《高中物理思维方法集解》试笔系列—— “万有引力”与“卫星的运动”㈡

    

本文是“万有引力”与“卫星的运动”的计算题部分，解决此类问题需具有较强分析问题的能力和灵活运用数学工具的能力。

一、破解依据

㈥ 同步卫星：

⑴线速度

；

⑵角速度

；

⑶周期

；

⑷向心加速度

；

⑸轨道半径

；

⑹对地高度

；

㈦万有引力与重力：⑴地面上的物体，引力为

；向心力

；重力

。其中，

为地面某点的纬度。⑵同纬度、高空中的物体，，不计自转，引力等于重力，且随高度增加而增大。

㈧功能关系：卫星轨道半径（或高度）增加，由于克服引力做功，因而动能减少；反之则反。不计发射过程由于大气阻力所致能量损失，系统的机械能守恒。

二、精选例题

㈢计算题

[例题16]（03天津）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=

。向该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G=6.67×10^－11m3/）

 

 

 

 

 

 

[例题17]（04广东）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。

 

 

 

 

 

[例题18]（06江苏）如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为

_o，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。                   

（1）求卫星B的运行周期。

（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？

   

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题19]（07上海物理）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10m/s²，空气阻力不计）

（1）求该星球表面附近的重力加速度g’；

（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R_星:R_地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M_星:M_地。

   

 

 

 

 

[例题20](04浙江)在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ₀，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r₀的均匀球体。

 

 

 

 

[例题21]（07广东物理）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为r_A＝8.0×10⁴ km和r _B＝1.2×10⁵ km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）

⑴求岩石颗粒A和B的线速度之比；

⑵求岩石颗粒A和B的周期之比；

⑶土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×10⁵ km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×10³ km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

     

   

 

 

[例题22]（06广东物理）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为

。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

    

 

 

 

 

 

[例题23]（06天津）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率

和运行周期T。

（1）可见星A所受暗星B的引力

可等效为位于O点处质量为

的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为

、

，试求

（用

、

表示）；

（2）求暗星B的质量

与可见星A的速率

、运行周期T和质量

之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量

的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率

，运行周期

，质量

，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（

）

 

 

 

 

 

 

[例题24]（08宁夏）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）

 

 

 

 

 

 

[例题25]（08全国Ⅱ）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R₁，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r₁，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。

 

 

 

 

[例题26]（09天津）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S₂绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50

10²天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S₂星的运行周期为15.2年。

(1)   

若将S₂星的运行轨道视为半径r=9.50

10²天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M_A是太阳质量M_s的多少倍(结果保留一位有效数字)；

(2)   

黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为E_p=-G

(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7

10^-11N·m²/kg²，光速c=3.0

10⁸m/s，太阳质量M_s=2.0

10³⁰kg，太阳半径R_s=7.0

10⁸m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R_A与太阳半径

之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。

 

 

 

 

 

 

 

   [例题27]（2009全国Ⅱ）

如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为

；石油密度远小于

，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。

⑴设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），

=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

⑵若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在

与

（k>1）之间变

 化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、参考答案

⒗[解析]考虑中子是赤道外一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

    设中子星的密度为

，质量为M ，半径为R，自转角速度为

，位于赤道处的小块物

为m，则有

                   

-----① 

 ---------②  

------③

 由以上各式得 

                    

--------④ 

代入数据解得       

⒘[解析]设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，有：

                     

---------①

     春分时，如图所示，圆E表示轨道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心，由图可以看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它，据此再考虑对称性，有

 ----------②

-------------③

---------④

由以上各式解得      

⒙[解析]由万有引力定律和向心力公式得

 

              

联立①②得          

（2）由题意得       (ω_B-ω₀) t =2π -----------------------④

由③得     

代入④得        

⒚[解析] （1）t＝，所以g’＝g＝2m/s²，

（2）g＝/，所以M＝，可解得

M_星:M_地＝1´1²:5´4²＝1:80

⒛ [解析]我们不难列出以下四式
GMrm₀₂′ = m′g′  --------------------①          

GMrm₂ = m( 2π  )²r  -----------②
υ₁² =2 g′h                     ----------------③            

 υ= √υ₁² +υ₀²  ----------------④

联立可得        υ =√8π²₂h r₀² r³ +υ₀²                

21.[解析]⑴设土星质量为M₀，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 

由此解出               

对于A、B两颗粒分别得

和

进而得到             

⑵设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：

 

对于A、B两颗粒分别得

和

 

从而可得         

⑶设地球质量为M，地球半径为r₀，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m₀，在地球表面重力为G₀，距土星中心r₀^/＝3.2×10⁵ km处的引力为G₀^/，根据万有引力定律：

 

 

由此解得             

    22.[解析]（1）对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：

F₁=

，  F₂=

---------------①

F₁+F₂=mv²/R------------------------------②                                                               

运动星体的线速度      v=

                                          

周期为T，则得

T=

 --------------------------③

T=4π

. ---------------------④

(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为

R′=

 ----------------------⑤

 

由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供.由力的合成和牛顿运动定律得

F_合=

--------⑥                                           

F_合=m

R′---------------- ⑦

由④⑤⑥⑦式得

r=

R.

23. [解析]（1）设A、B的圆轨道半径分别为

、

，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为

。由牛顿运动定律可得

   

    

设A、B之间的距离为

，又

，由上述各式得

------------①   

由万有引力定律，则有

，

将①代入得

   

令

    比较可得

 -------------------②

（2）由牛顿第二定律，则有

----------- ③

星A的轨道半径 

 --------------------④

由②③④式解得

--------  ⑤

（3）将

代入⑤式，得

代入数据得

------------ ⑥

设

，将其代入⑥式，得

------- ⑦

可见，

的值随

的增大而增大，试令

，得

 ------------------------------------⑧

若使⑦式成立，则

必大于2，即暗星B的质量

必大于2

，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。

 

24. [解析]设两颗恒星的质量分别为m₁、m₂，做圆周运动的半径分别为r₁、r₂，角速度分别为w₁,w₂。根据题意有

                            w₁=w₂-----------------------------①

                                                        r₁+r₂=r-----------------------------②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

                            G

---------------③

G

----------------------④

联立以上各式解得

-----------------------------⑤

根据解速度与周期的关系知

                           

-----------------------------⑥

联立③⑤⑥式解得

                    

25. [解析]如图，O和O^/分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO^/与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在

运动时发出的信号被遮挡。

设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有

 -----------------------①

 --------------------②

式中，T₁是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得

           

  -----------------------------③

设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有

          

   ------------------------------------④

式中，

，  

 。由几何关系得

        

 -------------------------------------⑤

        

  ------------------------------------------⑥

由③④⑤⑥式得

  --------------------⑦

注：

的也同样给分。

    26．[解析] （1）S2星绕人马座A^*做圆周运动的向心力由人马座A^*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m_S2，角速度为ω，周期为T，则

                

 -------------------①

                

-------------------------------------②

设地球质量为m_E，公转轨道半径为r_E，周期为T_E，则

                

 -------------------------③

综合上述三式得

 -------------------------④                           

       在④式中T_E=1年 , r_E=1天文单位。代入数据可得                                            

                                                      

                

--------------------------  ⑤                                       

       （2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有

                 

---------------⑥                                    

依题意可知

，

，从而

                 

--------------------- ⑦                                         

代入数据可得    

----------------- ⑧

                                                       

        已知

，即可求出          

---------------------- ⑨ 

注：本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“黑洞”“引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。                                        

    27．

[解析] (1)本题考查万有引力部分的知识

。如果将近地表的球形空腔填满密度为

的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力为

………①

式中的m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,而

……………②

显然，r指球形空腔中心O至Q点的距离

………③

若以

表示由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,则重力加速度反常

是这一改变在竖直方向上的投影                                                               
                     

………④

联立①②③④式得

,…………⑤

(2)由⑤式得,重力加速度反常

的最大值和最小值分别为

……⑥

…………⑦

由题设有        

……………⑧

……⑨

联立以上⑥⑦⑧⑨,即可求出地下球形空腔球心的深度和空腔的体积

,

。