13.2第二型曲线积分
如果存在常数I，不论分割如何作，如何取，当
时，都有
则称I为沿有向曲线L的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为：
或
其中：．
若为封闭曲线，则记为.
定理13.2.1 如果在可求长的逐段光滑的有向曲线L上连续，则矢性函数沿有向曲线L的第二型曲线积分存在．
二、 第二型曲线积分的性质
与第一型曲线类似,第二型曲线积分也有相应的性质如下:
(1) 设存在，且k为任意常数，则
．
(2) 设 与 都存在，则
．
(3) 设有向弧段是由有向弧段首尾相衔而成的,并且
均存在，则存在，并且
.
(4) ，其中表示有向弧段L的反方向弧段．
三、 第二型曲线积分的计算
第二型曲线积分的计算也是化为定积分来计算的.设曲线:
是平面内的光滑曲线,又设对应于的起点,对应于的终点(这里不一定小于).当由变到时,点描出有向曲线,并且 在上连续,
则
代入第二型曲线
积分便得第二型曲线积分计算公式:
几点说明:
(1) 起点A对应的参数是对t积分的下限，终点B对应的参数是对t积分的上限．
(2) 如果有向曲线L的方程为，,则可以将x看作参数，此时有
.
这里a是曲线L的起点的横坐标，b是曲线L的终点的横坐标，a不一定小于b．
(3) 如果有向曲线方程为,则有
.
这里c是曲线L的起点的纵坐标，d是曲线L的终点的纵坐标，c不一定小于d．
四、 沿空间曲线的第二型曲线积分
类似地可以讨论沿空间曲线的第二型曲线积分.
设空间曲线是空间中的一光滑曲线，又设对应于L的起点A，对应于L的终点B（这里不一定小于）．当由变到时， ,为L上的;连续函数,则沿从到的第二型曲线积分为
五、 两类曲线积分的联系
对坐标的第二型曲线积分也可转化为对弧长的第一型曲线积分．以平面曲线L为例，设L的正向是从A到B，L上任一点处的切线向量X的指向与L正向相应（图13-2-7）,记分别表示切线向量x轴，y轴正向的夹角．于是由示意图13-2-7可知:
则
这样，就把对坐标的第二型曲线积分化为对弧长的第一型曲线积分了．同样，空间第二类的曲线积分
,
可以化为如下对弧长的曲线积分
．
典型例题：
例1. 计算，其中L分别沿中路线：
(1) （直线段）
(2) AmB（抛物线）
(3) ACBA（三角形回路）
解 (1) 因AB的方程为：
所以 .
故
.
(2) 曲线AmB的参数方程可为：
于是
(3) 因为
,
而由，得
;
由，得
;
由，得
;
故
．
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