在提起等差数列的时候,我们举例最多的是堆钢管。
那还有哪些案例呢?
《张丘建算经》中有这样一题:今有与人钱。初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱。与讫,还敛聚,与均分之,人得一百钱,问:人几何?
译文:今有给人钱的事,第一人给3个钱,第二人给4个钱,第三人给5个钱,递次每多给1个钱,给完后又全部收回所有钱,而平分给每个人100个钱。
与之完全类似题目有:人们走进果园,第一个人摘下1只石榴,第二个人摘下2只,第三个人摘下3之,以此类推,每人以后多增摘一只。石榴摘完后,平均分配给每人得6只石榴,问:有多少人摘石榴?(出自1427年出版《算术钥》。)
下面这道题出自8世纪出版的《益智题集》,梯有100级,第一级上有1只鸽子,第二级上有2只鸽子,……,第100级上有100只鸽子。问梯子上共有多少只鸽子?
这样的题目编造痕迹过于明显,看起来怪怪的。为什么以那样古怪的方式给人钱,后来又收回来平均分,不是多此一举么?现实生活中,有那样摘石榴的么?100只鸽子挤在一级台阶上,不挤么?同样是求前100个自然数的和,上述问题远就不如高斯的故事那样吸引人。
正因为这些案例都不是太好,所以流传都不广。
那有没有看起来自然一点的案例?当然有,譬如看看我们的挂历。横看,竖看,斜看,都是天然的等差数列。随意框选9个数,可以发现12等于周围8个数的和的八分之一。这由等差数列的性质是显然的。
下面要介绍的是一个猜数游戏。规则是这样的,表演者从挂历中框选出4×4的方框,在纸上写下一个数64(不让人知道)。再任选3位观众,第一位观众从这16个数中选出1个,譬如5,再删去5所在的行和列;第二位观众从剩下的数中选出1个,譬如13,再删去13所在的行和列;第三位观众从剩下的数中选出1个,譬如18,再删去18所在的行和列;最后剩下的数是28,再加上框选的3个数:5,13,18,四个数的和为64.刚好就是表演者所写下的数字。
这是为什么呢?表演者并没和观众串通,观众确实是随机选取数字的。但不管观众如何选取数字,都要遵循规律,4个数字不能来自于同行或同列。换句话说,要从每行每列中选取且仅选取一个数字。
此时等差数列就发挥了作用,4+11+18+25+0+1+2+3=64。不管前4个数与后4个数如何两两组合,都不影响最后的结果。你学会了么?表演给你的小伙伴或者是家里人看吧!甚至还可以事先框选5×5的方框,还可以让观众自己来框选,显得你的水平更高!
游戏中这样的取数方式,与行列式的计算是一致的,这在进入大学之后,在高等代数的课程中会学到。经查,此问题看似是游戏,但也曾作为高考题。以下是2010年上海春季高考数学试题14题。
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