分享最实用的儿童成长心理学
数感，现在算是个时髦的词。很多老师、家长都开始用它形容孩子的数学能力。但它是个很抽象的概念，很少有人能说出它究竟是什么。我曾经看过一段网络视频，里面有位美国数学老师这么说：“数感是一种能力，它是学不到的，要靠感悟。” 这听上去是不是很悬？其实，数感是可以量化的，也能通过训练获得。
数感的第一部分，数数
早在80年代，“数感”已经写进了美国小学的教学大纲。当时在美国和加拿大，小学的数学很弱，很多一年级的孩子连10以内的加减法都算不好。尤其是低收入社区里的孩子们，数学成绩比中产阶层的孩子差很多。
为了帮助贫困社区的孩子，多伦多大学的两位心理学家，罗比·凯斯和莎伦·格里芬，研究了一套非常有效的教学方法。
这套方法的基础，就建立在对数感的理解上。这两个位心理学家发现，学龄前宝宝做算术的方法各有不同。有些方法是“对的”，有些是“错的”，有些虽然是对的，但却效率很低，容易出错。
看到这张图，你是不是能联想到了数轴？数轴是特别形象的画面，能帮我们理解抽象的数学概念。一条简单的数轴，就包含了三种抽象的概念：空间关系（位置顺序，前后）、量（长度）、数字（刻度）。可以说，它是用最直观的方法，把三种抽象的概念，融合到了一起。
简单的数轴
4岁之后，很多孩子不需要掰指头也能数数（掰手指效率低，并且有局限）。他们靠的就是脑子里有一个想象的数轴。
数数，看上去很简单，但它其实很复杂。它不仅需要孩子认清、记牢数字，还要理解量的概念，以及数字与其它数字之间关系。数数，就是数感的第一部分，也是数感的基础。
有什么样的数数能力，才算是拥有数感呢？
数数能力的量化
达标的数数能力，应该是这样的：1.可以从任何一个数字开始，数到任何一个数字结束；2.可以向前数，也可以向后数（1，2，3.....；6，5，4......）；3.数数的跨度，可以是任何数量（1，3，5，7......；3，6，9，12.....）。
上小学之前，孩子们一般能在1-30之间，达到前面两个标准。小学一年级之后，第三个标准会越来越重要。比如说，我们学乘法口诀时。
乘法口诀，一般是靠背的。但我会要求我女儿，尽量不要背，而是数出来。比如，我问女儿，8×8=？。如果她说不出答案，我就和她一起数：“2个8，是8+8=16；3个8，是16+8=24；4个8，是32；5个8，是40；6个8，是48；7个8，是56；8个8，是64”。 这个过程，就是从8开始数数，每数一次的跨度是8。
同样的道理，所有的乘法，都可以用数数的方式（加法）解决。也就是在数轴上，连续、等长的跳跃。
用数数的方法去做乘法运算，效率虽然非常低，但它可以告诉孩子四则运算的基本，其实都是加法，或者说，用部分合成整体。了解这个原理，离掌握数感就不远了。当然，这么算乘法，久而久之，也能记牢乘法口诀。
跳着数数，不是今天文章的重点，所以再多说会跑题。我们把焦点拉回来，关注学龄前怎么培养前面两条数数的标准：1.可以从任何一个数字开始，可以数到任何一个数字结束；2.可以向前，也可以向后。
在脑子里建立数轴
如果我们面前有一条数轴，上面标满刻度和数字，那我们数数的时候，是不是可以按着刻度，向前向后的读出数字？想数数达标，宝宝的潜意识里应该有个这样的数轴。
想把数轴装进宝宝的脑子里，最难的一步是对空间的理解：数字从左到右，一个接一个的，按照顺序排列。上篇文章里说到，训练宝宝的空间感有助提升数学能力，有一部分原因就在这。我们回顾一下这张图，主要关注空间和数字的关系：
数字与数字的间隔是等长的，越往右数字越大，相邻的两个数字有“+1”的关系。
建立数轴，就是把这些知识印在宝宝的脑子里。这个“印知识”的过程，对大人来说很简单，但对孩子来说，它是个抽象的过程，是非常困难的。为了让孩子们在快乐中掌握这些知识，凯斯和格里芬教授，设计了一个著名的小游戏，数字线。这个游戏非常有效。可以说，只要玩得好这个游戏，学龄前的数感就能基本掌握。
数字线游戏
这个游戏适合3岁以上的小朋友玩，最合适的年龄是4岁左右。如果宝宝不会玩这个游戏，可以爸爸妈妈先玩，让宝宝在旁边看着（欢迎她来捣乱哦）。
在宝宝学数学的时候，量的概念特别重要。因为人类和很多动物的大脑，天生就有理解量的能力。所以，量比数字更容易被理解，它可以作为桥梁，帮助宝宝理解抽象的数学概念。
教宝宝数学的小游戏里，都会用道具。道具的意义就是直观地表达“量”。咱们教宝宝数学的时候，一定要把握好方向：应该从直观的量出发，去教宝宝抽象的数字，千万别反过来。如果一开始就从数字出发，教宝宝理解量，可能会把宝宝搞糊涂了。
数字线游戏的小道具
上面这张图，是数字线游戏的小道具。这里面，表示“量”的是每一个标着数字的小方格。这个数字线道具可以很大，比如：用整张地毯做道具。
其它道具
1. 每个玩家分配一个小棋子（玩具小人）；
2. 为每个玩家准备10张小卡片，每个人的卡片颜色都不同（由一个裁判统一保管）；
3. 一个骰子，可以是4面的，标着0-3；或者6面的，标着0-5。（带0的骰子很难买到，可以用彩泥做，很简单。下面这两个，就是我用彩泥做的骰子。很轻，尺寸可以自己决定，还很有弹性，特别适合给宝宝用）；
道具最好能做到：每个玩家的小棋子，卡片，数字线都是同一个颜色。这样可以降低宝宝理解游戏规则的难度。
帮助宝宝学习的原理
把数量，数字的概念，显示在一条数字线上，能给宝宝直观的数感基础。通过熟悉数字线，宝宝会知道，数字是连续的，越往右，代表的数量越大。这些知识让宝宝知道，即使脱离具体物体（手指头，苹果，小木棒），数字也是可以单独使用的，并且能用来解决问题。
玩法
每个玩家选择一个棋子，放在起点或者“0”上面。
玩家轮流掷骰子，然后说出骰子的得数，之后向裁判（大人）索要同等数量的颜色卡片。
玩家把得到的色卡按照顺序，一个一个地放在自己的数字线上，从棋子所在的下一个位置开始。
当一个玩家放好数字卡的时候，Ta要大声说出自己数字线上的数字卡数量，同时由其他玩家检查，看Ta数的对不对。
当玩家把所有数字卡放到数字线上之后，Ta可以把棋子从上一次停留的位置，移动到颜色卡片所在的最后一个位置。
当一轮结束之后，玩家们根据顺序，继续上面的步骤，直到有一个玩家的棋子先到10。
互动
鼓励宝宝正确的数出卡片的数量。宝宝数完，我们可以帮忙检查。如果宝宝数错了，也不要紧，只要提醒Ta重新数一遍就好。
我们放卡片的时候，也可以让宝宝来帮我们检查。
经常问一些小问题，可以帮宝宝深度理解知识。比如宝宝的棋子在3的位置上，也就是已经放了3个颜色卡片在数字线上。现在宝宝掷骰子，结果是4，你可以问这些问题：
“你已经有几张卡片了？”
“现在我应该再给你几张卡片？”
“你已经有3张卡片，加上新得到的4张卡片，你一共有几张卡片？”
鼓励，并且耐心地等待宝宝数卡片，耐心地等待宝宝回答你的问题。千万，不要催！也不要急着帮忙！给Ta时间思考。如果宝宝很长时间都答不出来，可以帮帮Ta，演示给Ta要怎么数。
如果宝宝可以轻松答出上面的问题，我们就升级问题：
“现在谁的卡片最多？”
“那，谁的卡片最少？”
“谁的卡片数量和其他人一样？”
等宝宝回答出这些问题的时候，别忘了问问Ta：“为什么？” / “你是怎么知道的？”
别忘了，用正确的方法表扬宝宝。（这里是正确表扬的文章链接，如果不知道什么是正确的表扬方法，请点链接：怎么正确表扬宝宝）
游戏的升级版1
把4面骰子换成6面骰子。
游戏的升级版2
先告诉宝宝，你有时也会马虎发错颜色卡，希望Ta能自己检查。并且，在你给宝宝发颜色卡的时候，可以故意发错，然后提醒宝宝检查。如果，宝宝发现得到的卡片数量不等于骰子的点数，你就主动改正，并且表扬Ta：“检查的好认真！”
游戏的升级版3
颜色卡片的意义，是辅助宝宝理解数量的概念，还有熟练点着数数的动作。如果把宝宝已经熟悉了游戏，可以和Ta宣布，“你玩游戏时很用心，进步很大，我们现在把游戏升级咯。新的游戏里，我们就不用卡片啦。”
去掉颜色卡片之后，棋子的走法就和玩大富翁一样。但不要忘记，每次掷完骰子都问问宝宝上面的那些问题。
游戏的升级版4
把结束的数字从10改到20。
我家的数字线游戏
可以打印的数字线模板
游戏的升级版5
玩家走完一轮时，棋子刚好落在20上才算赢。如果棋子超过20，就向后退回多出来的骰子点数。（反弹机制）
如果一个玩家追上了另一个玩家，被追上的玩家棋子就要退回到0（起点的位置）。
这就是数字线游戏的全部。因为这个游戏太出名，太有效，所以它衍生出了很多不同的版本。比如：
真人数字线
著名的蛇形棋
关于数数的数感部分就到这。今天的内容很多。如果你现在觉得有点累，可以明天再看下面的内容。因为下面的内容，有难度，请迎接挑战。
数感的第二部分，整体和部分
之前一位宝妈问我，“幼儿园学心算好不好？” 我的回答是：“要用科学的方法教孩子心算。” 之后，她追问我，“什么是学心算科学的方法？” 下面的内容，就是我的答案。
数量是可以分割的。比如：10元钱，可以被分割成1个5元和5个1元。在这里，10元是整体，5元和1元都是部分。
整体和部分的概念有什么用呢？
算两位数加，凑十法很有效。比如：12 + 9 = 10 + (1+ 9) +1 = 21。这个计算过程里，把12分割成10 + 2，把2分割成1+1，再把1和9凑成10，再把10，10，1拼在一起，这些步骤，反复用到了整体和部分的概念。
我理解的心算，是把复杂问题简化成简单问题的过程。重要的内容再写一遍：把复杂问题（整体），简化（分解）成，简单（局部）问题的过程。所以，学心算，最关键的是灵活运用整体和部分的关系。如果能用好这个关系，就是数感强。下面再举两个例子：
例题一
问题：18 × 5 = ？
解法1：18 × 5
=20 × 5 - 2 × 5
= 100 - 10
= 90;
图像化
解法2：18 × 5
= 9 × 10
= 90;
图像化
解法3：18 × 5
= 9 × 5 + 9 × 5
= 45 + 45
= 90;
图像化
解法4：18 × 5
= 10 × 5 + 8 × 5
= 50 + 40
= 90;
图像化
解法5：18 × 5
= 18 × 2 + 18 × 2 + 18 * 1
= 36 + 36 + 18
= 90;
图像化
注意到这些图了吗？它们也是从空间去解释数量。所以空间感对学习数学非常重要。
这道例题和解法描述，出自斯坦福大学教育学系的乔·博勒教授。她是顶级的数学教育专家，写过一本关于数学的销书，中文名叫《这才是数学 教师篇》（注意《这才是数学》也是她写的书，但并不畅销，内容也不如这个教师篇）
博勒教授常常通过这道数学题，把数感介绍给其他人。她认为：数感是灵活地，有创意地使用数学知识的能力。数学之美，其实就藏在数感里。你能想象出吗？当孩子用充满创意的方法解题之后，她会多么有成就感！解题带给我们的成绩感，那就是一种，数学之美！
看玩这道题，你可能会想，“这么简单的算术，就是不用数感也能口算出来。” 那数感的意义在哪里呢？来看看下面的例题，你一定会被数感惊艳。（有点难，请让你的大脑转起来）
例题二
问题：37691的平方 = ？
解题：
第一步、把整体分成部分，简化问题：
有一个常用的数学公式是：(x + y)2=x2+ 2xy +y2
所以，我们可以把376912看做是(37000 + 691)2
然后把它分解成
370002+ 2× 37000×691+ 6912
这样我们就得到了简化版的问题。接下来，就很简单了。
第二步、先算简化版问题最左边的一部分
370002
=372×10002
仍然根据公式，(x + y)2=x2+ 2xy +y2，继续分解，得到：
= (302+ 2 × 30 × 7 +72) × 1,000,000
= (900 + 420 + 49) × 1,000,000
= 1,369,000,000
这是答案的第一部分。注意末尾都是零，方便接下去的计算。
第三步、算简化版问题的中间部分
2×37000 × 691
= 37×691×2000
= 37× (700 - 9)× 2000
= (37 × 700 - 37 × 9) × 2000
= (25900 - 333)×2000
= 25567× 2000
= 51,134,000
这是答案的第二部分。注意末尾都是零，方便接下去的计算。
第四步、算简化版问题的右边部分
6912
=691 × 691
= (700 - 9)× 691
= 700 × 691 - 9 × 691
= 700× (682 + 9) - 9×691
= 700× 682 + 700×9 - 691×9
= 700×682 + (700 - 691)× 9
= 700× 682 + 9×9
= 477400 + 81
= 477,481
这是答案的第三部分
第五步、把三部分答案加在一起
1,369,000,000
+51,134,000
+477,481
————————
1,420,611,481
你刚看到这道题的时候，会不会觉得它的难度已经超过了你的算术极限？就算用草稿纸，算错的几率也很大。但现在你回头看看解题的步骤。上面的过程里，我们把复杂问题（整体），简化（分解）成了，简单（局部）的问题。并且，在上面的解题过程里，我们只用到了一个公式：(x + y)2=x2+ 2xy +y2；并且最难的算术部分是：682× 7 和 37× 7。除了这条公式和两个多位数乘法，其它部分的难度，初中一年级的学生都能解决，非常简单。
上面的过程，就是心算步骤的分解。经过一段时间的训练，用这种方法，很多初中生都能心算出这道题（十秒钟左右）。
还记得之前那位宝妈问我的问题吗？“什么是学心算科学的方法？” 我的答案是：培养数感，就是学心算的科学方法。我们来总结一下数感的两部分。
数数
1.可以从任何一个数字开始，数到任何一个数字结束；2.可以向前数，也可以向后数；3.数数的跨度，可以是任何数量。
整体和部分
所有的数量，都能被看做是整体，可以被分割成很多更小的部分。运用这个原理，我们可以把复杂问题，简化成，简单的问题。
有了这种数感，就是拥有了一定的数学思维，很多数学问题都能解决，包括心算。
关于学心算的具体方法，我想推荐给大家一本书，中文版名字叫《生活中的魔法数学》。它的作者是美国数学家，亚瑟·本杰明。上面那道5位数的平方心算题，就是出自他的TED演讲。这本书里讲的都是很实用的心算方法。（我有这本书的英文版，准备在暑假后教女儿）
看到这你就能理解，为什么我之前说，孩子学心算，等到6岁上学后再开始也不迟。因为培养高级的数感，需要孩子有一些数学基础。学龄前，打好基础，做到能正向、逆向的数数，能做10以内加减法就行。并且在6岁前，孩子要学很多我们看上去不重要，但对他们一生意义巨大的事情。比如，学会怎么和其他小朋友相处。除非孩子的智力发展超前，对数学特别感兴趣，不然没必要那么早学心算。
接下来再分享一些教数学的重要知识。
灵活运算，胜过死记硬背
科学家发现，灵活运算和死记硬背，锻炼的大脑区域不同。虽然，背下来，有利于加快运算速度，但灵活运算，锻炼的是大脑的思维能力。脑科学研究发现，死记硬背和灵活运算都能改变大脑的微观结构，但是灵活运算导致的大脑变化，可以在很多其它时候派上用场，而死记硬背就不行，只能用在特定环境里才有效（不能举一反三）。
不要强迫，也不要强调学习的意义
科学研究发现，强迫会直接减少孩子对学习和所学内容的兴趣。没有兴趣，学习动力就会下降。同样，总是在孩子面前强调学习有多重要，学习比玩更重要，都会影响孩子的学习动力。
刷题是个好方法，但刷题有学问
枯燥的刷题，不仅没帮助，还会伤害孩子对数学的兴趣。
数学不仅实用，它还非常有趣。但它的趣味都体现在了解自然，和解决生活中问题的时候。学校的数学课里，很少会教孩子，怎么用数学去了解自然，怎么用数学去解决生活中的问题。因为对于老师来说，这些内容严重超出教学大纲。所以，大量刷题仍然是学校里教数学的方法。
恐怕只有在重点学校里，那些对数学充满热爱的老师，才会带着孩子用数学去理解自然，解决生活问题，感受数学的乐趣和神奇力量。
正是因为这样的原因，我们中小学的时候，很多人都把数学学坏了。绝大多数人会误以为数学是没用的，有些人惧怕数学，有的干脆对它讨厌、憎恨。
作为父母，我们要想办法保护和培养孩子对数学的兴趣。
保护和培养兴趣
教数学，父母只能起到启蒙的作用。大部分数学知识，都是要老师教。所以，想保护孩子对数学的兴趣，就要给给孩子选一所好学校、一个好老师。
除了把希望寄托在学校，我认为还有一些其它方法。比如，可以买一本《这才是数学 教师篇》看一看。
另外，还可以尝试去学而思。（不是做广告）原因如下：
我自己曾经多次陪女儿去学而思上数学课。每次去，我都在感叹，如果小时候老师这么教我，现在我或许数学家。课堂的内容实在很有意思，特别吸引小朋友。咱们上面提到的，用实物的数量概念，去帮助学生抽象数字的抽象数量概念。还有整体和部分的概念，学而思的课上都讲得非常好。
并且学而思还教很多学校里不教的，但很有趣、很实用的数学知识。我女儿开学二年级，去年已经在学而思学了一些概率知识，一些几何知识。虽然课上老师讲的内容并不深，但是广度很大，也特别有趣。我女儿就是因为学而思才爱上了数学。
针对一个年级，学而思会分普通班，尖子班，超常班。她从幼儿园大班开始读学而思的幼小衔接尖子班，一直到现在，算是整整学了两年。这期间，她常常在班级测试里拿满分或者第一名，所以她会觉得尖子班没难度，曾经几次向我提要求，想去上超常班。我每次都拒绝她，并且对她说，“你要自己考虑清楚哦。如果去超常班，你每天晚上都要去上课，做其它事情的时间就少了，比如说看书，画画，玩游戏。” 从这一点，你就能感受到，孩子是多喜欢学而思。
但是，上学而思也有不好的地方。因为这些原因，很多家长会把它妖魔化。比如说，学而思教的数学技巧很好，但孩子未必课后全能消化。如果父母课后不陪着孩子复习，或者不按照学而思的方法做题，那孩子可能学不到全部知识。
好在学而思允许家长旁听。每次我或者我老婆去旁听，都会做一些笔记，回家后再根据课堂内容帮女儿复习。我认为这是我女儿数学成绩好的重要原因。所以，双手一撒，把孩子完全交给老师，恐怕不会有太好的结果。幼小阶段，家长的辅导太重要了。
关于学而思，就聊这么多（再多说，有广告嫌疑，又不给广告费，很亏）
在上学而思之前，怎么给宝宝做数学启蒙呢？如果你所在的城市没有学而思怎么办？
曲少云的数学课
关于数学，我就先和大家分享这么多。以后，我还是转回自己最关心的领域，儿童成长心理学。如果大家有关于数学，英语，中文绘本阅读的问题，以后可以随时在我的文章末尾留言。有时间的时候，我会把重要的留言问题总结后统一答复给大家。
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