6．几何学的变革
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
（1）对第五公设的研究非欧几何的诞生
许多学者都视欧几里得几何为绝对真理。然而，这种近乎科学“圣经”的几何学并非无懈可击。事实上，从公元前3世纪到18世纪末，另一批数学始终没有放弃对欧几里得第五公设的疑惑。为澄清这种疑惑，一代代数学家想尽了方法，然而他们所给“证明”要么隐含着等价的命题假定，要么存在着形式的推理错误。而且，这类工作中的大多数在数学思想上显得毫无意义。18世纪中叶，达朗贝尔无奈地把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”。但就在此前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进展。
对第五公设研究的代表人物是意大利数学家萨凯里、德国数学家克吕格尔和瑞士数学家兰伯特。
非欧几何的诞生由德国数学家高斯、匈牙利青年数学家鲍耶、俄国数学家罗巴切夫斯基三人发明的。只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定的宣传和捍卫自己新思想的一位。在这种几何中，过已知直线外一点，能作至少两条平行于已知直线的直线。
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米基于内蕴几何观点，给出一个叫“伪球面”的曲面作为罗巴切夫斯基几何模型。随后，克莱因、庞加莱也各自对罗巴切夫斯基几何给出自己的欧几里得模型。他们的工作，揭示了非欧几何的现实意义，同时使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。至此，非欧几何作为一种几何的合法地位充分建立起来，并开始得到广泛的理解和接受。
1854年，德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想，建立了黎曼几何。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。
（2）射影几何的繁荣
射影几何的发展又从另一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度“降格”为其他几何的特例。
在19世纪以前，射影几何一直是在欧几里得几何框架下被研究的。射影几何真正变革为具有独立目标与方法的学科，开始于庞斯列的有关工作。与笛沙格和帕斯卡不同，庞斯列更喜欢探讨一般性问题：图形在投射和截影下保持不变的性质，这也是后来射影几何研究的主题。与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而不是平行投影，并将其提高为研究问题的一般方法。提出了“连续性原理”与“对偶原理”。
在庞斯列用综合方法为射影几何奠基的同时，德国数学家麦比乌斯和普吕克则开创了射影几何研究的解析途径。1827年，麦比乌斯首次引进了齐次坐标概念，这种坐标后被普吕克发展为更一般的形式，它实际上是对笛卡尔坐标的推广。齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内的许多射影几何基本结果的有效工具。
1847年，施陶特在不借助长度概念的情况下建立起射影几何的基本工具，使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新学科。施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱和克莱因，他们着手在射影几何概念的基础上重建欧几里得几何乃至非欧几何的有关性质，发现它们不过都是射影几何的特例。他们的工作明确了各种几何学之间的逻辑关系，从而为各种几何学的统一辅平了道路。
（3）几何学的统一
19世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了上述几种非欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、微分几何以及较晚才出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标。
统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1872年，克莱因发表了著名的演讲《爱尔朗根纲要》，阐述了几何学统一的新思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。
例如（就平面的情况），欧几里得几何研究的是长度、角度、面积等这些在平面中的平移和旋转下保持不变的性质。平面中的平移和旋转（也称刚性运动）构成一个变换群。
刚性平面变换称为仿射变换，它们所刻画的几何称为仿射几何。因此按照克来因的观点，欧几里得几何只是仿射几何的一个特例。
然而，并非所有几何都能纳入克莱因方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。
统一几何学的另一条途径，为希尔伯特所开通，那就是对现代数学影响深远的公理化方法。公理化方法肇始于欧几里得，然而《原本》中的公理体系却潜含着某种逻辑缺陷。在重建严格统一的几何基础的努力中，以希尔伯特在《几何基础》（1899）中使用的公理化方法最为成功。
希尔伯特在这方面的贡献具有划时代意义，因为他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。在对他的公理系统作出自然地划分之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性，独立性，完备性。如此组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。
希尔伯特所发展的这种形式公理化方法在20世纪已远远起出了几何学的范围而成为现代数学甚至某些物理领域中普遍应用的科学方法。
6．分析学的严格化
微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。然而牛顿和莱布尼兹的微积分在逻辑上并不够严格，这使得他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。微积分理论在使用无限小概念上的随意与混乱，引起了所谓的“第二次数学危机”。为了消除早期微积分的逻辑缺陷，数学家们在其严格基础的重建方面做出了种种尝试。在18世纪的分析时代，先是达朗贝尔用初等的极限概念代替了牛顿含糊的首末比方法。后是欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论。拉格朗日则主张用泰勒级数来定义导数。欧拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格表述提供了合理内核。
经过一个世纪的不懈努力，数学家们在严格化基础上重建微积分的尝试终于在19世纪初开始初见成效。
其中最具影响力的先驱性人物当推法国数学家柯西。他于1820年前后，在分析方法方面完成了一系列著作，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。
柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。他的许多定义和论述已经相当接近于微积分的现代形式。尤其是关于微积分基本定理的叙述与证明，几乎与今天的教科书完全一样。
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。特别是，微积分计算植根于实数园地，但直到19世纪中叶，数学家们还没有给出实数的明确定义。
人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新考察分析基础，基于纯粹算术重建分析学的必要性。由此引来了19世纪后半叶的“分析算术化”运动。
在数学史上，德国数学家魏尔斯特拉斯因对分析严格化的贡献而赢得了“现代分析之父”的称号。这种严格化的突出表现是e-d语言的创立，还有一致收敛性的引进。
魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。1857年，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义。
1872年，戴德金、康托尔、梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论。戴德金和康托尔的实数构造方法正是我们现在通常所采用的。
戴德金和康托尔在他们各自的实数定义下都严格证明了实数系的完备性。这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
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