高中数学选修3-6：三等分角与数域扩充

   三等分角问题、倍方问题和圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。解决这类问题的思想方法不仅在数学上,而且在人类的思想史上都具有重大意义。
   本专题将通过对三等分角问题的讨论使学生了解解决这类问题的基本思想方法，并能用此方法解决倍方问题和仅用圆规直尺不能作正七边形的问题。另外还介绍用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）。通过以上的讨论，使学生体会和理解其中蕴涵的数学思想方法，提高分析和解决数学问题的能力。
一、内容与要求
   1．了解古希腊三大几何作图问题，通过三等分角问题了解它们的正确提法。在不限于圆规和直尺的前提下，了解三等分角的几种不同做法。
   2．理解解决三等分角问题的基本思路--刻画尺规作图的范围。
    3．给定线段a ,b,会用尺规作图方法作出长为a +b，a -b，ab，a/b 的线段。
   4．对于给定的任何已知线段，若把它作为单位长, 则任一(正)有理数是可作图的(即仅用圆规和直尺可作出该有理数长的线段)。
   5．通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性，了解有理数域和一般数域的概念。
    6．设F 是一数域，且。证明：集合 也是一个数域，且F是集合 的子集合。了解扩域的概念。
   7．给出一些数域、扩域的具体实例。
   8．给定长为a的线段,会用尺规作图方法作出长为 的线段。
   9．学会把三等分角问题代数化。
   10．证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角。
   11．用上述方法讨论"倍方问题"或"用圆规和直尺不可能作出正七边形"。
   12．体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用。
   13．了解复数乘法的棣美弗公式，会用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）。
    14.完成学习总结报告。报告应包括三方面的内容：

     （1）知识的总结。解决三等分角问题基本思路，清楚地表述证明的过程。体会和理解其中蕴涵的数学思想方法。

     （2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步体会几何问题代数化的方法和处理几何作图问题的思想。

     （3）学习本专题的感受、体会。
二、说明与建议
   1．本专题在思想上和证明的论述上的要求都是比较高的。要求学生学会把握解决问题的整体思路，还要求学生在证明时，层次分明，条理清楚。培养学生表达和论述的能力。
   2．在教学过程中，教师应该引导学生对某些问题进行探索。
   3．通过本专题的学习，让学生认识到数学的作用不限于解决问题，在形成人类正确的思想方法和世界观方面数学同样发挥着重要的作用。