高中物理备考综合热身辅导系列——基础训练11. 万有引力定律及其应用

——’11备考综合热身辅导系列

高级物理教师        魏德田

本套试题训练和考查的重点是：理解万有引力定律，能运用万有引力定律来分析天体的运动.了解人造地球卫星的有关知识，能进行有关天体质量的估算、轨道平行的计算等一些简单的计算.第7题、第14题、第15题等为创新题.这些题的特点是把物理基础知识与航空航天技术中的最新成果联系起来，有利于提高学生的学习兴趣，有利于理论联系实际.

　　　　　　　　　　　　　一、破解依据

㈠两个重要定律

⑴开普勒第三定律  其中， 仅与中心天体的性质有关

⑵万有引力定律   。

㈡两种基本思想

⑴地面附近物体的万有引力即重力  

⑵卫星的向心力即中心天体提供的万有引力

㈢中心天体的质量   和密度

㈣匀速圆运动的人造卫星

⑴线速度、第一、二、三宇宙速度

； ,

⑵角速度 ⑶周期 （ ）；⑷加速度 （特殊地 ）⑸黄金代换 

注：以上各式中均有

㈤变轨原理及其应用：⑴ 匀速圆运动；⑵ 离心运动，半径增大；⑶ 近心运动，半径减小。

㈥ 同步卫星：

⑴线速度 ；

⑵角速度 ；

⑶周期 ；

⑷向心加速度 ；

⑸轨道半径 ；

⑹对地高度 ；

㈦万有引力与重力：⑴地面上的物体，引力为 ；向心力 ；重力 。其中， 为地面某点的纬度。⑵同纬度、高空中的物体，，不计自转，引力等于重力，且随高度增加而增大。

㈧功能关系：卫星轨道半径（或高度）增加，由于克服引力做功，因而动能减少；反之则反。不计发射过程由于大气阻力所致能量损失，系统的机械能守恒。

二、精选习题

㈠选择题（每小题5分，共40分）

1.（09浙江）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的 倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是

A．太阳引力远大于月球引力

B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等

D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

 

2.（09安徽） 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是

A. 甲的运行周期一定比乙的长       B. 甲距地面的高度一定比乙的高

C. 甲的向心力一定比乙的小         D. 甲的加速度一定比乙的大

 

3. (09广东物理) 2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（    ）

A．飞船变轨前后的机械能相等

  　B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

  　C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度

  　D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

 

4.（05天津）土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×10⁴km延伸到1.4×10⁵km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为6.67×10^-11NŸm²/kg²，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）（     ）

Ａ．9.0×10¹⁶k            Ｂ．6.4×10¹⁷kg

Ｃ．9.0×10²⁵kg           Ｄ．6.4×10²⁶kg

 

5. (07天津）我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。设地球、月球的质量分别为m₁、m₂，半径分别为R₁、R₂，人造地球卫星的第一宇宙速度为v，对应的环绕周期为T，则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为（    ）

A． ，                                        B． ，

C． ，                                        D． ，

 

6.（09全国Ⅰ）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10^-11N·m²/kg^2,,由此估算该行星的平均密度为

A.1.8×10³kg/m³              B. 5.6×10³kg/m³  

 C. 1.1×10⁴kg/m³             D.2.9×10⁴kg/m³

 

7.（08四川）1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×10⁶m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×10⁷m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是（    ）

A．0.6小时    B．1.6小时    C．4.0小时     D．24小时

 

8. （07山东）2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。这颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍 ，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是（    ）

A.飞船在Gliese581c表面附近运行的周期约为13天

B．飞船在Gliese581c表面附近运行时的速度大于7.9km/s

C．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大

D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小

 

㈡填空题（每小题6分，共24分）

9.（08海南）一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4∶1．已知地球与月球的质量之比约为81∶1，则该处到地心与到月心的距离之比约为            .

 

10.在月球表面，一位宇航员竖直向上抛出一个质量为m的小球.经过时间t,小球返回抛出点.已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6.由此可知，宇航员抛出小球时对小球做的功为_______.

11.在赤道上发射一颗人造地球卫星，设它的轨道是一个圆，轨道半径等于赤道半径，已知地球质量是M，地球自转周期是T，赤道半径是R，万有引力恒量是G，则这颗人造地球卫星的最小发射速度（相对地球的速度）为______________.

12.某物体在地球表面上受到的重力为160 N；将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=g/2随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90 N，卫星此时距地面的高度为_______.（已知地球的半径R=6.4×10³ km，取g=10 m/s²）

㈢计算题（共36分）

13.（07上海物理）（9分）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10m/s²，空气阻力不计）

（1）求该星球表面附近的重力加速度g’；

（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R_星:R_地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M_星:M_地。

 

 

 

 

14.（03天津）（12分）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T= 。向该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G=6.67×10^－11m3/）

 

 

 

 

 

 

15.（10全国卷1）(15分）如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

⑴求两星球做圆周运动的周期。

⑵在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T₁。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T₂。已知地球和月球的质量分别为5.98×10²⁴kg 和 7.35 ×10²²kg 。求T₂与T₁两者平方之比。（结果保留3位小数）

 

 

 

 

 

 

（选作题）

*16.已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v₂= ，其中G、M_E、R_E分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G=6.67×10^-11 N·m²/kg²,c=2.9979×10⁸ m/s.求下列问题：

(1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×10³⁰ kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）.

⑵在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10^-27 kg/m³,如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c,因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？

 

 

 

 

 

 

*17.（06天津）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率 和运行周期T。

图—3

（1）可见星A所受暗星B的引力 可等效为位于O点处质量为 的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为 、 ，试求 （用 、 表示）；

（2）求暗星B的质量 与可见星A的速率 、运行周期T和质量 之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率 ，运行周期 ，质量 ，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（ ）

 

 

 

 

 

 

三、参考答案

㈠1.AD .[解析] ，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异。

2.D. [解析]由 可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B错；由公式 可知甲的周期小故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；碎片的加速度是指引力加速度由 得 ，可知甲的加速度比乙大，故D对。

3. BC. [解析]本例考察机械能守恒定律，完全失重，万有引力定律。飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据 可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。

4.D

5.A. 

6. D.[解析]本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供 ,可求出地球的质量.然后根据 ,可得该行星的密度约为2.9×10⁴kg/m³  。或者先求出 ,而 ,再联立①②式求解。

7. B 

8. BC

㈡9.  9：2

10.W= mg²t²

11.  

12.2.5×10⁴ km

㈢13. [解析] （1）t＝，所以g’＝g＝2m/s²，

（2）g＝/，所以M＝，可解得

M_星:M_地＝1´1²:5´4²＝1:80

14．[解析]考虑中子是赤道外一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

    设中子星的密度为 ，质量为M ，半径为R，自转角速度为 ，位于赤道处的小块物

为m，则有

                    -----① 

  ---------②  

------③

 由以上各式得 

                     --------④ 

代入数据解得       

15.[解析]⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有

， ，连立解得 ，

对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得

化简得  

⑵将地月看成双星，由⑴得

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得

化简得  

所以两种周期的平方比值为

*16.（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v₂= ,其中M、R为天体的质量和半径.对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即v₂＞c,所以

R＜ m=2.94×10³ m

即质量为1.98×10³⁰ kg的黑洞的最大半径为2.94×10³ m.

（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为

M=ρ·V=ρ· πR³                                      ①                                                                                 

其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为

v₂=                                                                                                     ②

由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v₂＞c                                          ③

则由以上三式可得R＞ =4.01×10²⁶ m,合4.24×10¹⁰光年.

即宇宙的半径至少为4.24×10¹⁰光年.

*17．[解析]（1）设A、B的圆轨道半径分别为 、 ，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为 。由牛顿运动定律可得

        

设A、B之间的距离为 ，又 ，由上述各式得

------------①   

由万有引力定律，则有

，

将①代入得

   

令      比较可得

 -------------------②

（2）由牛顿第二定律，则有

----------- ③

星A的轨道半径 

 -------------------- ④

由②③④式解得 --------  ⑤

（3）将 代入⑤式，得

代入数据得

------------ ⑥

设 ，将其代入⑥式，得

------- ⑦

可见， 的值随 的增大而增大，试令 ，得

 ------------------------------------⑧

若使⑦式成立，则 必大于2，即暗星B的质量 必大于2 ，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。