11.2 多元函数微分法在几何上的应用
11.2.1 空间曲线的切线与法平面
设均是可导函数，空间曲线
上一点处的切线方程与法平面方程，可按下面的方法得出：设
, 在处给增量，于是有
记所对应的点为．则割线方程为
或
令，得点处的切线方程：
．
从而，过点曲线的法平面方程为：
．
定义11.2.1. 若曲线：上每一点存在切线，则称曲线是光滑曲线．
用一般方程组给出的空间曲线上一点处，曲线切线与法平面的求法关键是求切线的方向数．假设上述方程组所确定的曲线
为：
将方程组两端对求导，有
若，则
从而，切线方程为：
或
法平面方程为：
．
11.2.2曲面的切平面与法线
设是曲面:上一定点，如果在点对三变量都存在连续的偏导数，并且 ,,
不全为零．则曲面上经过的一切光滑曲线在处的切线都在如下平面上：
这时我们称平面π为曲面Σ在的切平面，且
称为曲线Σ在的法矢量；经过以法矢量为方向矢量的直线称为曲面Σ在的法线．
事实上，设是曲面Σ上经过点的任一光滑曲线，其中：．即在邻域内，有
从而
令，得
所以
从而，曲面Σ上过的切线方程为
在平面π上．
定理11.2.1 如果不全为零，且．则
是曲面在点处的切平面的法矢量，也是点的法线的方向矢量，即点处的切平面方程为
法线方程为
典型例题：
例11.2.1 求光滑曲线在点的切线与法平面方程．
解 因时，对应曲线上点，所以曲线在的切线的方向数为：
故曲线在的切线方程为
法平面方程为
即 ．
例11.2.2 求曲线在点(1,0,1)的切线及法平面方程．
解 曲线可表为它在(1,0,1)处切线的方向数为：
所以(1,0,1)处的切线为
法平面为
即 ．
例11.2.3 求曲线在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程．
解：对曲线的方程组两端求关于的导数，得
从而有
于是得
故曲线在(1,-2,1)的切线方程为
法平面方程为 ．
例11.2.4 求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程．
解 设，于是有
从而，切平面为
法线方程为
．
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