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小数的本质(张奠宙)

张奠宙小数的本质

《小学数学教师》是一本在全国有影响的刊物,每期送来,都要翻阅。最近因病住院,遂将2010年第11期比较仔细地读了一遍,觉得里面确有许多好文章。

  邵虹等在小学一年级,就用求折线长度演练20以内的加法,使用了纵线、横线的卡通式说法,颇有些坐标系的外观,很有创意。姜荣富提出“数学问题情境”的概念,也是针对目前过分强调的“生活情境创设”所作的一种补充。该文提出“35×36=□×□”的问题,是一种具有挑战性的数学情境。依我看来,这一情境其实也有更实际的数学意味,即不同的矩形可以有相同的面积。袁仕理提出“引出问题≠发布指令”等5个教学不等式,也是很有针对性的论述。编辑部陈洪杰介绍日本的一堂公开课,旨在表明公开课应用于“课堂教学研究”,而非用于“展示”、“评比”、“获奖”,发人深思。公开课的过度功利性,应该让位给更多的学术性了。

  这一期几篇有关小数教学的文章,涉及了许多问题,其中最重要的是小数和分数的关系问题。以下的一些不同的思考,供大家探讨分析。

  一、日常生活中小数比分数有用

  小数是日常生活中最常用的数之一。学生离开学校以后,日常生活中几乎可以不接触分数,却不能离开小数。元、角、分的货币自不必说,老式的“几尺几寸、几斤几两”仍在使用。“0.5千克”、“身高1米63”等现代说法都离不开小数。至于分数,日常生活中几乎碰不到。我在医院问过好多位受过义务教育的护工同志:1/2加1/3等于多少?多数人说:忘了。究其原因,是因为日常生活中几乎不用分数。可是让他们做小数乘法,则基本都会。

  二、小数有自己的概念系统,不能也不必都依赖于对分数的理解

小学数学教育界的一种流行观点是,小数教学要基于分数教学,否则是科学性错误云云。这未免耸人听闻。

  这一期巩子坤等的文章,用细致的分析揭示学生错误的成因,是难得的具有实证意义的好文章。但是,该文反复强调分数教学对小数教学的重要性,我觉得未必精当。文章还建议“等学生对分数意义、分数表征有了更为透彻的理解后,再来学习小数乘法”。这意味着,没有分数就无法学好小数。确实,小数乃是一种特殊的分数。先出示分数,再叙述其特殊情形--小数,从一般到特殊,在逻辑上有其一定道理。但是教学安排却未必都要从一般出发。我们也可以从特殊推广到一般,正如先有自然数,再逐步推广到分数、实数一样。

  文中还说,历史上分数已经完善地建立起来的时候,小数还是“襁褓中的婴儿”。这似乎也不尽然。中国商代已经有十进制的度量衡制度,这就是小数。而分数的记载,则出现在春秋时期。中国古代数学由于重视数值计算及其算法,特别崇尚小数。曾经盛行数百年的中国珠算则完全使用小数计算,可以不涉及分数的一般意义。

  在实际教学中,小数因其具体而容易学,分数则因抽象而难以把握。为什么许多人把分数知识忘了,而小数计算依然会做,就是因为小数有其独立的价值体系。我见过俄罗斯的一种教材,就是先学小数,完全独立于后学的分数。

  三、小数的本质在于“位置计数法”的拓展,而不在“十分之几”的表述

小数是将个、十、百、千等不断扩大的位置计数方式,朝着另一个方向(“不断缩小”的位置计数方式)加以延伸:即增加了十分位、百分位等新位置,使之成为更为完善的一种位置计数制度。

  小数的教学,必须抓住这一总的线索展开。不要什么都回到分数意义上理解。巩子坤在文中提到,有些学生把小数8.2当作分数2/8或者带分数8(2/100)。这其实是分数和小数彼此干扰的结果。

 四、乘以纯小数的一个核心思想是缩小

相比于乘以正整数是越乘越大,乘以纯小数则是会越乘越小。这是一个非常基本的数学规律,也是一个极为有用的数学观念。当学生注意到乘以纯小数的意义,恰和乘以整数的意义相反后,也就不会有什么整数乘法的负迁移发生了。

  而对于“小数倍”的说法,如“某企业资产是合并前的3.6倍”,小学生理解起来也并非难事。学生会很直观地认为,3.6倍比3倍多,不到4倍;3.6倍比3.5倍要多一点。所以,一个数n乘以0.3,应该允许说它是n的0.3倍。鉴于汉语中的“倍”通常指“放大”,目前还不习惯这样的说法。但是至少不要认为错,更不要扣分。

  一个附带的感想是,数学的表达方式应该按照数学的需要与时俱进地有所发展。例如,分数运算只有“约分”,香港却还使用“扩分”作为约分的反运算,其实是有道理的。“倍”的使用也应该有所发展。相比较而言,汉语本身发展很快,诸如“给力”、“驴友”这样的词汇,本来都认为是“错的”,现在则登堂入室,成为正确的了。

  五、多多使用小数的几何表示

应当及早在数轴上标出0.1,0.2,…和0.01,0.02,…其方法恰和刻度尺上标出的厘米、毫米相对应。尤其是,小数乘法的意义可以用边长为小数的矩形面积来表示。例如,考察以下情形:

  1×1=1 边长为1的正方形面积

  1×0.1=0.1长为1、宽为0.1的矩形的面积

  0.1×0.1=0.01边长为0.1的正方形面积(要扩充100倍才

是单位正方形)

  这样的直观考察,对于揭示小数的意义及其和整数的关系、在数轴上的位置、乘以小数的意义、乘纯小数越乘越小的规律、因数的小数点和积的小数点关系等性质,都很有帮助。顺便指出,小数的这些基本内容,也和分数没有太多的联系。

  六、计算规律只需要做合理的解释

这一期陆顺昌的文章提到某教材要学生从计算实例出发,猜想出“几位小数乘整数,积也是几位小数”;方法是举例观察,用不完全归纳法得出结论,而且借助计算器计算加以强化。这样的教材设计,似乎不尽妥当。事实上,这样的计算规律,只需要做合理的解释就可以了。这样明摆的事实,何必猜想?猜想出来后又该如何证明?照该教材设计,要求用计算器大量计算例子,得出结论。但是,无论算多少例子归纳出的结论依然是不完全的,因而也算不得证明。无论如何,猜想出来以后总还得讲道理。讲道理就是证明。

  七、小数乘法的竖式计算,也可以用扩大和缩小的“位置计数法”加以解释

小数乘法的竖式计算,其基本思想是先将每个因数乘上若干次的10,把计数位置前移几位,使之可以如同多位数整数乘法那样进行计算,最后将得到的结果同等地除以若干次的10,回到原位。这样想,就会很自然地将小数点放到适当的位置上。

综上所述,小数计算的特点,在于位置计数法的扩充,用乘以若干次的10扩大位数、除以若干次的10缩小位数的方式进行计算。利用几何表示进行诠释,则是可取的教学途径。这一切,和分数知识内容的关联其实并不大。

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