第七章 定积分
在前一章，我们为了解决求导或微分的逆运算研究了不定积分；不定积分是积分学的基本内容之一，积分学的另一个基本内容就是我们在本章要研究的定积分；在本章中，我们先从几何与力学问题出发引入定积分的概念，然后讨论它的性质与计算方法．
1 定积分的概念
一、 定积分的概念
定义 设函数
在闭区间
有定义，在
内任意插入
个分点，即
把区间
分成n个小区间
，在每个小区间
上取一点
，记
当分点无限增加
，且所有小区间长度中的最大值
（也称为分割的模或细度）趋于零时，不论
上分法以及
取法如何，若
有确定的极限值，则称
上是可积的；称I为函数
上的定积分，记作：
其中，函数
称为被积函数；
称为被积表达式；变量
称为积分变量；
分别称为积分的上限与下限；区间
称为积分区间．
定理7.1.1 若
在闭区间
上连续，则
在
上可积．
定理7.1.2 若
在闭区间
上有界；且仅有有限多个间断点，则
在
上可积．
二、 定积分的几何意义
(1) 若
，如图7-1-2．
由定积分的定义：
(*)
其中
因
表示图7-1-2中阴影小矩形面积，故（*）式右边是
,
以及
轴所围曲边梯形的面积．
(2) 若
，(*)式中每个
，故
因
表示图7-1-3中曲边梯形的面积，所以
是
，
以及
轴所围曲边梯形面积的负值．
现在我们规定图形的面积可取正、负，并且曲线在
轴上方，即
时，面
积为正；曲线在
轴下方，即
时，面积为负（如图7-1-4），则定积分的几何意义是：
表示
以及
轴所围图形正、负面积的代数和．
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