《高中物理思维方法集解》试笔系列

                “通电导体”在磁场中的“直线运动”

　　　　　　　              山东平原一中     魏德田    253100

在这里，所谓“通电导体”，指处于磁场当中通电的导线、棒、圆环、线圈等等。我们知道，“通电导体”（下文多称“通导”）在磁场中往往受到磁场的安培力，若再加之于重力、外力等，则形成合力。从而，可产生各种形式的运动（包括静止）或形变。若合力具有功和冲量，则必然地伴随着能量、动量的变化。因此，解决此类综合问题均宜运用磁场的基本概念和规律，再联系已学过的力、电、热学等知识，才能较好的予以分析和解决。下面，先来讨论“通导”在磁场中的直线运动。

一、  解题依据

解决此类问题，试归纳为以下几条“依据”：

㈠判断“磁强”（或磁场）方向，用安培定则。

㈡欲求安培力F的大小：①用公式F=BILsinθ（或F=BIL），②间接用力学规律等。

㈢判断F的方向，用左手定则。⑴若B、I、F“两两垂直”，则B正向穿入手掌；I、F分别与四指、大指同向。若B、I仅有之一变化方向，则F随之改变。或者用F总垂直于B、I所决定的平面判断。⑵若B与I不垂直，则正交分解B(或I)，再取B与I的垂直分量，作为“两两垂直”对待。

㈣ 关于“通导”的三种运动状态，“平衡”（详见前文）、“加速运动”和“转动”等，宜分别用“平衡条件”、“牛顿定律和运动方程”、“曲线运动规律”和“力矩知识”等处理。

㈤若仅有安培力对“通导”做正功，则机械能增加；而电源的电（势）能减少，其量值等于电流做的功（直流电路最终导致系统“内能变化”）与“通导”机械能的增加之和；反之，则反之。当涉及功率时，作类似处理即可。

㈥机械力、安培力的“合力”与速度方向的关系，共同决定了“通导”的运动轨迹、加（或减）速；而功量、冲量的计算以及动量、动能等变化问题，则分别用动量定理、动能定理等解决。

㈦若满足相应条件，则宜用系统能量、动量、质量、电荷等守恒定律。

不尽之处，请参考力学、电场、恒定电流、磁场等内容。

                    二、解题示例

 

[例题1]（’03上海）如图—1所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R₁= 4Ω、R₂=8Ω（导轨其它部分电阻不计）。导轨OAC的形状满足方程

（单位：m）。磁感强度B=0.2T的匀强磁场方向垂直于导轨平面。一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速率v=5.0m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，棒与导思接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计棒的电阻。求：

（1）外力F的最大值；

（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R₁上消耗的最大功率；

（3）在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系。

[解析][⑴首先，由“依据”㈡、㈢可知，在“通导”匀速运动的全过程中，安培力F_B与外力F_max始终保持平衡。从而，应用“依据”㈣（即平衡条件）可得

又，由数学可知，当

即

时，曲线

有极大值，亦即

           

联立①②③④式，再代入已知数据，即可求出

           

⑵其次，只应用功率公式，即可解得  

⑶然后，显见金属棒的“有效切割长度”L应满足方程

  

同时，我们很容易写出以下两式

最后，再联立③⑤⑥⑦式，求出滑动过程中金属棒内的电流I与时间t的关系为

[点拨]此例为安培力作用下“通导”的匀速运动问题。欲求正确的结果，需综合运用力学、电学的许多重要概念和规律，但最值得强调的是，三角函数知识在解题过程中发挥了极其重要的作用。

[例题2](’06北京)磁流体推进船的动力来源于电流与磁场间的相互作用。图1是在平静海面上某实验船的示意图，磁流体推进器由磁体、电极和矩形通道（简称通道）组成。

       如图—2所示，通道尺寸

。工作时，在通道内沿z轴正方向加

的匀强磁场；沿x轴负方向加匀强电场，使两金属板间的电压

；海水沿y轴方向流过通道。已知海水的电阻率

。

       ⑴船静止时，求电源接通瞬间推进器对海水推力的大小和方向；

       ⑵船以

的速度匀速前进。若以船为参照物，海水以

的速率涌入进水口，由于通道的截面积小于进水口的截面积，在通道内海水速率增加到

。求此时两金属板间的感应电动势

；

       ⑶船行驶时，通道中海水两侧的电压按

计算，海水受到电磁力的80%可以转化为对船的推力。当船以

的速度匀速前进时，求海水推力的功率。

[解析]⑴首先，分析可知，当电源接通瞬间，即同时产生沿x轴负方向的电流I₀。应用“依据”㈡、欧姆定律，可知推进器对海水的安培推力F₀的大小为

其中，R表示流入通道的海水的电阻。再把已知数据代入①②式，即可求出

               

由“依据”㈢可知，F₀沿y轴正方向。

       ⑵其次，根据电磁感应定律，易得

       ⑶然后，欲求题设功率，先求系统工作时海水对船的安培推力。设此时电流为I，安培推力的大小为F，同理可得

              

联立②③④⑤式，不难求出

              

           

    考虑到系统的工作效率，再由功率公式，即可求出实际功率为

                 

    [点拨]我们知道，在电场作用下有大量水分子被电离，生成的正、负离子，则可分别向负、正金属板移动；从而形成沿x轴负方向的电流。若弄清流经通道的海水，亦可作为“通导”来对待，解决此题就没有多少困难。

       [例题3]（’04广东）如图—3，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,导轨间距离为

，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m₁、m₂和R₁、R₂,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度V₀沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。

[解析]首先，分析可知当两杆自左向右运动“达到稳定状态时”，两者必定具有确定的“相对速度”，而并非相对静止。因此，在此状态下回路中仍有电流。设F表示拖动杆1的外力，针对“杆1、杆2”的“整体”，由“依据”㈣（“通导”平衡条件），可得

           

    

  

其次，对杆2“隔离”分析，设回路的电流为I，同理又得

              

      

然后，再设杆2克服摩擦力做的功率为P_μ2，外力的功率为P_F。从而，考虑到机械、电（即热）功率等公式，应用“依据”㈦（即能量守恒定律），可得

          

 

最后，联立解①②③式，即能求出以下结果

[点拨]对两杆系统“整体分析”可知，此运动过程类似于汽车等在恒定功率时，所做的“变加速起动”。由于系统“相对速度”的变化，导致回路感应电动势及电流发生相应变化，两杆所受安培力尽管大小相等，而时刻不同。因此，物理场景令人眼花缭乱，捉摸不定。但是，只要明确“稳定状态”即“相对速度”不变，难点即可突破，结果则顺势而下。

[例题4]（经典试题）如图—4所示，水平放置的光滑平行导轨，相距为L，导轨所在平面距地面高度为h，导轨左端与电源相连，右端放有质量为m的静止的金属棒，竖直向上的匀强磁场的磁感应强度为B，当电键闭合后，金属棒无转动地做平抛运动，落地点的水平距离为s。求：电路接通的瞬间，通过金属棒的电荷量为多少？

[解析]首先，我们看到当电路接通的瞬间，金属棒即开始做平抛运动。设其初速度为v，运动时间为t。从而，由“依据”㈣（平抛运动规律）可得

       

然后，再由“依据”㈡㈢和㈥（即动量定理），又得

       

最后，由①②③式，不难求出

       

[点拨]分析可知，在求得金属棒平抛的初速度之后，进而求题设电荷量，我们必须知道安培力的冲量大小。而，此量的获取，则应借助于动量定理。

[例题5]（高考模拟）如图—5所示为利用电磁作用输送非导电液体装置的示意图。一边长为L、截面为正方形的塑料管道水平放置，其右端面上有一截面积为A的小喷口，喷口离地的高度为h，管道中有一绝缘活塞，在活塞的中部和上部分别嵌有两根金属棒ab，其中棒b的两端与一电压表相连；整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。当棒a中有垂直纸面向里的恒定电流I时，活塞向右匀速推动液体从喷口水平射出，液体落地点里喷口的水平距离为s。若液体的密度为ρ，不计所有阻力。求：

⑴活塞移动的速度；⑵该装置的功率；⑶磁感应强度B的大小。

[解析]⑴首先，应用“依据”㈡、㈢，易知活塞受安培力的方向是水平向右的。由伯努利方程可知，活塞移动的速度与液体喷出的速度大小必定不同。显然，液体自管口喷出后作平抛运动。

其次，设液体由喷口射出的速度为v₀,活塞的速度为v。由平抛运动规律，可得

由于液体不能被压缩，因而管内、喷口的液体的流量是相同的。从而，又得

联立①②③式，即可求出

                 

⑵然后，设在

时间内有质量为

的液体自喷口射出，再设整个装置的功率为P。从而，由动能定理，可得

            

再联立④⑤式，则不难求出

           

⑶再后，由“依据”㈦（即能量守恒）可知，安培力做功只能消耗该装置的电势能，该装置的功率等于安培力的功率。从而，可以写出下式

           

    最后，我们由⑥⑦两式即可求出“磁强”的大小为 

           

        

[点拨]例4、例5两个问题的解决，虽皆联系到平抛运动的知识，而亦有所不同。前者重在“冲动关系”的分析，应用动量定理；后者则重在“功能关系”的分析，改用动能定理。    

[例题6] （’05北京）下图—6是导轨式电磁炮实验装置示意图。两根平行长直金属导轨沿水平方向固定，其间安放金属滑块（即实验用弹丸）。滑块可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨保持良好接触。电源提供的强大电流从一根导轨流入，经过滑块，再从另一导轨流回电源。滑块被导轨中的电流形成的磁场推动而发射。在发射过程中，该磁场在滑块所在位置始终可以简化为匀强磁场，方向垂直于纸面，其强度与电流的关系为B=kI，比例常量k=2.5×10^－6T/A。

已知两导轨内侧间距l=1.5cm，滑块的质量m=30g，滑块沿导轨滑行5m后获得的发射速度v=3.0km/s（此过程视为匀加速运动）。

⑴求发射过程中电源提供的电流强度

⑵若电源输出的能量有4%转换为滑块的动能，则发射过程中电源的输出功率和输出电压各是多大？

⑶若此滑块射出后随即以速度v沿水平方向击中放在水平面上的砂箱，它嵌入砂箱的深度为s'。设砂箱质量为M，滑块质量为m，不计砂箱与水平面之间的摩擦。求滑块对砂箱平均冲击力的表达式。

   [解析]⑴首先，应用“依据”㈡、㈢和㈣（即牛二定律和运动公式），分析可得 

              

把已知数据代入①②式，即可求出

              

    ⑵其次，设电源的输出功率为P，发射所需时间为

。由于已知输出效率

，

应用“依据”㈥（即动能定理），又得

由③④式即可求出电源输出的功率为

再由功率公式P=IU，解得输出电压

 

⑶接下来，对“砂箱和滑块”系统受力分析可知，系统水平动量守恒。从而，应用综合“依据”㈦（即动量守恒），可得

     显然，在完全弹性正碰当中，由应用“依据”㈥（即动能定理），可知系统克服耗散力所做的功（注：等于“耗散力”与“相对位移”之积）等于其损失的动能（导致内能增加）。从而，可写出下式

             

最后，由⑤⑥式求出“滑块对砂箱平均冲击力”

[例题7]（’07北京模拟）如图—7所示，两根竖直的平行光滑导轨MN、PQ，相距为L。在M与P之间解有定值电阻R。金属棒ab的质量为m,水平搭在导轨上，且与导轨接触良好。整个装置放在水平匀强磁场中，磁感应强度为B，金属棒和导轨电阻不计，导轨足够长。

⑴若将ab由静止释放，它将如何运动？最终速度为多大？

⑵若开始就给ab竖直向下的拉力F，使其由静止开始向下做加速度为a(a＞g)的匀加速运动，请求出拉力F与时间t的关系式？

[解析]⑴首先，由“依据”㈡、㈢和综合“依据”㈣，分析可知“通导”ab在重力、安培力作用下做加速度逐渐减小的加速运动。当安培力增至与重力相等时，其速度达到最大

而加速度

则减小为零。从而，结合电磁感应定律，可得

            

 

由①②式，即可求出

           

⑵其次，分析可知“通导”ab受力情况如图—8所示。由综合“依据”㈣（即牛二定律），可得

           

   最后，联立③④⑤式，即可求出以下结果

          

   [点拨]有人说，解决机械力、电场力、安培力等作用下“粒子”、“通导”等运动问题，除开电、磁场特定条件不同而外，在解题思路、方法、过程和重要步骤等方面，与用力学的基本概念和规律解决力学问题相差不多。综上所述，则略见一斑，此言真可谓不虚。 

                                                (2017-08-04  经典重发)