式的根这样一个基本问题直到 19 世纪中叶仍然没有得到解决. 如果一个数能是某个整系数多项式的根, 则称该数为代数数, 否则就称为超越数.