初等数学经典题解259

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分析：这是一道模拟中考题。有难度，也有质量。欲求BC长，通过S△ACD=6求得，但需要探寻CD的等量线段，是此题的难点。

图一

解：如图一所示：

​作AG⊥BC，交BC于G

∵CD⊥BC

∴AG∥CD

∴∠1=∠4

​∵∠EAD=∠3+∠4=2∠1

​∴∠3=∠1

​∴∠3=∠4

∵AB=AC，∠BAC=90⁰

∴∠2=45⁰，BG=GC=AG

图二

如图二所示：

​连接EG

​∵AE⊥BD

​∴以AB为直径，A、B、E、G共圆

则：∠4=∠5=45⁰

∴∠6=90⁰-45⁰=45⁰

​∴G是△AED内切圆圆心

图三

如图三所示：

​连接DG，则：∠7=∠8

∵2∠7+2∠4=90⁰

​∴∠7+∠4=45⁰

​∴∠AGD=180⁰-45⁰=135⁰

∴∠9=135⁰-90⁰=45⁰

∴GC=CD

∵S△CDG=S△ACD（同底等高）

S△ACD=6

∴S△CDG=6

​∴DC·GC/2=GC²/2=6

∴GC=2√3

∴BC=2GC=4√3