物体的平衡问题,是高中物理的一个重要内容。而分析和解决此类问题,不仅需要解题者能牢固把握物体平衡的规律,而且必须具有熟练利用数学工具解决物理问题的能力。
一、破解依据
欲破解此类问题,须用物体的平衡条件,即所谓合力为零。但宜“视具体情况”,以比较灵活的思维方式对待,即:
㈠诸力平衡时沿任一“作用线”的合力为零;反之亦然。即F合=0
㈡诸力平衡时沿任意两条“正交直线”的合力均为零;反之亦然。即Fx合=0,Fy合=0。
㈢相互平衡的几个力必能组成一个封闭多边形。
㈣诸力平衡时沿任意两条“斜交直线”的合力均为零;反之亦然。即F/x合=0,F/y合=0,另作别论。(注:“作用线”、“直线”均指选定的坐标轴)
求物体所受合力时,可采用平行四边形定则(三角形定则)、正交分解法或斜交分解法等等,并且都有作图、计算两种方式。
二、解题示例
㈠诸力平衡时沿任一作用线的合力为零
[例题1](’04全国、广东)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图—1所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为
C.
因此,本例答案为:选A。
解法二:参照图—2(右),依勾股定理可得
把
[点拨]由此推广可得,若物体平衡,则沿任一力的作用线的合力为零。如果我们能灵活应用这一结论,则常可获取神奇的效果。尽管“三力平衡”问题近年稍受“冷落”,但应强调其仍不失为高考的重点。
A.
B.
C.
D.
[解析]首先,分别求出各力在竖直、平行于斜面等两方向的“投影”——分力(图略),用类似“同一直线上力的合成”求解。由“依据”㈠,可得
由于
[解析]由于是“轻质”球,故不考虑重力作用,进而作出球的受力示意图—5。然后,考虑到力的“对称性”,由“依据”㈠、摩擦力定义得
再由几何关系可得
最后,联立①②③式,不难求出以下结果
[点拨]例2、例3两题的处理方法,与例1“解法二”相同,可试称谓“投影法”。亦可视为“正交分解法”的灵活应用。应用此种方法解题,常可获取神奇效果。若按常规思路作图求解,则繁杂琐碎,不太随心应手。
㈡诸力平衡时沿任意两条正交直线的合力均为零
A.
|
联立①②③④式,即可求出
因此,本例答案为:选A。
[点拨]此例为应用正交分解法解答的“典型”平衡问题。解题时,我们首先选用了水平、竖直的直角坐标系对两球做受力分析,然后根据各力沿两轴的合力均为零列出方程组,问题即容易解决。
[例题5](’05全国)一重为G的小球,套于竖直放置的半径为R的光滑大圆环上,一劲度系数为k,自然长度为L(L>2R)的轻质弹簧,其上端固定在大圆环的最高点,下端与小球相连,如图—8所示,不考虑一切摩擦,求小球静止时弹簧与竖直方向的夹角。
[解析]首先,分别在沿小球的圆的切线、法线两方向建立平面正交坐标系,作出受力示意图,如图—9所示。然后,由“依据”㈡、数学知识可得
设静止时弹簧长度为L/,则
[点拨]原则上说,物体平衡问题大都能够以正交分解法求解。若作图如图—10,则由数学可知,△AOB∽△BNS。从而
由此亦可求出相同的结果。而后者更加节时省力,简便快捷,备感妙趣风生。由此可见,用正交分解法解题也大有不便之处。
A.FN不变,f变大 B.FN不变,f变小
C.FN变大,f变大 D.FN变大,f变小
[解析]分析受力作出示意图—12。再把两环、细绳作为“整体”研究,由“依据”㈡可知,小环P所受支持力等于2mg即
其中,FN、FN/分别为环P、Q所受支持力。由①式可知,FN大小不变。
然后,依“极限思维”分析,当环P向左移至O点时,环Q所受的拉力T、支持力FN/逐渐减小为mg、0。由此可知,左移时环P所受摩擦力将减小。
因此,正确的答案为:选B。
[点拨]应该说,静力学中存在着大量的类似此例的“连接体”问题。解题思维方法,无非为“整体”、“隔离”两种分析方法的交替使用,至于是先“整体”、还是“隔离”,则因题而异,变通确定。
㈢相互平衡的几个力必能组成一个封闭多边形
[例题7](’06上海)如图—13所示,用垂直于斜面BC斜向左下方的推力F,将质量为m,横截面积为直角三角形的物块ABC,顶靠在竖直墙面上,使物体保持静止不动。设∠ABC=30°,则物块受到的摩擦力大小为多少?
再结合题意,由数学可知,
从而,不难求出
[例题8](高考模拟题)如图—15所示,一物体放在斜面上处于静止状止状态。先加一水平推力F,若在推力F从零开始逐渐增大的过程中,物体仍保持静止,则下列判断中正确的是 ( )
B.斜面对物体的支持力一定增大
C.物体在水平方向所受合力一定增大
[解析]由于“物体仍保持静止”,由“依据”㈢,可得如图—16之封闭四边形。
由图可知,随水平推力F的增大,斜面的支持力N一定增大,静摩擦力f先减小,后转变方向再逐渐增大。因物体始终处于静止状态,故合力为零,不发生变化。因此本例答案:选B。
[点拨]应该指出,无论物体受几个力作用,只要满足物体的平衡条件,即物体处于匀速直线运动或静止状态,所有各力都可组成一个完全封闭的多边形。但是,作图时必须弄清每个力的确切方向,否则稍有疏忽,即会功亏一篑,导致解题的失败。
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