大数学家的墓志铭，想看懂得先列个方程

古往今来，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅。他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，但这些形和数，却代表了他们一生的执着追求和闪光的业绩。 

古希腊数学家，阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰与圆柱的高相等。 

这个图形表达了阿基米德的如下发现：球的体积和表面积都等于它外接圆柱体体积和表面积的2/3。由此容易推得一个半径为R的球体的体积V和表面积S的公式：

1610年，荷兰人鲁道夫范·科伊伦·(LudolphvanCeulen，1540—1610)把π算到了小数点后面35位，这是当时的世界纪录。他感到自己不虚此生，于是留下遗言，要后人把 π的35位小数刻在他的墓碑上。

17世纪瑞士的著名数学家雅各·伯努利(JacobBernoulli，1654—1705)，在数学的许多分支都有过重要的贡献，尤其醉心于对数螺线的美妙性质。他在临终前特地叮嘱，要求将一正一反的两条对数螺线刻在他的墓碑上，并附以简洁而又含义双关的墓志铭：“我虽然变了，但却和原来一样！”

在众多数学家的墓志铭中，被誉为 “代数学鼻祖”的丢番图的墓志铭，可算是一个例外。

丢番图 (Diophantus, 246—330)是3世纪亚历山大里亚城人，他的名著《算术》对后世影响极大，是一部可与欧几里得(Euclid,约公元前330—前275)的《几何原本》相媲美的代数学的最早论著。

丢番图 雕像

丢番图的墓碑文是很奇特的，用一种未知的方式写出了已知的一生：

过路人！这儿埋着丢番图的骨灰,下面的数字可以告诉你 他活了多少岁。 

他生命的1/6是幸福的童年。 

再活1/12，颊上长出了细细的胡须。 

又过了生命的1/7他才结婚。 

再过了5年他感到很幸福,得了一个儿子。 

可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。 

儿子死后，老人在悲痛中活了4年,结束了尘世生涯。 

请问：丢番图活了多少岁? 几岁结婚，几岁生孩子?

这段散发着代数芳香的碑文，是历史留给后人关于这位学者生平的唯一信息。

根据这一信息我们可以列出方程：

解得x=84。即丢番图享年84岁，他33岁结婚，38岁得子。

尽管人们对丢番图的生平知之不多，但对他的学术造诣却颇为了解。尤其丢番图关于二次不定方程的巧妙解答，更使后人叹为观止。

下面讲的勾股数组便是其中一例。

大家知道，我国是世界上最早发现勾股定理的国家。早在公元前1100年，我国劳动人民就已掌握了勾三、股四、弦五的规律，在两千年前成书的《周髀算经》中，记载了那时周公与商高的一段有趣对话。书中还有一张勾股定理证明图叫“弦图”。 

弦图

勾股定理的一般表述是：假设x、y 是一个直角三角形的两条直角边长，z是斜边长，那么这3个数必须满足：

西方最早发现这个定理的，是古希腊的毕达哥拉斯 (Pythagoras，约公元前580—前500)。他除证明以外，还找到 了如下求勾股数组的式子:

后来另一个古希腊著名学者柏拉图(Plato，公元前427—前 347)也给出了类似的式子。 

丢番图发现，无论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，例如8、15、17就不在毕达哥拉斯的式子中。于是丢番图致力于寻求构造勾股数的一般法则。丢番图找到的这种法则是:若a、b 是两个正整数，且2ab 是完全平方，则

是一组勾股数。丢番图究竟怎样找到这些式子,我们今天无从得知,但读者 完全可以验证它们满足方程

用丢番图的方法,我们可以得到最前面的几组勾股数。 

丢番图的功绩在于,他所找到的式子包含了全部的勾股数组。值得一提的是，与丢番图同时代的我国魏晋时期数学家刘徽，用几何的方法找到了以下求勾股数组的公式：

这一结论载于263年刘徽对一部古籍算书的注释本中。这是迄今为止人们对于勾股数组的最为完美的表示之一。久远的年代,往往使事件笼罩上一层神秘的色彩。

1945年，人们惊奇地发现了一份古巴比伦人的数学手稿。据考证，其年代远在 商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900—1600年。手稿中令人难以置信地列出了以下15组勾股数。

表中的许多勾股数具有很大的数字，这些数即使在今天也不是人人都很熟悉。

天晓得古巴比伦人当时是怎样得到这些数的！如果考古学家坚信自己没有对历史年代判断错的话，那么上面的史实表明：在世界的其他地方还不知道3、4、5的关系的时候，古巴比伦人已经有了相当灿烂的文化。这无疑给人类早期的文明史，又增添了一个千古之谜！

来源：《给孩子的数学故事书》

作者：张远南 张昶

编辑：张润昕