2005试题及答案
布谷鸟
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共501?2?3???n
＝( ) 2n??n
1
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0
2
1．lim
2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( ) (A)
13 (B) (C) (D) 22
2
2
|x?1|?2,|x|?1,
1?
3．设f(x)＝?1，则f[f()]＝( )
2, |x|?1?2
1?x
14925 (B) (C)－ (D) 213541
i2
4．在复平面内，复数＋(1＋3i)对应的点位于( )
1?i
(A)
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
5．在(1－x)＋(1－x)＋(1－x)＋(1－x)的展开式中，含x的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
6．设?、? 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l??，m??，有如下的两个命题：①若?∥
5
6
7
8
3
，则l∥m；②若l⊥m，则?⊥?．那么
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
7．设集合A＝(x,y)|x,y,1?x?y是三角形的三边长，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
(A) (B) (C) (D)
8．已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1
9．设f(n)＝2n＋1(n∈N)，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，记P＝{n∈N|f(n)∈P}，Q＝{n∈N|f(n)∈Q}，则(P∩eNQ)∪(Q∩eNP)＝( )
(A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}
10．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则 ????????????(A) a⊥e (B) a⊥(a－e) (C) e⊥(a－e) (D) (a＋e)⊥(a－e)
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16
11．函数y＝
x
(x∈R，且x≠－2)的反函数是_________． x?2
12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于
N图)．现将△面BCDE内的_________．
x2y2
13．过双曲线2?
2?1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于
ab
x轴的直线与
双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
14．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84 15．已知函数f(x)＝－3sinx＋sinxcosx． (Ⅰ) 求f(
2
25?
)的值； 6
(Ⅱ) 设?∈(0，?)，f(
1
)＝，求sin?的值．
42 16．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x＝2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．
17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1,F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为
2
M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，求点Q的坐标(用m表示)． ?F1PF2最大的点P记为Q，
使
18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)当k＝
1
时，求直线PA与平面PBC所成角的大2
小；
△PBC的重心？
(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为
19．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是
1
，从B中摸出一个红球的概3
率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为?，求随机变量?的分布率及数学期望E?．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
2
，求5
p的值．
n?1
20．设点An(xn，0)，P)和抛物线Cn：y＝x＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－n(xn,2
2
12n?1
，xn由
以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，
n点P n?1的距离是An 到Cn 上点的最短距离．n?1(xn?1,2)在抛物线Cn：y＝x＋an x＋bn上，点An(xn，0)到P
2
2
(Ⅰ)求x2及C1的方程． (Ⅱ)证明{xn}是等差数列．
2005试题及答案
参考答案
5分，满分50（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 4分，满分16（11）y?
2x
（12）90?；（13）2；（14）8424 ?x?R,且x?1?；
1?x
三、解答题：
（1514
解：（1
）?sin
25?125?
,cos?
626?25?
f?
625?25??225??
sincos??
666?
（2）f?x??
12xsin2x
2
11???
f?????sin??
24?2?16sin2??4sin??11?0，
解得sin??
1? 8
0,??,?sin??0
故sin??
1? 8
（1614解：(Ⅰ)设函数y?f?x?的图象上任意一点Q?x0,y0?关于原点的对称点为P?x,y?，则
x0?x
0,??x0??x,?2
即 ??
y?yy??y.?0
0,?0
2
∵点Q?x0,y0?在函数y?f?x?的图象上
∴?y?x?2x，即y??x?2x, 故g?x???x?2x
2
2
2
(Ⅱ)由g?x??f?x??x?， 可得2x?x??0
2
当x?1时，2x?x?1?02
2
当x?1时，2x?x?1?0，解得?1?x?
因此，原不等式的解集为??1,2
1（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本14x2y2
解：(Ⅰ)设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?，半焦距为c，则
ab
a2
MA1??a,A1F1?a?c
c?a2
c?a?2?a?c???
a?2,b?c?1 由题意,得?2a?4
a2?b2?c2?
x2y2
故椭圆方程为??1.
43
(Ⅱ) 设P?m,y0?,|m|?1， 当y0?0时，?F1PF2?0；
当y0?0时，0??F2PF2??PF1M?
2
，
只需求tan?F2PF2设直线PF1的斜率k1?
y0y0
，直线PF2的斜率k2?，
m?1m?1
tan?F2PF2?
2|y0|k2?k1?2?? 21?k1k2m?1?y0
|y0|时，?F1PF2最大，
Qm,,|m|?1
（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力
14解：方法一：
(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，? OD∥PA
A
又PA?平面PAB， ? OD∥平面PAB
(Ⅱ)? AB?BC，OA?OC， ? OA?OB?OC，
又? OP?平面ABC，? PA?PB?PC. 取BC中点E，连结PE，则BC?平面POE
作OF?PE于F，连结DF，则OF?平面PBC ? ?ODF是OD与平面PBC所成的角. 又OD∥PA，
PA与平面PBC所成的角的大小等于?ODF，
在Rt?ODF中，
sin?ODF?
OF? OD ? PA与平面PBC所成的角为（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF?平面PBC，∴F是O在平面PBC∵D是PC的中点，
若点F是?PBC的重心，则B，F，D三点共线， ∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，
OB?PC,?PC?BD,?PB?PC，即k?反之，当k?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为?PBC方法二：
OP?平面ABC，OA?OC,AB?BC，
OA?OB,OA?OP,OB?OP.
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O?xyz设AB?
a,则A?????,0,0,B,C??????????， ??????
设OP?h，则P?0,0,h? (Ⅰ)?D为PC的中点，
1?
OD??,0,h?，
2??
1???
又PA???2a,0,?h??,?OD??2PA,?OD//PA，
OD∥平面PAB
1?
,?PA??a,0,?(Ⅱ)?
k?，即PA?2a,?h?，
2??2??可求得平面PBC
的法向量n??1,?1,?，
PA?n?
cos?PA,n??|PA|?|n|
设PA与平面PBC所成的角为?，则
， sin??|cos?PA,n?|??1?
PBC（Ⅲ）的重心G??a,3h??，
1?
OG??,h?，
3??
OG?平面PBC,?OG?PB，
1212????????,?h,?OG?PB?a?h?0,?h?，
又PB?????63??
PA?a，即k?1，
反之，当k?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为?PBC（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑14?1??2?18
解：(Ⅰ)（i）C????????
3??3?381
24
22
(ii)随机变量?的取值为0，1，2，3，；
kk
由n次独立重复试验概率公式Pn?k??Cnp?1?p?
n?k
，得
32?1?
； P???0??C??1???
3?243
05
5
1?8011? P???1??C5???1???
3?3?24380?1??1?
P???2??C?????1???
3??3?243
25
2
3
4
32?80?21717?1?3?1??（或P???3??1?） P???3??C5?????1???
243243?3??3?243
随机变量?的分布列是
32
P
0 1 2 3
32808017
243243243243
的数学期望是
E??
32808017?0??1??2??3?243243243243(Ⅱ)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m1
m?2mp132由?，得p?
303m5
（20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，以及综合运用所学知识14解：（Ⅰ）由题意得A,0?,C1:y?
x?7x?b1， 1?1
2
设点P
x,y?是C1上任意一点， 则|A1P|?
2
令f?x???x?1??x?7x?b1
2
2
2
则f??x??2?x?1??2x?7x?b1
2x?7?
7??0
由题意得f??x2??0，
2
即2?x2?1??2x2?7x?b1
2x
2
2
又P在上，C?2?xx,2??12?7x2?b1 22
解得x2?3,b1?14
故C1的方程为y?x2?7x?14 (Ⅱ)设点P?x,y?是Cn上任意一点， 则
|AnP|?
2
令g?x???x?xn??x?anx?bn
2
2
2
则g??x??2?x?xn??2x?anx?bn
2x?a?
n
由题意得g??xn?1??0
2
即2?xn?1?xn??2xn?1?anx?bn
2x
n?1
an??0
又?2?xn?1?anxn?1?bn，
n2
xn?1?xn??2n?2xn?1?an??0?n?1?，
n?1
xn?1?xn?2nan?0即1?2
*?
下面用数学归纳法证明xn?2n?1， ①当n?1时，x1?1，等式成立；
②假设当n?k时，等式成立，即xk?2k?1，
k?1xk?1?xk?2kak?0， 则当n?k?1时，由?*?知1?2??
xk?2kak1?2k?1， 又ak??2?4k?k?1，?xk?1?k?121?2
即n?k?1由①②知，等式对n?N成立，
故?xn?*
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