《高中物理思维方法集解》试笔系列 —— “动量变化”与“动量定理”

  

谈到物体或系统的动量、冲量，必须首先注意到其方向性；而动量变化指末、初动量之差。又，动量变化等于其合外力的冲量，即动量定理。本文讨论动量变化与动量定理在高中物理中的重要应用。

                    一、破解依据

欲解决此类问题，归纳以下几条依据：

㈠动量和冲量

⑴大小：

，方向：与速度一致；⑵大小：

，方向：与合外力一致。

㈡动量定理（应用仅限一维情形）

⑴大小：

，或

（此指合外力的冲量）；或

⑵方向：动量变化与合外力方向一致。

㈢坐标正方向的选取：⑴初速度方向；⑵或合外力方向。

                      二、精选例题

[例题1]（07广东物理）机车从静止开始沿平直轨道做匀加速运动，所受的阻力始终不变，在此过程中，下列说法正确的是  (     )

A．机车输出功率逐渐增大

B．机车输出功率不变

C．在任意两相等时间内，机车动能变化相等

D．在任意两相等时间内，机车动量变化大小相等

   

[例题2] (06江苏物理) 一质量为m的物体放在光滑的水平面上，今以恒力F沿水平方向推该物体，在相同的时间间隔内，下列说法正确的是（    ）

A．物体的位移相等　　　　            B．物体动能的变化量相等

C．F对物体做的功相等　　           D．物体动量的变化量相等

 

[例题3]

（07全国Ⅱ） 如图所示，PQS是固定于竖直平面内的光滑的1/4圆周轨道，圆心O在S的正上方，在S和P两点各有一质量为m的小物块a和b，从同一时刻开始，a自由下落，b沿圆弧下滑。以下说法正确的是（     ）

A  a比b先到达S，它们在S点的动量不相等

B  a与b同时到达S，它们在S点的动量不相等

C  a比b先到达S，它们在S点的动量相等

D  b比a先到达S，它们在S点的动量不相等

 

[例题4] （06全国Ⅰ）一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v。在此过程中（     ）

A．地面对他的冲量为mv+mgΔt，地面对他做的功为

mv²

B．地面对他的冲量为mv+mgΔt，地面对他做的功为零

C．地面对他的冲量为mv，地面对他做的功为

mv²

D．地面对他的冲量为mv-mgΔt，地面对他做的功为零

 

[例题5]（04上海） 在行车过程中，如果车距不够，刹车不及时，汽车将发生碰撞，车里的人可能受到伤害，为了尽可能地减轻碰撞引直怕伤害，人们设计了安全带。假定乘客质量为70 kg，汽车车速为108 km/h（即30 m/s），从踩下刹车到车完全停止需要的时间为5 s，安全带对乘客的作用力大小约为（     ）

A．400N     B.600N     C.800N     D.1000N

 

[例题6]（07重庆） 为估算池中睡莲叶面承受出滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台,测得1小时内杯中水上升了45 mm.查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s.据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×10³  kg/m³)（    ）

A.0.15Pa                       B.0.54 Pa

C.1.5 Pa                       D.5.4  Pa

 

[例题7]（07北京） 在真空中的光滑水平绝缘面上有一带电小滑块。开始时滑块静止。若在滑块所在空间加一水平匀强电场

持续一段时间后立刻换成与

相反方向的匀强电场

。当电场

与电场

持续时间相同时，滑块恰好回到初始位置，且具有动能

。在上述过程中，

对滑块的电场力做功为

，冲量大小为

；

对滑块的电场力做功为

，冲量大小为

。则（    ）

A．

                               B．

C．

             D．

 

[例题8] （07全国Ⅰ）如图所示，在倾角为30°的足够长的斜面上有一质量为

的物体，它受到沿斜面方向的力F的作用.力F可按图（a）、（b）、(c)、（d）所示的两种方式随时间变化（图中纵坐标是F与mg的比值，为沿斜面向上为正）已知此物体在t＝0时速度为零，若用

分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率，则这四个速率中最大的是(    )

           

 

 

 

 

 

 

 

         

A．

                 B．

                           C．

                    D．

[解析]选沿斜面向上为正方向。显见，物体所受重力为mg,,结合图示数据,并应用动量定理

可得                  

A.

B.

C.

D.

比较以上数据可知,速度

绝对值最大；因此本题答案：C。

[例题9]（03上海）一个质量为0.3kg的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与磁撞前相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小△v和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为                （     ）

       A．△v=0                 B．△v=12m/s          C．W=0                   D．W=10.8J

 

[例题10] （04广东）一质量为m的小球，以初速度

沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为

的固定斜面上，并立即反方向弹回。已知反弹速度的大小是入射速度大小的

，求在碰撞中斜面对小球的冲量大小

 

 

 

 

[例题11] (08全国Ⅰ)图—12中滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l₁,开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角θ＝60°时小球达到最高点。求

（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；

（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题12]（08天津）光滑水平面上放着质量m_A=1kg的物块A与质量m_B=2kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与A、B均不拴接)，用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能E_p=49J．在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示，放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R=0.5m，B恰能到达最高点C取g=10m/s²，求

(1)绳拉断后瞬间B的速度v_B的大小；

(2)绳子拉断过程中对B的冲量I的大小；

(3)绳拉断过程绳对A所做的功W．

   

 

 

 

 

 

 

[例题13] （05天津）如图所示，质量m_A为4.0kg的木板A放在水平面C上，木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右端放着质量m_B为1.0kg的小物块B（视为质点），它们均处于静止状态。木板突然受到水平向右的12N?s的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能E_M为8.0J，小物块的动能为0.50J，重力加速度取10m/s²，求

⑴瞬时冲量作用结束时木板的速度v₀；

⑵木板的长度L。

 

                            

 

 

 

 

 

[例题14] （02全国）蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。一个质量为60kg的运动员，从离水平网面3.2m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0m高处。已知运动员与网接触的时间为1.2s。若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理，求此力的大小。

      

 

 

 

 

 

 

[例题15] （04天津）质量

的物块（可视为质点）在水平恒力F作用下，从水平面上A点由静止开始运动，运动一段距离撤去该力，物块继续滑行

停在B点，已知A、B两点间的距离

，物块与水平面间的动摩擦因数

，求恒力F多大。（

）

 

 

 

 

 

 

[例题16]（02广东）一质量为m的小球，以初速度

沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为

的固定斜面上，并立即反方向弹回。已知反弹速度的大小是入射速度大小的

，求在碰撞中斜面对小球的冲量大小

 

 

 

 

 

 

 

[例题17] （08四川） 一倾角为θ＝45°的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度h₀＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10 m/s²。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

 

 

 

[例题18]（04全国Ⅲ）

柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物。在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：

柴油打桩机重锤的质量为m，锤在桩帽以上高度为h处（如图1）从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为M（包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上。同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。随后，桩在泥土中向下移动一距离l。已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩幅之间的距离也为h（如图2）。已知m＝1.0×10³kg，M＝2.0×10³kg，h＝2.0m，l＝0.20m，重力加速度g＝10m/s²，混合物的质量不计。设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力，求此力的大小。

 

 

 

 

 

                     三、参考答案

⒈AD  ⒉D  ⒊A ⒋B  ⒌A  ⒍B   ⒎C  ⒏C    ⒐BC

⒑[解析]小球在碰撞斜面前做平抛运动.设刚要碰撞斜面时小球速度为

.由题意，

的方向与竖直线的夹角为30°，且水平分量仍为

₀，如右图.由此得

=2

₀    ①

碰撞过程中，小球速度由

变为反向的

碰撞时间极短，可不计重力的冲量，由动量定理，斜面对小球的冲量为

 

    ②  

由①、②得      

    ③

 

⒒[解析]⑴小球第一次到达最低点时，滑快和小球的速度分别为v₁和v ₂，由机械能守恒定律得

--------①

小球由最低点向左摆动到最高点，由机械能守恒定律得

-----②

联立①②两式得：

v₁=v₂=

---------------------------③

设所求的挡板阻力对滑块的冲量为Ｉ，规定动量方向向右为正，由动量定理可得

从而求出        

--------④

⑵小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，设绳对小球的拉力做的功为Ｗ，由动能定理得               

---------⑤

联立③⑤式,可以求出

即绳对小球的拉力做的功大小为

.

⒓[解析] (1)设B在绳被拉断后瞬间的速度为v_B,到达C时的速度为v_C,有

代入数据得

v_B=5m/s

(2)设弹簧恢复到自然长度时B的速度为v₁,取水平向右为正方向,有

代入数据得

I=－4N·s,其大小为4N·s

(3)设绳断后A的速度为v_A,取水平向右为正方向,有

代入数据得

W=8J

⒔[解析]（1）设水平向右为正方向，有

I=m_Av₀

代入数据解得  v₀=3.0m/s

（2）设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为F_AB、F_BA和F_CA，B在A上滑行的时间为t，B离开A时A和B的速度分别为v_A和v_B，有

－（F_BA+F_CA）t＝m_Av_A－m_Av₀

F_ABt＝m_Bv_B

其中               F_AB=F_BA   

F_CA=μ(m_A+m_B)g

设A、B相对于C的位移大小分别为s_A和s_B，有

－(F_BA+F_CA)s_A=m_Av_A²－m_Av₀² 

F_ABs_B=E_kB

动量与动能之间的关系为

m_Av_A=

m_Bv_B=

木板A的长度L=s_A－s_B；代入数据解得  L=0.50m

 

⒕[解析] 首先，将运动员看作质量为m的质点，从h₁高处下落，刚接触网时速度的大小

v₁＝

（向下）              ①

弹跳后到达的高度为h₂，刚离网时速度的大小

v₂＝

（向上）              ②

显然，其速度的改变量为

Δv＝v₁＋v₂（向上）             ③

以a表示加速度，Δt表示接触时间，则

Δv＝aΔt                       ④

然后，接触过程中运动员受到向上的弹力F和向下的重力mg。由牛顿第二定律，

F－mg＝ma                     ⑤

由以上五式，代入数据得解得

F＝mg＋m

＝1.5×10³N   

⒖[解析]首先， 设撤去力F前物块的位移为

，撤去力F时物块速度为

，物块受到的滑动摩擦力为

------------①

对撤去力F后物块滑动过程，应用动量定理得

-------②

然后，由运动学公式，可得 

--------③

对物块运动的全过程，应用动能定理则有

-------④

由以上各式，代入数据得

 

⒗[解析] 小球在碰撞斜面前做平抛运动.设刚要碰撞斜面时小球速度为

.由题意，

的方向与竖直线的夹角为30°，且水平分量仍为

₀，如右图.由此得

=2

₀--------------- ①

碰撞过程中，小球速度由

变为反向的

碰撞时间极短，可不计重力的冲量，由动量定理，斜面对小球的冲量为

               

------------②  

由①、②得     

 

⒘[解析]解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。

由功能关系得

 --------------①

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

                 

----------------  ②

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h’，则

 ------------- ③

同理，有

 

---------------④

 

--------------------------------⑤

式中，v’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得

  ---------------------⑥

式中 

 。由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

                

-----------⑦

总冲量为 

                

----------⑧

由

得                         

                

 --------------- ⑨

代入数据得      

N·s                             

解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得

 

------------①

设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则

                 

------------------------②

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

-------------------------③

由①②③式得

---------------④

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’， 依牛顿第二定律有

 

------------⑤

小物块沿斜面向上运动的最大高度为

 ---------------------------⑥

由②⑤⑥式得        

------------------------------⑦                                 

式中

。同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量

-------------⑧

由④⑦⑧式得        

 

以下同“解法一”。

   ⒙[解析]锤自由下落，碰桩前速度v₁向下，

                           ①

碰后，已知锤上升高度为（h－l），故刚碰后向上的速度为

                       ②

设碰后桩的速度为V，方向向下，由动量守恒，

                      ③

桩下降的过程中，根据功能关系，

                    ④

由①、②、③、④式得

    ⑤