9.5 幂级数的收敛半径与收敛区间
定理9.5.1 对于幂级数，如果
（或）
则当（如果，则换为）时，该幂级数收敛；当时，该幂级数发散．
设，则区间称为幂级数(2)的收敛区间，R称为幂级数的收敛半径．在区间的端点处，其敛散性须另行判定．在确定了端点的敛散性后，就得到幂级数(2)的收敛域．
幂级数(2)的收敛半径由其系数唯一确定．即
(4)
其中（或）
9.5.2幂级数的和函数的分析性质
定理9.5.2 幂级数的和函数在收敛区间上连续．
在讨论幂级数的逐项求导与逐项积分之前，先要确定幂级数在收敛区间内逐项求导与逐项积分后得到的新的幂级数
(5)
与 (6)
的收敛区间．
定理9.5.3 幂级数与幂级数(5)、(6)具有相同的收敛区间．
定理9.5.4 设幂级数在收敛区间内的和函数为，在内任意一点，则
1在处可导，且．
2在0与构成区间上可积，且．
此定理指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项积分．
推论9.5.1 设幂级数在收敛区间内的和函数为，则在内具有任意阶导数，且可逐项求导任何次，即
推论9.5.2 设为幂级数在的某邻域内的和函数，则幂级数的系数与在处的各阶导数有如下关系：
此推论还表明：若幂级数在内有和函数，则幂级数由在处的各阶导数所唯一确定．
典型例题：
例9.5.1 求幂级数的收敛域．
解 因，所以其收敛区间为．
当时，级数收敛，从而原级数绝对收敛，所以，在时收敛．
因此，级数的收敛域为．
例9.5.2 求幂级数的收敛半径与收敛区间．
解 因为：，所以收敛半径为，收敛区间为，即．
显然，对于形如的幂级数，其收敛区间具有形式：是收敛半径，R仍可由公式（4）确定．
例9.5.3 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．
解 级数奇次项系数为零，因此不能直接用公式（4）求收敛半径R，可直接用达朗贝尔判别法，有
所以，当，即时，原级数收敛，收敛半径，收敛区间为，当或时，原级数为收敛，故收敛域为．
例9.5.4 求幂级数的和函数．
解 容易算得幂级数的收敛半径为．设它的和函数为，即
(1) 当时，．
(2) 当时，有
连续两次逐项求导即得
等号两边再连续两次积分（从0到），有
即
从而，
故
例9.5.5 求级数的和．
解 考察幂级数
(6)
由于，
所以，幂级数（6）的收敛半径为，因而，在收敛区间内连续．特别地，
(7)
由此看出，要计算（7）的值，只要求出就行了，因此，我们首先求函数．
在内逐项求导得
由此得到
故
所以 .
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