《高中物理思维方法集解》试笔系列

关于带电粒子在“叠加场”中的运动（一）

               山东平原一中        魏德田    253100  

 

带电粒子在复合场中的运动问题，常为业内人士所称道。所谓“复合场”，指由重力场、电场、磁场等“叠加”或“拼合”而成的场。它包括：㈠“叠加场”，如重力场、电场的叠加而成的“等效重力场”；重力场、磁场叠加而成的“（重）力磁场”；电场、磁场的叠加而成的“电磁场”；重力场、电场、磁场等叠加而成的“重力电磁场”；若再加之以惯性力所致的“加速场”、弹性力等等，问题更加复杂。㈡“拼合场”，如有界的电场与电场、磁场与磁场、电场与磁场等组成的复合场。㈢或两种“组合”兼而有之，拼合、叠加而成的“拼合场”………情况非常复杂。

正因如此，关于“带电粒子在复合场中的运动”问题，顺即成为高中物理习题、试题以及物理教学的“重中之重”和“难中之难”。并且，在历届高考中，它又往往“扮演”着高档题、压轴题的特殊“角色”。能否解决此类问题的关键，则视解题者有没有具备思维敏锐、知识深广、能力高强等优良条件。

关于“等效重力场”等一部分典型问题及其解决，请参见前述有关文章。本文，拟对“粒子”在另外几种“叠合场”中的运动问题，分三个方面展开讨论。

一、带电粒子在叠加“（重）力磁场”中的运动问题

   所谓“（重）力磁场”，指由重力场、磁场叠加而成的复合场。在“（重）力磁场”中，“粒子”（如绝缘的带电小球、小物体、液滴等）受到常见机械力、洛仑兹力等作用，其合力往往既随时间、又随位置变化，有时则大小、方向均不能确定。由此导致动力学、运动学等一系列复杂问题的出现。

[例题1]如图—1所示，一个带负电的滑环套在水平且足够长的粗糙的绝缘杆上，整个装置处于方向如图所示的匀强磁场中，现给滑环施以一个水平向左的瞬时冲量，使其由静止开始运动，则滑环在杆上的情况不可能的是   （    ）

A．始终做匀速运动

B．始终做减速运动

C。先做加速运动，最后静止于杆上

D。先做减速运动，最后做匀速运动

[解析]首先，若给滑环施以一个水平向左的瞬时冲量，则其瞬即获得向左的初速度v.由左手定则可知，小环受洛仑兹力f=qvB竖直向上。

其次，从比较洛仑兹力、重力的大小开始，讨论环的运动情况。若qvB=mg,,滑动摩擦力F为零，则小环做匀速运动。若qvB＞mg，其则受杆下表面的摩擦力，先做减速运动，待速度减小到令qv₁B=mg时，再开始做匀速运动。若qvB＜mg,其则受上表面的摩擦力且逐渐增大，始终做减速运动（加速度逐渐增大），直到

时最后静止。

按要求，选不可能的项。因此，本题答案为：C。

[点拨]应该指出，正是由于洛仑兹力随速度达小的变化，使支持力、摩擦力等大小或方向的变化，从而导致问题难度的增加。

[例题2] （经典试题）在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一带电小球绕竖直方向的轴O做逆时针方向的水平匀速圆周运动，磁场方向竖直向下，其俯视图如图—2所示。若小球运动到A点时，绳子突然断开，以下说法错误的是 (    )

A.小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变

B.小球仍做逆时针匀速圆周运动，但半径减小

C.小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变

D.小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小

[解析]⑴首先，容易知道小球逆时针转动时，其向心力为绳的拉力T和洛仑兹力qvB的合力提供。选沿半径指向圆心为坐标正方向，从而由向心力公式，可得

    其中，“＋”、“－”号表示小球带正、负电荷时，所受的洛仑兹力分别为“向心”、或“离心”的。

然后，对上式进行讨论：⑴若原来

，则有

，在“小球运动到A点，绳子突然断开”时，提供的向心力与需要的向心力仍旧相等，则小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变，故选项A正确。

⑵若原来

，同样地，在

时， 则使得提供的向心力小于需要的向心力，而方向仍“向心”不变，故达到稳定状态后，其做逆时针匀速圆周运动，半径增大，故选项B错误。

⑶若原来

，在

时，向心力则“离心”向外，小球从A点开始做顺时针匀速圆周运动。若恰好有

，则半径大小不变；而若

，则向心力“离心”向外且增大，小球从A点开始做顺时针匀速圆周运动，半径减小。故选项C、D均为正确。

因此，本题选“说法错误”的，答案应为：B。

[点拨]由此可见，电荷性质、拉力大小的不同，必将影响到洛仑兹力、合力的大小和方向，进而小球的转动方向、轨道半径等发生显著的变化，导致问题的多解。

    [例题3]（经典试题）一细棒处于磁感应强度为B的匀强磁场中，棒与磁场垂直，磁感线水平指向纸内，如图—3所示，棒上套一个可在其上滑动的带负电的小球C，小球质量为m.电荷量为q,球与棒间动摩擦因数为μ，让小球从棒上端由静止下滑。求:

⑴小球的最大加速度；

⑵小球的最大速度。

[解析] ⑴首先，分析可知带电小球开始下滑后，受到重力？、洛仑兹力？、绝缘棒的支持力?摩擦力的作用，如图—所示。由牛二定律，可得

       

其次，由于洛仑兹力随着速度？的增大而增大，因而使得棒对球的支持力、摩擦力？减小。由此式可见，加速度将逐渐增大。当

亦即支持力为零时，可由上式求出加速度的最大值（亦为临界值）

      

  ⑵然后，进一步分析可知，小球速度再增大时，支持力将改变方向而且必将进一步增大，从而使得加速度再逐渐减小。因此，小球做加速度先增大、后减小的变加速运动。一直到加速度减小为零时，其速度达到最大。即

          

由此，即可解得

 

[点拨]此例为关于带电体在“力磁场”中的加速度、速度“临界值”问题。类似地，洛仑兹力的大小的变化，导致了支持力、摩擦力的性质变化。认识到这一点，再应用牛二定律、、实现加速度、速度最大的“临界条件”，问题则不难解决。

综上所述，只要首先我们认识和理解到洛仑兹力的可变性，然后做好对带电体的“四个分析”，即可给我们解决此类问题带来有利的“转机”和可观的“效益”。这一基本原则或解题思想，理应贯穿于所有受洛仑兹力的“粒子”的各种运动问题的解决之中。

二、带电粒子在叠加“电磁场”中的运动问题

  所谓“电磁场”，指由电场、磁场叠加而成的复合场。在如此“电磁场”当中，粒子只能受到静电力、洛仑兹力的作用。由此，“演绎”出另一类关于“带电粒子”的运动问题。

[例题4]（’07山东德州 ）如图—4所示，空间中有水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子由A点以某一初速度开始运动，初速的方向可以向纸面内任意方向，不计粒子重力，则关于粒子的运动情况，下列说法中正确的是   (    )

A.粒子可能做匀速直线运动

B.粒子可能做匀加速直线运动

C.粒子可能做匀速圆周运动

D.粒子可能做类平抛运动

[解析]首先，若粒子带正（或负电荷），由于在水平向右的匀强电场中必受向右（或左）的电场力。若粒子运动的初速度平行于纸面向上，则由左手定则可知，洛仑兹力向左（或右），故电场力、洛仑兹力的合力可能为零，能使粒子做匀速直线运动，故选项A确。

其次，若粒子向其他方向运动，无论粒子带何种电荷，总有电场力的恒定水平加速度和洛仑兹力的大小、方向均可变化加速度，因而其合加速度亦为大小和方向均可变化的。根据物体做曲线运动的条件，可知粒子必做一般的、非匀变速曲线运动。故知选项B、C、D皆错。

因此，本题答案为：A。

[点拨]由此例解答可知，在叠加电磁场当中，如何判断粒子的运动形式、轨迹等问题，值得引起我们的极大关注。

[例题5]（’06四川）如图—5所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B＝1.57T。小球1带正电，其电量与质量之比q₁/m₁＝4C/kg，所受重力与电场力的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定的水平悬空支架上。小球1向右以v₀＝23.59m/s的水平速度与小球2正碰，碰后经过0.75s再次相碰。设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。（取g＝10m/s²）问：

⑴电场强度E的大小是多少？

⑵两小球的质量之比m₂/m₁是多少？

[解析] ⑴首先，由已知条件小球1“所受重力与电场力的大小相等”，可得

           

联立①②式，可解得

           

⑵其次，分析可知，两球第一次碰撞过程，动量是守恒的.从而，可得

          

第一次碰后，小球1向左做逆时针圆周运动，小球2向右做平抛运动，经t=0.75s时间两球再发生第二次碰撞。对小球1，由半径公式、周期公式，从而可得

           

 

由此可见，两球运动时间为圆运动周期

倍，而小球1的旋转角为270°（或

）。

然后，对小球2，则由平抛运动规律，可得

            

最后，联立②③④⑥⑦式，即可求出两小球的质量之比m₂/m₁为

           

[点拨]欲求两球的质量之比，是个比较复杂、困难的问题。这是因为，我们必须采用“正向思维”或“顺藤摸瓜”的方法，不但对系统碰撞过程进行动量分析，确定动量守恒，而且还要对第一次碰撞后，两球的运动方向、形式、过程、特点等作出明确判断。否则，一着不慎，则导致全盘皆输。 

[例题6]（’05天津）正电子发射计算机断层（PET）是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段。

⑴PET在心脏疾病诊疗中，需要使用放射正电子的同位素氮13示踪剂。氮13是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氧16获得的，反应中同时还产生另一个粒子，试写出该核反应方程。

⑵PET所用回旋加速器示意如图—7，其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R，两盒间距为d，在左侧D形盒圆心处放有粒子源S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示。质子质量为m，电荷量为q。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，质子在加速器中运动的总时间为t（其中已略去了质子在加速电场中的运动时间），质子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，加速质子时的电压大小可视为不变。求此加速器所需的高频电源频率f和加速电压U。

⑶试推证当R>>d时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计（质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）。

[解析] ⑴首先，依据质量数守恒和质子数守恒，可得    

 

⑵其次，由于“质子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同”，故电源频率、粒子回旋频率大小相等。从而，由周期公式得               

又，由动能定理可得

联立①②式，即能求出

               

 

⑶然后，粒子末速度可视为在匀强电场中n次匀加速形成的。初设加速的总时间为t₁，由平均速度公式，可得

再设粒子在磁场当中运动的总时间为t₂，从而又得

          

最后，把③④两式左右相除，即可求出两个时间的比值

 

由此可见，t₁可忽略不计。

[点拨]此例为力、电、原三联综合题。着重考察带电粒子“电加速”时，对电能与动能的转化规律的理解（即动能定理）；以及粒子“电加速”的时间、“磁偏转”的周期公式、飞行时间等求解的基本能力。建立加速电压与其他几个物理量之间的关系，应该是本例的重点和难点。

 

                                              (2017-08-04  经典重发)