都是张数惹得“祸”

　　一、问题提出

 

“五段式”教研活动走进了濉溪路小学，做课的董辉老师带来一节《烙饼问题》，引起与会老师的激烈讨论。

 

问题情境：小红的妈妈在厨房里烙饼，这口平底锅每次只能烙2 张饼，两面都要烙，每面3 分钟，小红和爸爸、妈妈各吃一张饼，怎样才能让他们尽快吃上饼？

 

焦点之一：在探究烙3张饼所需时间时，绝大部分学生认为所需时间是12分，给出理由也“相当充分”——每张锅只能烙2张（需6分钟），剩下1张再烙（需6分钟），一共是12分钟；部分老师认为，根据学生的生活经验和认知特点，甚至会出现无一人知道烙3张饼最短时间是9分钟。如果出现这些情况，执教老师该如何应对？

 

焦点之二：学生在老师的“帮扶”下，通过实验、分析、推理、归纳等一系列的数学活动总结出烙饼问题的数学模型（也可以说是公式）：

 

            饼的张数×3=所需的时间

 

试问一下：学生真正理解这个模型的含义了吗，能不能准确地表述出烙饼的过程（尤其是3张饼的情况）？谁也不能给出肯定的答案。

 

焦点三：如果一张锅能烙3张、4张、5张、…，又该如何去烙？有没有规律可循，模型建立？做课的董老师在试教时，也做了大量的有益的尝试，效果也不是很明显。与会的老师们也鲜见有讨论类似情况的课例，也不禁会产生疑问：是不是讨论一张锅能烙3张、4张、5张、…的情况没有任何数学价值，其背后的真正原因又是什么？

 

针对上述问题，可谓是仁者见仁，智者见智。在这里，笔者也苦思良久，总感觉是饼的张数“惹得祸”，如果我们从“饼的面数”入手，教学效果可能会峰回路转，柳暗花明。

 

二、解决对策

 

《烙饼问题》不妨考虑从面数入手，这比张数更本质。与其说烙的是张数，不如说烙的是面数更为直接、更为本质，学生也能够理解和接受。教师在出示问题并让学生读取数学信息的时候，不仅指出每次烙2张饼，更要进一步地强调每次烙的是2个面，而且只能烙2个面，让学生在头脑中留下“烙面数”印象，为解决烙3张饼问题埋下伏笔。接着教师顺势引导学生理解烙3张饼其实就是烙6个不同的面，而起每次只能烙2个面，从而很容易得出：烙3张饼的时间是，6÷2×3=9（分钟）。

 

当学生真正理解——烙饼的本质就是烙的面数，而且每次只烙2个不同的面——的时候，便水到渠成地掌握烙3张饼的过程，并能清楚地表述出来。比如，学生会把3张饼的6个面进行标识（像A1、A2；B1、B2；C1，C2之类），并在保证不能取同一张饼两个面的情况下，两两组合即把3张饼烙熟，这也是烙3张饼的最佳方法。当烙的饼数为：4张、5张、6张、…时，教师还应该引导学生从面数考虑，先计算出总面数，再除以2（每次可烙的面数），再乘3（每次烙的时间），便求出所需的最短时间。数学模型也随即建立起来：

 

       总面数÷2×3=所需的时间，

 

又因为“总面数=饼的张数×2”，所以就有

 

       饼的张数×3=所需的时间。

 

总之，学生理解这个模型的真正含义后，就能很快计算出烙饼所需的时间（ 总面数÷2×3），再动手操作验证或语言表述过程都会显得那么轻松流畅。

 

学生一旦把握住烙饼的本质——就是烙饼的面数，当我们改变烙饼的形式时——每张锅最多可烙3张饼、4张饼、5张饼等等，学生也能发现规律，推导归纳出相应的数学模型，即

 

 总面数÷每次可烙的面数×每次烙的时间=所需的时间，

 

（ 用字母表示：M ÷ m × t = T ）

 

当m=2时，就是每张锅烙2张饼的情况，无论饼的张数是单，是双，面数M总是双数，M ÷ 2等于整数，也就是说锅总能被充分利用，也就存在最优化策略。当m=3、4、5、…时，M ÷ m结果是有余数的，锅就不能保证被充分利用，就不存在节省时间，节约成本的最优化问题，这也许是我们不去讨论一张锅能烙3张饼、4张饼、5张饼、…的真正原因吧。

 

另辟蹊径，总能柳暗花明。如果我们试着从面数去探究烙饼问题，改变一下教学思路，重新设计教学过程，如何引导让学生从面数去考虑烙饼问题，如何将一张锅可烙2张饼、3张饼、…进行有效整合去发现规律，带着这些问题再去课堂实践，或许会出现令人耳目一新的教学景象呢？我想这也是一件非常有意义的事，值得一试。

 

三、一点感想

 

把握数学的本质，通晓它的变化形式，我们的数学课堂才会充满智慧和灵动——这也是本节课给我的最大感触和收获。

 

还是从烙饼问题谈起。无论每张锅可烙2张、3张、4张、…，还是用一张锅去烙不同数量的饼，变化的是每张锅可烙饼的张数或同一锅中饼的不同名称，不变的是每次可烙的面数和要烙不同的面。变得是形式，不变的是本质。

 

从最优化的角度来看，《烙饼问题》和《打电话问题》在本质上也是一致的。一个是保证锅不能空着，一个是保证人不能闲着，都是最大限度地利用时间，利用成本，这也是解决问题的关键所在。

 

从余数理论的角度来看，《烙饼问题》与《找次品》、《抢数》在原理上也是相通的，都是按余数分类讨论。

 

《烙饼问题》在解决一张锅只能烙2张饼时，用饼数除以2，余数是1或0。余数是0时，饼数为双数，2张2张地烙，所需时间最短；余数是1时，饼数为单数，2张2张地烙，剩下3张按最佳方法烙，所需时间最短。

 

《找次品》先把物品尽量3等分，使得最多的一份和最少的一份相差1。任何数除以3，余数是2或1或0。物品数除以3，余0时，平均分成3份；余1时，最多的一份和最少的一份相差1；余2时，把2均分到其中2份，使得最多的一份和最少的一份也相差1。

 

《抢数》不妨以抢3为例，规则：两人从1开始轮流往后报数，每次至少报1个数，最多报2个数，谁先抢到指定数谁赢。这里运用余数理论，掌握获胜策略。数据的个数除以3，余数是2或1或0。余数为0时，后报者必胜；余数为1或2时，先报完余数者，获胜。

 

正如天津特级教师张菁所说：“数学是一个动态的、充满生机的生命体，尽管它的形式是变化多样的，但富于变化的形中却蕴含了相通的质。”　

 

在立足教材，关注课堂的时候，我们善于抓住数学知识和方法的本质联系，将数学知识系统化，以达到对数学的统一的认识，使知识融会贯通，这样我们才能在教学的道路上不会迷失方向，才能渐行渐远。

 

以上只是我个人浅显的看法，甚至是不成熟的，在这里恳请专家和同仁们不吝赐教。