高中人教A版数学选修2-1测试题
一、选择题
1.方程x=1-4y所表示的曲线是( )
A.双曲线的一部分 B.椭圆的一部分 C.圆的一部分 D.直线的一部分
2.若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为( )
22
A.x=-28y B.x=28y
22
C.y=-28x D.y=28x
x2y2
3.双曲线22=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( )
ab
3
A.2 B.3 C.2 D.2→1→
4.已知点A(4,1,3)、B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且AC=AB,则C点坐标为( )
3
15?7?8?A.?, B.?,-3,2? 22??2?3?
773?105
C.?1, D.
3?22??3?25.已知a、b为不等于0>1是a>b的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是( ) A.11.25 cm B.5.625 cm C.20 cm D.10 cm
7.已知椭圆x=a(a>0)与以A(2,1),B(4,3)为端点的线段没有公共点,则a的取
2
值范围是( )
323282
A.0<a B.0<a<或a>22213282
C.0<aa<322
8.P是双曲线=1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)+y=4和(x-5)+y=1
916
上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9 9.下列四个结论中正确的个数为( )
22
①命题“若x<1,则-1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<-1,则x>1”;
22
②已知p:?x∈R,sin x≤1,q:若a<b,则am<bm,则p∧q为真命题;
22
③命题“?x∈R,x-x>0”的否定是“?x∈R,x-x≤0”;
2
④“x>2”是“x>4”的必要不充分条件.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.
2
ab
y2
2
x2y2
2222
如图所示,已知PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=AB,M是PA的中点,则二面角M—DC—A的大小为( ) 2ππA.33ππC.46
2x
11.已知命题P:函数y=log0.5(x+2x+a)的值域为R;命题Q:函数y=-(5-2a)是R上的减函数.若P或Q为真命题,P且Q为假命题,则实数a的取值范围是( ) A.a≤1 B.a<2
C.1<a<2 D.a≤1或a≥2
12.
→→
三棱锥A—BCD中,AB=AC=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则AB·CD等于( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3
二、填空题
→→
13.已知点A(1,2,3)和点B(3,2,1),若点M满足AM=MB,则M的坐标为__________.
2
14.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6,则点P的横坐标x=________.
x2y2→→
15.已知F1、F2是椭圆C22=1 (a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥PF2.
ab
若△PF1F2的面积为9,则b=________.
→→
16.正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若EF+λA1D=0 (λ∈R),则λ=________. 三、解答题
222
17.已知p:x-12x+20<0,q:x-2x+1-a>0 (a>0).若綈q是綈p的充分条件,求a的取值范围.
18.
如图,M是抛物线y=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.
→→→→
19.已知两点M(-1,0)、N(1,0),动点P(x,y)满足|MN|·|NP|-MN·MP=0, (1)求点P的轨迹C的方程;
→→
(2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点,F(1,0),λ∈R,FP1=λFP2,求证:
2
11??1 FP1FP2
20.
如图所示,已知直线l:y=kx-2与抛物线C:x=-2py (p>0)交于A,B两点,O为坐
→→
标原点,OA+OB=(-4,-12). (1)求直线l和抛物线C的方程;
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
2
2
21.命题p:关于x的不等式x+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立,命题q:指数函数f(x)
x
=(3-2a)是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
22.
如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的点为M,AC⊥BC,且AC=BC. (1)求证:AM⊥平面EBC;
(2)求二面角A—EB—C的大小.
高中人教A版数学选修2-1测试题答案
一、选择题
22
1.B [x=1-4y,∴x+4y=1 (x≥0). 即x+1 (x≥0).]
14
2.D
2
y2
b222
3.C [2=1,∴a=b,∴c=2a,
a
c2a∴e=2.]
aa
→
4.C [设C(x,y,z),则AC=(x-4,y-1,z-3). →→1→又AB=(-2,-6,-2),AC=AB,
31
∴(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),
3
7107?10
得x=,y=-1,z=.∴C?1,.]
3?33?3
5.D [如取a=-3,b=-2,满足>1,但不满足a>b.反过来取a=1,b=-5,满足
ab
a
a>b,但不满足>1,故答案为D.]
b
2
6.B [设抛物线的标准方程为y=2px (p>0),
45
则抛物线过点(40,30),∴900=80p,∴p=,
4
p45
∴光源到反光镜顶点的距离d==
28
=5.625 (cm).]
1232
7.B [分两种情况:(1)A点在椭圆外,4+>a,解得0<a<(2)B点在椭圆内,16
229282
+a,解得a>22
8.D [设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=6+3=9.] 9.B [只有③中结论正确.]
10.C [二面角M—DC—A的平面角为∠MDA.]
22
11.C [由函数y=log0.5(x+2x+a)的值域为R知:内层函数u(x)=x+2x+a恰好取
x
遍(0,+∞)内的所有实数?Δ=4-4a≥0?a≤1;即P?a≤1;同样由y=-(5-2a)是减函数?5-2a>1,即Q?a<2;由P或Q为真,P且Q为假知,P与Q中必有一真一假.故答案为C.] 12.A
二、填空题 13.(2,2,2) 14.5
2
解析 抛物线y=4x的准线方程为x=-1,根据抛物线的定义,点P到准线的距离也为6,所以点P的横坐标x=5.
15.3
|PF1|+|PF2|=2a解析 由已知,得??|PF1|·|PF2|=18? ,
∴|PF1|+|PF2|+36=4a.
222又|PF1|+|PF2|=4c,
22∴4a-4c=36,∴b=3.
116.- 2
222
解析 如图,连结A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上易知
1EF綊A1D, 2
→1→∴EF=A1D, 2
1→1→即EF-A1D=0,∴λ=-. 22
三、解答题
17.解 p:{x|2<x<10},q:{x|x<1-a,或x>1+a}.
由綈q?綈p,得p?q,于是1+a<2,
∴0<a<1.
218.解 设M(y0,y0),直线ME的斜率为k(k>0),
则直线MF的斜率为-k,直线ME的方程为
y-y0=k(x-y2
0).
2??y-y0=k?x-y0?由?2 ?y=x?
2得ky-y+y0(1-ky0)=0.
y0?1-ky0?于是y0·yE k
1-ky01+ky0所以yE.同理可得yF=k-k
yE-yFyE-yF11∴kEF=22 xE-xFyE-yFyE+yF2y0
即直线EF的斜率为定值.
→→19.解 (1)| MN|=2,则MP=(x+1,y),
→NP=(x-1,y).
→→→→由|MN|·|NP|-MN·MP=0,
22则2?x-1?+y-2(x+1)=0,
2化简整理得y=4x.
→→(2)由FP1=λ·FP2,得F、P1、P2三点共线,
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),斜率存在时,直线P1P2的方程为:y=k(x-1)
22222代入y=4x得:kx-2(k+2)x+k=0.
22k+4则x1x2=1,x1+x2=2. k 7
∴
==11+x1+1x2+1x1+x2+2=1. x1x2+?x1+x2?+1
当P1P2垂直x轴时,结论照样成立.
y=kx-2,220.解 (1)由?2得x+2pkx-4p=0. ?x=-2py,?
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2pk,
y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4.
→→因为OA+OB=(x1+x2,y1+y2)
2=(-2pk,-2pk-4)=(-4,-12),
-2pk=-4,?p=1,所以? 解得? 2?-2pk-4=-12.?k=2.??
2所以l的方程为y=2x-2,抛物线C的方程为x=-2y.
(2)设P(x0,y0),依题意,抛物线过点P的切线与l平行时,△ABP的面积最大,y′=-x,
12所以-x0=2?x0=-2,y0=-x0=-2, 2
所以P(-2,-2).
此时点P到直线l的距离
|2·?-2?-?-2?-2|445d==, 2252+?-1?5
由??y=2x-2,?
x=-2y,
22 得x+4x-4=0, 22|AB|1+k?x1+x2?-4x1·x2
22=1+2·?-4?-4×?-4?=410.
5410·5∴△ABP面积的最大值为=2. 2
2221.解 设g(x)=x+2ax+4,由于关于x的不等式x+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,
所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,
2故Δ=4a-16<0,
∴-2<a<2.
x函数f(x)=(3-2a)是增函数,则有3-2a>1,即a<1.
又由于p或q为真,p且q为假,可知p和q一真一假.
-2<a<2,(1)若p真q假,则?∴1≤a<2. ?a≥1,?
a≤-2或a≥2,(2)若p假q真,则???a<1, ∴a≤-2.
综上可知,所求实数a的取值范围为{a|1≤a<2或a≤-2}.
22.(1)证明 ∵四边形ACDE是正方形,
∴EA⊥AC,AM⊥EC,
∵平面ACDE⊥平面ABC,
∴EA⊥平面ABC,
8
∴可以以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,分别以直线AC和AE为y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设EA=AC=BC=2,则
A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2),
又M是正方形ACDE的对角线的交点,
→∴M(0,1,1),AM=(0,1,1),
→EC=(0,2,0)-(0,0,2)=(0,2,-2),
→CB=(2,2,0)-(0,2,0)=(2,0,0),
→→→→∴AM·EC=0,AM·CB=0,
∴AM⊥EC,AM⊥CB,∴AM⊥平面EBC.
(2)解 设平面EAB的法向量为n=(x,y,z),
→→则n⊥AE且n⊥AB,
→→∴n·AE=0且n·AB=0.
0,0,2?·?x,y,z?=0,?z=0,?∴ 即? ??2,2,0?·?x,y,z?=0.?x+y=0.??
取y=-1,则x=1,则n=(1,-1,0).
→→→又∵AM为平面EBC的一个法向量,且AM=(0,1,1),∴cos〈n,AM〉=
1- 2
设二面角A—EB—C的平面角为θ,
1→则cos θ=|cos〈n,AM〉|= 2
∴二面角A—EB—C为60°. =
9
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