一些高中解析几何的通解

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最近学解析几何，发现很多题可以直接套通解，于是把通解求了个遍。

点和点

两点确定一条直线

求 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 所在的直线 l

• 图表展示

因为 P1,P2⊂l

数学表示

所以解得

l:(y2−y1)x+(x1−x2)y+x2y1−x1y2=0

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两点连线中垂线

求 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 连线的中垂线 l

• 图表展示

因为 P1,P2⊂P1P2 ， l⊥P1P2 ， P1+P22⊂l

数学表示

所以解得

l:2(x1−x2)x+2(y1−y2)y+x22−x21+y22−y21=0即l:(x1−x2)(2x−x1−x2)+(y1−y2)(2y−y1−y2)=0

直线和点

点到直线的距离

求 l:Ax+By+C=0 到 P(x0,y0) 的距离 d

根据高中数学书，解得

d=|Ax0+By0+C|√A2+B2

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线关于点对称

求 l:Ax+By+C=0 关于 P0(x0,y0) 对称所得直线 l′

• 图表展示

因为 P0 到两线距离相等，两线不重合

数学表示

所以解得

l′:Ax+By−C−2Ax0−2By0=0即l′:Ax+By+C−2(Ax0+By0+C)=0

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点关于线对称

求 P(x0,y0) 关于直线 l:Ax+By+C=0 对称所得点 P′

• 图表展示

因为 P′,P⊂PP′ ，两点到 l 距离相等， PP′⊥l

数学表示

所以解得

T=Ax0+By0+CA2+B2P′(x0−2AT,y0−2BT)

直线和直线

两线交点

求 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点 P

因为 P⊂l1,P⊂l2

数学表示

所以解得

P(B1C2−C1B2A1B2−B1A2,C1A2−A1C2A1B2−B1A2)

线关于线对称

求 l:Ax+By+C=0 关于 l0:A0x+B0y+C0=0 对称所得直线 l′

• 图表展示

在 l 上找一个点 P(x0,y0) ，做 P 关于 l0 的对称点 P′(x′0,y′0)。
因为 P′,P⊂PP′ ，两点到 l0 距离相等， PP′⊥l0 ，P⊂l ， P′⊂l′

数学表示

所以解得

P(BC0−CB0AB0−BA0,CA0−AC0AB0−BA0)t1=A0B0t2=A20−B20l′1:(2Bt1+At2)(x−Px)+(2At1−Bt2)(y−Py)=0

两线夹角平分线

求 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0 形成的角的平分线 l

• 图表展示

在 l1 上找一个点 P(x0,y0) ，做 P 关于 l 的对称点 P′(x′0,y′0)。
因为 P′,P⊂PP′ ，两点到 l 距离相等， PP′⊥l ，P⊂l1 ， P′⊂l2

数学表示

所以解得

P(B1C2−C1B2A1B2−B1A2,C1A2−A1C2A1B2−B1A2)K1=√A21+B21K2=√A22+B22l:(A2K1+A1K2)(x−Px)+(B2K1+B1K2)(y−Py)=0或(B2K1+B1K2)(x−Px)−(A2K1+A1K2)(y−Py)=0

四种曲线和点

点结论一览

探究圆、椭圆、双曲线、抛物线与 P1(x1,y1) 的关系

• 圆图表展示
• 椭圆图表展示
• 双曲线图表展示
• 横向抛物线图表展示
• 纵向抛物线图表展示

结论	圆	椭圆	双曲线	横向抛物线
方程 C	(x−x0)2+(y−y0)2=R2	x2M+y2N=1	x2M−y2N=Z,Z=±1	x2=2py2
D	{x=x1−x0y=y1−y0
L	D2x+D2y	My21+Nx21	{My21−Nx21,Z=1Nx21−My21,Z=−1
Q	√L−R2	√L−MN	√L+MN	√y21−2px1
J	⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩x=RDx±QDyy=RDy∓QDx	⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩x=Nx1±Qy1y=My1∓Qx1	⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩x=−Nx1±Qy1y=−My1±Qx1	y1±Q
过 P1 的切线	Jx(x−x1)+Jy(y−y1)=0		Jx(x−x1)−Jy(y−y1)=0	−p(x−x1)+J(y−y1)=0
切线的切点	P0+RLJ	(MLJx,NLJy)		(y1pJ−x1,J)
切点弦	Dx(x−x0)+Dy(y−y0)=R2	xx1M+yy1N=1	xx1M−yy1N=Z	y1y=px+px1
切点弦的中点	P0+R2LD	MNLP1	−MNLP1	(y21p−x1,y1)
切点弦长	2QR√L	2QL√M2y21+N2x21		2Qp√y21+p2

点条件一览

求切点弦 lc

因为高中二级结论

求切点 PT

因为 PT⊂C,PT⊂lc

求切线 lT

设：切点分别为 PT1 、 PT2。
因为 PT1,PT2⊂lT

求切点弦中点 P

设：切点分别为 PT1 、 PT2。
因为 P=PT1+PT22

求切点弦长 Lc

设：切点分别为 PT1 、 PT2。
因为 Lc=|PT1PT2|

三种曲线和线

线结论一览

探究圆、椭圆、双曲线与 l:Ax+By+C 的关系

• 圆图表展示
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• 双曲线图表展示
• 横向抛物线图表展示

结论	圆	椭圆	双曲线	横向抛物线
方程 C	(x−x0)2+(y−y0)2=R2	x2M+y2N=1	x2M−y2N=Z,Z=±1	x2=2py2
L	A2+B2	A2M+B2N	⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩B2N−A2M,Z=1A2M−B2N,Z=−1	B2p2
D2	(Ax0+By0+C)2L
Q	√L√R2−D2	mn√L−C2	mn√L+C2	√L−2ACp
J	⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩x=−AC+B(Bx0−Ay0)y=−BC+A(Ay0−Bx0)	{x=−ACMy=−BCN	⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩{x=ACMy=−BCN,Z=1{x=−ACMy=BCN,Z=−1	−Bp±QA
交点	1L(Jx±BQ,Jy∓AQ)			(−BAJ−CA,J)
弦的中点	1LJ			(−BA(−BpA)−CA,−BpA)
弦长	2Q√L	|2QL√A2+B2|		2QA2√A2+B2

分类: 学习