勤勉的康托
早在1638年，意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题，全体自然数与全体平方数，谁多谁少？不仅伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不了这个问题。谁又会想到，这一问题却为现代数学基础——集合论的诞生播下了种子。
乔治·康托于1845年3月3日出生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。1856年，康托全家迁往德国法兰克福。康托一生主要时光是在德国渡过的。康托弟妹六人，他是老大。父亲从小就给他们灌输宗教方面的教育，并培养他们自信、自强和奋斗精神。父亲在给15岁的康托的一封信中写到：“你的父亲，或者说，你的父母以及在俄国、德国、丹麦的其他家人都在注视着你，希望你将来能成为科学地平线上升起的一颗明星”。这封信始终陪伴着康托，成为康托终生奋斗的一个动力。
年轻的康托在一所寄宿学校读书，操行评语上写着：“他的勤勉和热情堪称典范，在初等代数和三角方面成绩优异，其行为举止值得赞扬。”他是一个有很高天赋，全面发展的学生，在数学方面尤为突出。但父亲并不希望儿子献身纯粹数学，希望儿子能够学工程学。1862年，康托上了苏黎世大学，次年又转入柏林大学学习。当时，维尔斯特拉斯、库默尔等著名数学家都在柏林大学任教。受他们的影响，康托放弃了当工程师的打算，转为研究纯粹数学。
他22岁时获得柏林大学数学博士学位，博士论文是关于数论方面的。他在博士论文中提出了一些奇异的观点，这在常人看来似乎有些“离经叛道”。他却认为，数学中提问的艺术比起解法来更为重要。后来，康托对数学独特的贡献就在于他以特殊的提问方式开辟了广阔的研究领域。1869年康托在哈雷大学担任助教，主要研究数论、不定方程和三角级数。
集合论的诞生
从古希腊时候起，对“无限”问题的研究就一直是数学家努力攻克的堡垒之一，但这一工作极其困难。比如，某种无穷多事物的计数问题，两类无穷多事物的个数的比较问题等，人们对此类问题的认识还不够深入，致使数学中有许多遗留问题未能得到彻底解决，例如实数是否可数？实数有多少？等等，在分析学中也留有不少的疑问。
到了19世纪下半叶，德国另一位大数学家戴德金作出了重大突破，他是对20世纪有极大影响的数学家。戴德金曾著文论及“无限”，认为一个系统S如能和本身的一部分相似，称为是无限的，否则是有限的。
在伽利略问题提出200多年以后，1873年康托开始了有关集合和无限等问题具有变革意义的工作。他第一次系统地研究了无穷集合的度量问题，并给出了度量集合的基本概念：一一对应，以此作为衡量集合大小的一把“尺子”。这样，如果两个集合之间能够建立一一对应的关系，就说它们的个数是相等的。康托利用自己的这一结论成功地证明了实数集合与自然数集合之间不能建立起一一对应关系，从而证明了实数集合是不可数的。也就解决了伽利略问题。同年12月7日，他把自己这一发现写信告诉戴德金。以后，数学史家把这一天看作是集合论的诞生日。
次年，29岁的康托结婚了。在度蜜月时他碰到了戴德金，两人进行了学术交流。康托继续戴德金的想法，认识到戴德金关于无限的定义是正确的，但是无限集彼此之间也是千差万别，并不相似，应该加以区别。接着，康托就把他的这些研究成果写成《论所有实代数的集合的一个性质》一文，发表在《克列尔数学杂志》上。这是关于集合论的第一篇论文，具有开创性意义。该文详细地论说了“无限”这一问题，受到世人注目，并成为后来的势和序数理论的基础。
以后十年间，他继续探索并发表了一系列论文，并以《集合论基础》为题作为专著于1883年出版。他开始了数学一个全新领域的研究。他发展了奠基于对实无穷作数学处理的超限数理论，并创造了相似于有限数运算的超限数算术。
逆境中蒙难的康托及其集合论
在康托看来，全体自然数与全体平方数一样多，因为每一个自然数都对应着它的平方数。可是，人们自古以来一直认为“全体大于部分”，康托的新思想从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，在这时候是多么需要获得外界的支持啊。但当时他的新思想不能被多数人理解，得到的不是赞美和支持，而是一连串怀有敌意的批判，特别是他的老师克罗内克。克罗内克也是一位犹太人，柏林学派的领袖。他只承认有限，至多是自然数，对康托的“无限”观持严厉批判态度。他凭借手中的权势，长期扣发康托的文稿，甚至攻击康托是神经质，诬蔑他是科学的骗子、叛徒，他的“思想是近十年来最具兽性的见解”。康托任教的哈雷大学在小城市，他薪金微薄，曾希望进入柏林大学任教，但身为柏林大学教授又专横跋扈的克罗内克处处跟他为难，挡住他立足柏林的通路，给康托带来了巨大的压力。康托那已经十分紧张的神经支持不住了，终于在1884年患了精神分裂症。
为了使他创造的数学天国更加美好，当康托身体稍有康复，他又拿起笔，继续探索。为捍卫真理，与传统的旧观念作斗争，在逆境面前不屈不挠。1891年克罗内克去世，康托的阻力减少了许多，数学界对康托的理论逐渐消除了疑虑。康托出版了他最著名的著作《关于超穷混合理论的论证》一书。他的理论在法国数学家阿达玛那里受到了重视，不久就在测度论、拓扑理论中获得了应用，人们这才认识康托理论的重大意义。
1918年1月6日，这位19世纪末最有影响的数学家的心脏终于停止了跳动。真理是不可战胜的，康托最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉，许多人为康托鸣不平，对他的遭遇深表同情，大数学家希尔伯特就曾热烈赞美康托的业绩，他大声疾呼：“没有任何一种力量，能够把我们从康托所创造的伊甸乐园中赶走。”
现代数学的基石
研究数学首先得考虑一些确定的对象，如数、点、图形等等，把任意一些确定的对象看成一个整体时，就是一个集合。集合论是研究集合的一般性质的。从康托把有限集推进到无限集开始，不仅它本身形成了数学的一个独立分支，而且由于构成集合的对象的任意性，讨论的性质的普遍性，它很快就渗透到几乎所有的各个数学分支中，对数学产生了巨大的影响，成为整个现代数学的基础。
集合论体现现代数学思想，它以全新的手段考察数学的研究对象，既能见树木，又能看到森林。对某一类问题的研究，像蘑菇一样成堆成片地作出发现。邻域、映射、线性空间、结构、群、环、域等一系列现代数学概念，都建立在集合论之上。
集合论中的连续统假设更是数学问题来源于几何、力学、物理等方面的现实问题的一个范例。它是康托在1882年提出的一个猜想：在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数。直观地讲，就是实数有多少的问题，一条直线上点有多少的问题。一百年来，经过许多著名数学家的不懈努力，取得了一些重大进展，而且为了解决它也找到一些著名的方法，这些方法对解决其它数学问题起了积极的作用。但是就猜想本身来说，还需要继续寻求新的数学命题或采用其它有效途径去攻克。
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