“懒人”的算术——代数学的产生| 数学小知识

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我们一～六年级学的数学内容，主要是算术，到七年级就学代数了。算术和代数到底是怎么回事？你看了下面的短文就知道了。

算术是数学的始祖，古希腊时期的算术一词，专指数的理论，它与实用的计算技术有明显的不同。这种区别一直保持到中世纪，印度——阿拉伯数学传入欧洲后，才把数的理论称为“数论”，把数的计算称为“算术”。

初等代数是算术的符号化，有了符号，便可以抛开具体的数字，抽象的定义运算，并研究运算律。在此基础上，形成一个理论体系，回头用通性通法去解决算术问题。代数把算术提高到一个新的水平，但却比算术容易，这就是符号化的功绩。

在把算术的符号化方面作过贡献的首先是丢番图。丢番图在他的著作《算术》中首先使用字母表示未知数和一些运算规则，这是近代符号代数学的嚆（hāo）矢。丢番图将未知量称为“题中的数”，记为Δ（相当于现在的未知数x），将未知数的平方、立方、四次方、五次方分别记作Δγ、Kγ、ΔγΔ、ΔKγ，用Sx表示加号，用“↑”表示“减号”，用“L”表示“等号”。在此之前，代数学书中没有符号，推理也没有等式，只有大段的说理文章。丢番图在代数学中引用了一大套代数符号，把代数学中的方程从冗繁的语言文字表示成简洁的符号，尽管丢番图的符号基本上是一些文字的缩写，而且也不完整，但是他使代数学的发展向符号代数迈出了重要的一步，因而数学史书中称丢番图是代数学的鼻祖。

代数学是数学中的一个重要的基础性的分支学科。初等代数学是由古代的算术推广和发展而来的，抽象代数学则是在初等代数学的基础上于十九世纪发展形成的。初等代数学亦称古典代数学，是实数和复数及以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。初等代数学的中心问题就是多项式方程（代数方程）和方程组的求解问题。因此，初等代数学有时也称为方程论。

在以方程论为中心的古典代数学的发展中，阿拉伯数学家作出了独特的贡献，花拉子模就是代表。

花拉子模出版了一本以“代数”命名的重要著作，此书主要讨论了一元二次方程的解法。这些解法是用一个一个解方程的例子来阐述的。从解法看，花拉子模已经完成了今天的二次方程的求根公式，只不过当时他还没有负根的概念。据说花拉子模已经意识到了一元二次方程有两个根，但他那时并未弄清这一问题。

系统采用了数学符号的代数的产生构成了近代数学的一个开端。在符号代数的形成过程中，韦达做出了重要的贡献。

韦达在研究方程问题的过程中创立符号代数，他系统地利用字母来表示方程中的量：用辅音字母B、C、D等表示已知量，用元音字母A等表示未知量，用Aquadratus表示A2，Acubus表示A3。并将这些量的运算称为“类的运算”，与用于确定数目的“数的运算”相区别。对这种类，韦达借用欧几里得《几何原本》中对量所作的规定，即“整体等于部分之和”、“等量加等量其和相等”等公理及某些运算性质，使类的运算法则符号于通常的数的运算法则。这样，一方面，使他的方法对数和几何量在使用上是一致的，另一方面，使这种“类”成为任意的数的代表。表示类的字母就成为一般意义下的数学符号。由此，人类迈出了符号代数的决定性的一步，代数成为研究用数学符号表示的一般的类的学问。从这一点出发，韦达给出方程的一个定义：一个方程是一个未知量与一个确定量的比较。并以此对一些传统的几何学问题作了一些新的探讨，例如，把尺规作图问题与二次方程问题联系起来，把求某一几何量转化为求某一相应方程中的未知量。

韦达的这些工作极大地推动了代数学的发展，因此，他在西方被称为“代数学之父”。

继韦达之后，笛卡尔再次对韦达等建立的字母系统作了改进，用英文字母表中最前面的字母a、b、c等表示已知量，而靠后的字母x、y、z等表示未知量，终于使字母表示数的地位在代数学上确立起来。

德国著名数学家克莱茵指出：“代数学上的进步是引进了较好的符号体系，这对它本身和分析的发展比十六世纪技术上的进步远为重要。事实上，采取了这一步，可使代数有可能成为一门科学。”

附一、丢番图简介

丢番图是古希腊的一位数学家，他的生平事迹很少有记载，无从考查，只知道他在公元250年左右生活在亚历山大里亚。他的数学著作较出色的是《算术》，共十三卷，现在仅存六卷，含189个问题，分50余类，其中特别对不定方程作了广泛的研究。这是一部可以和欧几里得《几何原本》相媲美的古代代数书籍。《算术》是讲整数论的，特别是整系数方程的解法，属于代数学的范围，它脱离了几何的形式。这在希腊数学中是独立发展的一枝。其中代数方程主要讨论不定方程，而且只讨论正根。丢番图认为负根是不合理的。他解方程的方法大都比较巧妙，但是他解一题用一法，甚至性质相近的方程，解法也不同，这应该说是丢番图的一个缺点。丢番图给人的困惑多于喜悦。

在古希腊诗文选集上有一首短诗，收录了丢番图奇特的墓志铭：

坟中安葬着丢番图，

多么令人惊讶，

它忠实地记录了所经历的道路，

上帝给予的童年占六分之一，

又过十二分之一，两颊长胡。

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子。

可怜迟到的宝贝儿，

享年仅及其父之半，

便过早进入坟墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，

又过四年，

他也走完了人生的旅途。

附二、韦达简介

韦达（1540年～1603年）法国数学家，生于法国普瓦图地区，他的父亲是一位律师。韦达早年在普瓦捷大学学习法律，在1560年获得法学学士学位后，长期从事法律工作，出任过地方法院律师，法国行政法院检察官，皇室私人律师，法国最高法院律师等。1602年被法王亨利十四世免职。

　　

数学是韦达的业余爱好，利用公余时间，他探讨了许多数学问题，写出许多数学著作，是法国十六世纪最有影响的数学家。

　　

韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。

　　

他还给出一种求方程近似根的方法；他给出一类三次方程的三角解法；他最先提出正切定理与和差化积公式；他还最先把代数变换引入三角学中。他出色地解答了比利时数学家罗门提出的一个45次方程。在几何学方面，韦达最早给出关于圆周率值的无穷运算式，这是圆周率π的第一个解析表达式。他还利用圆内接正393216边形得到π的精确到10位小数的近似值。

　　

1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》。这是欧洲第一本使用六种三角函数的系统的平面、球面三角学。主要著作有《分析方法入门》（1591年）、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》等。由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的