MATLAB中概率论和数理统计应用

12.4.1.1 基本数学原理
一项试验有多个影响因素，如果只有一个在发生变化，则称为单因子分析。其基本原理为：假设某一试验有s个不同条件，则在每个条件（或称水平）下进行试验，可得到s个总体，分别记作X1、X2、...、Xs，各总体的平均数表示为μ1、μ2、...、μs，各总体的方差表示为 、 、...、 。现在在这s个总体服从正态分布且方差相等的情况下检验各总体的平均数是否相等，即检验假设H0：μ1=μ2=...=μs。当假设成立时，认为因素对试验结果之间没有显著影响。
观察值与总平均值之差的平方和称为离差平方和。进行单因子方差分析时，离差平方和被分解为组间平方和（也称条件误差，记为SSA）和组内平方和（也称试验误差，记为SSE）。对应地，总自由度df(=n-1)被分解为组间自由度dfA(=s-1)和组内自由度dfE(=n-s)。
当零假设成立时，统计量

服从第一自由度为组间自由度，第二自由度为组内自由度的F分布。上式中MSA称为组间均方，MSE称为组内均方。一般应有F≈1。但如果得到的F值比1大得多，即条件误差比试验误差大得多，则条件（水平）不同起显著作用，因此，不能认为各总体的均值相同，否定原假设。当F值小于1时，认为因素改变对实验结果引起的变动不显著，大部分试验误差是由个体差异所导致的。

12.4.1.2 相关函数介绍
● anova1函数 功能：进行单因子方差分析。 语法：
p = anova1(X) p = anova1(x,group) p = anova1(X,group,'displayopt')
[p,table] = anova1(...)
[p,table,stats] = anova1(...)
描述：
anova1(X) 进行平衡单因子方差分析，比较样本m×n的矩阵X中两列或多列数据的均值。其中，每一列包含一个具有m个相互独立观测值的样本。它返回X中所有样本取自同一群体（或取自均值相等的不同群体）的零假设成立的概率p。若p值接近0，则认为零假设可疑并认为列均值存在差异。 为了决定结果是否是“统计上显著”，需要确定p值。该值由用户朋友自己确定。一般地，当p值小于0.05或0.01时，认为结果是显著的。 anova1函数还生成两个图形。 第一个图为标准方差分析表，它将X中数据的误差分成两部分： ● 由于列均值的差异导致的误差（组间差）； ● 由于每一列数据与该列数据均值的差异导致的误差（组内差）。 方差分析表中有六列： ● 第一列显示误差的来源； ● 第二列显示每一个误差来源的平方和（SS）； ● 第三列显示与每一个误差来源相关的自由度(df)； ● 第四列显示均值平方和（MS），它是误差来源平方和与自由度的比值，即SS/df。 ● 第五列显示F统计量，它是均值平方和的比值。
● 第六列显示p值，p值是F的函数（fcdf）。当F增加时p值减小。 第二个图显示X的每一列的箱形图。箱形图中心线上较大的差异对应于较大的F值和较小的p值。 anova1(x,group) 当X为矩阵时，利用group变量（字符数组或单元数组）作为X中样本的箱形图的标签。变量group中的每一行包含X中对应列中的数据的标签，所以group变量的长度必须等于X的列数。
当X为向量时，anova1函数对X中的样本进行单因素方差分析，通过输入变量group进行标示。group中的每个元素等价于X向量中的对应元素，所以，group必须与X的长度相等。group中包含的标签同样用于箱形图的标注。anova1函数的向量输入形式不需要每个样本中的观测值个数相同，所以它适用于不平衡数据。
不必要按顺序对样本进行标注。如，若X包含三个不同温度（-27°,65°和110°）上的观测值，你可以将这些数字作为group中的样本标签。若group中的一行包含一个空单元或空的字符串，则该行和X中的对应观测值被忽略。每个输入中的空值（NaNs）也同样被忽略。
p = anova1(X,group,'displayopt') 当'displayopt'参数设置为'on'(缺省设置)时，激活ANOVA表和箱形图的显示；'displayopt'参数设置为'off'时，不予显示。
[p,table] = anova1(...) 返回单元数组表中的ANOVA表（包含列标签和行标签）。（使用Edit菜单中的Copy Text选项可以将ANOVA表以文本形式复制到记事本中。）
[p,table,stats] = anova1(...) 返回stats结构，用于进行多元比较检验。anova1检验评价所有样本均值相等的零假设和均值不等的备择假设。有时进行检验，决定哪对均值差异显著，哪对差异不显著是很有效的。提供stats结构作为输入，使用multcompare函数可以进行此项检验。
假设：
方差分析要求X中的数据满足下面的假设条件： 
● 所有样本数据满足正态分布条件；
● 所有样本数据具有相等的方差；
● 所有观测值相互独立。
在基本满足前两个假设条件的情况下，一般认为ANOVA检验是稳健的。
文献：
Hogg, R. V., and J. Ledolter. Engineering Statistics. MacMillan Publishing Company, 1987.
参见：
anova2, anovan, boxplot, ttest

12.4.1.3 应用实例
【例三】一位教师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的15位学生。把他们分为三组，每组五人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给这15位学生进行统考，统考成绩（单位：分）如下：
表12-9 学生统考成绩表
方 法 成 绩
甲 75 62 71 58 73
乙 81 85 68 92 90
丙 73 79 60 75 81

要求检验这三种教学方法的效果有没有显著差异（假设这三种教学方法的效果没有显著差异）。
score=[75 62 71 58 73;81 85 68 92 90;73 79 60 75 81]’;
p=anova1(score)
p=
0.0401
p值小于0.05，拒绝零假设，认为三种教学方法的效果存在显著差异。
图12-6 方差分析表
图12-6中为本问题的方差分析表，从表中可以看出，F0.05(2,12)大于F比4.26的概率为0.0401，小于0.05，可以认为F0.05(2,12)<4.26，所以，在0.05的水平上可以认为三种教学方法的效果有显著差异。
图12-7 箱形图
图12-7为本问题的箱形图，可见三种教学方法的效果还是存在显著差异。
磁盘中本问题的M文件为sta41_3.m。

12.4.2 双因子方差分析
12.4.2.1 基本数学原理
当有多个因素同时影响试验结果时，采用多因子方差分析。因素即变量，变量的不同取值或者说因素的不同情况称为因素水平。
因素水平的改变所造成的试验结果的改变，称为主效应。当某一因素的效应随另一因素的水平不同而不同，则称这两个因素之间存在交互作用。由于交互作用引起的试验结果的改变称为交互效应。因素间是否存在交互效应，可以通过专门的数学方法进行检验，也可以用交互作用图(参见后面内容)来判断。
进行多因子方差分析，还是需要对离差平方和进行分解。对于两个因素的情况，
1. 当没有交互作用时，离差平方和(SS)作如下分解：
SS=SSA+SSB+SSE
其中，SSA为A因素的离差平方和，SSB为B因素的离差平方和，SSE为误差平方和。
同样，自由度也要作相应的分解。A因素对应的自由度为a-1（a为A因素的水平数），B因素对应的自由度为b-1（b为B因素的水平数），误差项对应的自由度为n-a-b+1（n为试验次数）。
2.当存在交互作用时，离差平方和分解为
SS=SSA+SSB+SSA×B+SSE
其中，SSA×B为因素A和因素B的交互效应对应的离差平方和。因子对应的自由度与没有交互作用时相同，交互项的自由度为(a-1)(b-1)，误差项的自由度为n-ab。
12.4.2.2 相关函数介绍
anova2函数
功能：进行双因子方差分析。
语法：
p = anova2(X,reps) 
p = anova2(X,reps,'displayopt') 
[p,table] = anova2(...)
[p,table,stats] = anova2(...)
描述：
anova2(X,reps) 进行平衡双因子方差分析，以比较样本X中两列或两列以上和两行或两行以上的均值。不同列中的数据代表一个因子A的变化。不同行中的数据代表因子B的变化。
若在每一个行-列匹配点上有一个以上的观测值，则变量reps指示每一个“单元”中观测量的个数。
下面的矩阵显示了一个列有两个水平，行有三个水平的构造格式，并有两个拷贝（reps）。脚注分别表示行、列和拷贝。
当reps=1时(缺省值), anova2函数返回两个p值到p向量中：
● 零假设H0A的p值。零假设为源于因子A的所有样本（如X中的所有列样本）取自相同的总体。
● 零假设H0B的p值。零假设为源于因子B的所有样本（如X中的所有行样本）取自相同的总体。
当reps>1时，anova2在p向量中返回第三个值：
● 零假设H0AB的p值。零假设为因子A和因子B之间没有交互效应。
如果任意一个p值接近于0，则认为相关的零假设不成立。对于零假设H0A，一个足够小的p值表示至少有一个列样本均值明显与其它列样本均值不同，即因子A存在主效应。对于零假设H0B，一个足够小的p值表示至少有一个行样本均值明显与其它行样本均值不同，即因子B存在主效应。对于零假设H0AB，一个足够小的p值表示因子A与因子B之间存在交互效应。
为了决定结果是否是“统计上显著”，需要确定p值。该值由用户朋友自己确定。一般地，当p值小于0.05或0.01时，认为结果是显著的。 anova2 函数还显示一个含标准方差分析表的图形，它将X中数据的误差根据reps的值分为三部分或四部分： 
1. 由于列均值差异引起的误差；
2. 由于行均值差异引起的误差；
3. 由于行列交互作用引起的误差（如果reps大于它的缺省值1）；
4. 剩下的误差为不能被任何系统因素解释的误差。 
该方差分析表中包含六列： 
1. 第一行显示误差来源；
2. 第二行显示源于每一个误差来源的平方和（SS）；
3. 第三行为与每一个误差来源相关的自由度（df）；
4. 第四行为均值平方(MS)，它是误差平方和与自由度的比值，即SS/df； 
5. 第五行为F统计量，它是均值平方和的比值。
6. 第六行为p值，它是F的函数(fcdf)。当F增加时p值减小。
p = anova2(X,group,'displayopt') 当'displayopt'参数设置为'on'(缺省设置)时，激活ANOVA表和箱形图的显示；'displayopt'参数设置为'off'时，不予显示。
[p,table] = anova2(...) 返回单元数组表中的ANOVA表（包含列标签和行标签）。（使用Edit菜单中的Copy Text选项可以将ANOVA表以文本形式复制到记事本中。）
[p,table,stats] = anova2(...) 返回stats结构，用于进行多元比较检验。anova2检验评价所有行、列和交互效应相等的零假设和它们不等的备择假设。有时进行检验，决定哪对均值显著差异，哪对差异不显著是很有效的。提供stats结构作为输入，使用multcompare函数可以进行此项检验。

12.4.2.3 应用实例
【例二】为了考察四种不同燃料与三种不同型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次试验，得数据如下：
表12-10 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 推进器2 推进器3
燃料1 58.2 56.2 65.3
燃料2 49.1 54.1 51.6
燃料3 60.1 70.9 39.2
燃料4 75.8 58.2 48.7
要求分析燃料和推进器的不同是否对火箭的射程有显著影响。零假设为没有影响。
disp=[58.2 56.2 65.3;49.1 54.1 51.6;60.1 70.9 39.2;75.8 58.2 48.7]’;
p=anova2(disp,1)
p =
0.7387 0.4491
由于燃料和推进器对应的p值均大于0.05，所以可以接受零假设H01和H02，认为燃料和推进器对火箭的射程没有显著影响。图12-9为本问题的方差分析表。
CI-ROM中本问题的M文件为sta42_2.m。
图12-9 双因素方差分析表

【例三】设火箭的射程在其它条件基本相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑四种不同的燃料及三种不同型号的推进器，对于每种搭配各发射了火箭两次，得以下数据：
表12-11 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 推进器2 推进器3
燃料1 58.2
52.6 56.2
41.2 65.3
60.8
燃料2 49.1
42.8 54.1
50.5 51.6
48.4
燃料3 60.1
58.3 70.9
73.2 39.2
40.7
燃料4 75.8
71.5 58.2
51.0 48.7
41.4
要求检验各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的射程有显著影响。零假设为没有影响。(磁盘中本问题的M文件为sta42_3.m)
disp2=[58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.5
56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.0
65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4]’;
anova2(disp2,2)
ans =
0.0035 0.0260 0.0001
由ans向量可知，燃料、推进器和二者交互效应对应的p值分别为0.0035、0.0260和0.0001。三者均小于0.05，所以拒绝三个零假设，认为燃料、推进器和二者的交互效应对于火箭的射程都是有显著影响的。