1、定理内容：
文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。
几何形式：如果直角三角形的直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么
a2＋b2＝c2
2、相关知识链接：
直角三角形
1）我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦；
2）汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；
3）国外称之为毕达哥拉斯定理；
4）也有人称勾股定理为千古第一定理。
3、勾股定理的作用：
1）已知直角三角形的两边长，求第三边长；
2）知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；
3）在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。
4、勾股定理的各种表达式
在中，，A、B、C的对边分别为a、b、c，则，，，，，。
5、定理证明及典型例题：
例1、已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2＝c2。
证明方法一：取四个与Ｒｔ△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。
如图，正方形ABCD的面积 ＝ 4个直角三角形的面积 ＋ 正方形PQRS的面积
∴ ( a ＋ b )2 ＝ 1/2 ab × 4 ＋ c2
a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ 2ab ＋ c2
故 a2 ＋ b2 ＝c2
证明方法二：
图1中，甲的面积 ＝ (大正方形面积) － ( 4个直角三角形面积)。
图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。
因为图1和图2的面积相等，
所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积
即：c2 ＝ a2 ＋ b2
证明方法三：
四个直角三角形的面积和 ＋小正方形的面积 ＝大正方形的面积，
2ab ＋ ( a －b ) 2 ＝ c2，
2ab ＋ a2 － 2ab ＋ b2 ＝ c2
故 a2 ＋ b2＝c2
证明方法四：
梯形面积 ＝ 三个直角三角形的面积和
1/2 × ( a ＋ b ) × ( a ＋ b ) ＝ 2 × 1/2 × a × b ＋ 1/2 × c × c
(a ＋ b )2 ＝ 2ab ＋ c2
a 2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ 2ab ＋ c2
故 a2 ＋ b2＝c2
例2、在Rt△ABC，∠C＝90°
⑴已知a＝b＝5，求c。
⑵已知a＝1，c＝2， 求b。
⑶已知c＝17，b＝8， 求a。
⑷已知a：b＝1：2，c＝5， 求a。
⑸已知b＝15，∠A＝30°，求a，c。
分析：⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。
解：由a2 ＋ b2＝c2得，
（1）c2＝ 52 ＋ 52＝50， 即：c＝；
（2）12 ＋ b2＝22，b2＝3，即：b＝；
（3）a2 ＋ 82＝172 ，a2＝225，即：a＝15；
（4）由a：b＝1：2得，b＝2a，
则：a2 ＋ (2a)2＝52
即：a＝；
（5）由∠A＝30°得，c＝2a，
则：a2 ＋152＝(2a)2 ，
解得：a＝，c＝2。
例3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的边AB上的高CD。⑵求S△ABC。
分析：等边三角形的每边上的高、中线和该边所对的角的角平分线，三线合一。
解：（1）∵△ABC 是等边三角形
CD⊥AB
∴CD平分AB
∵△ABC的边长是6cm
∴AD＝BD＝AB＝3 cm
在直角三角形ACD中，
AD2＋CD2＝AC2
32＋CD2＝62
CD＝
（2）S△ABC＝AB·CD＝×6×＝3 （cm2）
例4、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如图，图中△ABC的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000，米欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB＝5000米，AC＝4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得
即 BC＝3千米
飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：
答：飞机每小时飞行 540千米。
例5、如图在
证明：，
平分
在中
例6、如图，在
解：是直角三角形
，由勾股定理有
又
答：CD的长是24cm。
例7、在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
分析：如图所示，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。
解：如图，设，由题意知
中，，解之得
答：这棵树高15m。
联系客服
