13.5 第二型曲面积分
一、 有向曲面与曲面的侧
设曲面S是光滑曲面，是曲面上任一定点．曲面S在点
处有一条法线，它有两个可能的方向，选择其中之一为指定的法线方向，记为．又设L是光滑曲面S上过点且不越过曲面边界的任意闭曲线，从而，当动点M从出发沿闭曲线L连续移动时，曲面S在点M的法线方向也随之连续变动．若M回到时得到的法线方向与一致，则称光滑曲面S为双侧曲面(图13-5-1)；
若存在这样一条闭曲线，当点M沿这条闭曲线移动后再回到点时得到的法线方向与相反，则称曲面S为单侧曲面(图13-5-2)．
通常遇到的曲面都是双侧曲面．例如，球面等封闭曲面是双侧曲面，具有外法线方向的一侧称为封闭曲面的外侧，具有内法线方向的一侧称为内侧（图13-5-3）；又如，曲面也是双侧曲面，其法线方向与z轴正向夹角为锐角的一侧称为上侧，而与z正向夹角为钝角的一侧称为下侧（图13-5-4）；类似地，曲面（或）也有左右侧（或前后侧）之分．
在双侧曲面上,只要选定了一点法线方向,侧曲面上所有的法线方向也随之确定.也就选定了曲面的一侧(正侧),如果改变法线方向,则曲面侧方向也改变,与正侧方向相反的侧方向称为是负侧方向.
若曲面,令,则
.
其方向余弦为
,
,
.
根号前面的符号正好确定了曲面的一侧.例如,选取“一”,与轴正向夹角为锐角,称这样一侧为曲面的上侧.
本章讨论的都是双侧曲面,对于规定了侧的双侧曲面称为有向曲面.
二、第二型曲面积分的定义
定义13.5.1 设曲面S是光滑的有向曲面，其正侧所对应的法线方向为，又设函数在有向曲面S上有界．对曲面S施行任意地分割T：
每个小曲面的面积仍记为，在上任取一点,有向曲面S在点处所指定的法线方向为
．作和式
其中,,分别是有向曲面在坐标平面yOz，zOx，xOy上投影的面积的近似值．当时，不论曲面如何分割,如何作,以及点如何取法，都趋于一个确定的常数I，则称此I为矢性函数{}在有向曲面S上的第二型曲面积分或称为对坐标的曲面积分，记作
.
显然，我们可以取．因此,第二型曲面积分可以写为
.
若曲面S是封闭的有向曲面，则函数在封闭有向曲面S上的第二型曲面积分记作
.
由定义可知，流速为的流体，单位时间内从有向曲面S正侧流出的流量为
.
必须注意，在第二型曲面积分的定义中的表示有向曲面在坐标平面yOz，zOx，xOy上投影的面积的近似值，它们可正可负，其正负号随有向曲面上所指定的法线方向与相应坐标轴正向的夹角而定（即夹角为锐角时为正，夹角为钝角时为负）．
三、 第二型曲面积分的性质
(1) 如果把S分成和，则
.
(2) 设S是有向曲面，若将与S取相反侧的有向曲面记为，则
．
请读者自行证明这些性质．
四、 第二型曲面积分的计算
与第一型曲面积分类似，第二型曲面积分也可化为二重积分来计算．
定理13.5.1 设为光滑曲面．为S在xy平面上的投影．在S上连续，则
其中,右边的正负号由有向曲面S上所指定的法线方向而定．当有向曲面S的正侧为上侧（下侧），即当曲面S上所指定的法线方向与z轴正向的夹角为锐角（钝角）时，上式右边取正（负）号．
类似地，当在上连续，则
.
当在上连续，则
．
五、 两类曲面积分的联系
定理13.5.2 第一类曲面积分和第二类曲面积分之间有关系式:
.
其中是有向曲面S上法线的方向余弦．
典型例题：
例1. 计算，其中S为四面体OABC所围成的曲面，积分沿曲面外侧．
解：
而 ,
,
,
, ,
.
因此 ．
联系客服
