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“有余数的除法”是苏教版二年级下册第一单元的内容。学生在二年级上册已经学习了“表内乘法和表内除法”单元的内容，而且其在该册教材中是比较靠后的一个单元，这就有利于教师在教学中把“有余数的除法”与“表内除法”有机联系起来，也便于学生在本单元学习时，运用学习表内除法时积累的经验，展开观察、操作、交流、思考等活动。前苏联著名教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》中指出：“数学教学是数学活动的教学。”数学活动实质上一种认知发现活动，是一种有意义的学习。学生学习“有余数的除法”，既要建立“余数”的概念，又要掌握有余数除法的计算方法。通过参与丰富的数学活动，在活动过程中广泛交流、积极反思、充分体验，学生能将实际生活中的数学材料转化为数学模型，既获得概念、掌握计算方法，还能不断积累活动经验，对数学形成好奇心和求知欲，发展数学素养。

【活动一】操作中感知。

同桌两人一组，每组10支铅笔，一张记录表。

师：（课件出示例题的前半部分及图）10支铅笔，每人分2支，分给几人？

生：每人分2支，可以分给5人。10÷2=5。

板书：10÷2=5。

师：大家学过表内除法，已经会解决这样的问题了。我们再用小棒分一分，验证一下，好吗？

分组操作：10根小棒，每2根1份，分成5份。

师：哪组同学愿意把操作过程展示给大家看一看？

指定两个学生在实物投影仪上演示。

师：我们看到，10支铅笔，每人分2支，可以分给5人，正好分完。

师：分10支铅笔，如果要求每人分得的铅笔同样多，除了每人分2支，你们还有其他的分法吗？（出示例题的后半部分）还是10支铅笔，每人分3支，可以分给几人，结果怎样？每人4支、5支呢？（出示记录表）大家再动手分一分、想一想，并把每次分得的结果记录在表中。

学生分组操作，并做好记录。

教师巡视，并对需要帮助的学生进行个别指导。

师：哪组同学愿意来展示你的操作过程和结果？

生：（在实物投影仪上操作、讲解，并展示填表的内容）10支铅笔，每人分3支，可以分给3人，还多1支；10支铅笔，每人分4支，可以分给2人，还剩2支；10支铅笔，每人分5支，可以分给2人，正好分完。

师：（课件出示记录表）这是大家刚才操作、记录后的表格。每行的内容分别是什么意思？同桌之间互相说一说。

同桌合作，根据记录表互相说分的过程和结果。

师：通过操作、填表，你有什么发现？

生：10支铅笔，每人分的同样多，有时正好，有时有剩余。

生：分一些东西，每个人分的同样多，有时会有剩余。

【反思】用10÷2唤醒学生关于表内除法、平均分的已有认知和经验，进而放手让学生自主探索10支的其他分法，在边操作边填表记录的过程中，学生既关注分的方法与过程，又关注分的结果。让学生展示自己的分法与记录表，并在交流中梳理操作过程，形成一致的表达方式，便于沟通与交流。对记录表重新解读，“10支铅笔，每人3支，可以分给3人，还多1支”等，是对操作过程的理性提升，也将学生注意力集中到分法的对比上来，还为下一个活动“探索如何列有余数除法的算式”做好铺垫。而活动的总结环节，让学生谈体会就显得水到渠成：分一些东西，每份分的同样多，有时会有剩余。到此，关于“余数”，虽然没有提出名词，但学生头脑中已经形成清晰的表象，为下面引入并建立余数的概念打下基础。

【活动二】探索中建构。

师：（出示完成的记录表）像10支铅笔，每人分3支这样的分法，能用一个算式来表示吗？请小朋友先想一想，再在记录表上试着写一写。

学生尝试列出算式，教师参与学生的活动，并让学生说说列出算式中的各个数所表示的意思。

师：好！谁上来展示你写的算式？

生₁：10÷3=3（人）还剩1支。

师：能跟大家说说算式中的10、3表示什么，3人、1支呢？

生：10表示10支铅笔，第一个3是每人分3支，结果是可以分给3人，最后还剩下1支。

师：这里剩下的1支还可以再分吗？为什么？

生：不能再分了。因为要求是每人分3支，剩下的1支不够分人1个人的。

生₂：10÷3=3（人）1支。

师：你也来跟大家说说算式中的数分别表示什么？还能再分吗？

生：（略）

生₃：10÷3=3（人）……1（支）

师：能说说你写出的算式中各部分所表示的意思吗？

生：“10÷3”表示把10支铅笔平均分，每3支分给一个人。“3人”表示可以分给3人；“1支”分到最后，还剩1支，不能再分了。

师：小朋友们听明白了吗？这3个同学虽然列出的算式不太一样，但所表达的意思是一样的，都是要把10支铅笔，每人分3支，可以分给3个人，最后还剩下1支，不能再分了。注意了！（指着3道算式中的“1支”）这剩下的1支是原来10支里的一部分，可不能忘了。这样的问题，也可以用除法算式表示，（边说边板书算式）写成“10÷3=3（人）……1（支）”，算式中的“3人”表示10除以3的商，“1支”表示剩下的1支，这个剩余的数，我们叫它“余数”（在“1”下面板书“余数”）。写有余数的除法算式时，要在商和余的中间加上6个小圆点，算式读作“10除以3等于3余1”。这就是我们今天要学习的有余数的除法（揭示课题）。我们一起来读一读这道有余数的除法算式吧？

学生齐读算式。

师：你能把记录表中分铅笔有剩余数的其他情况，也用除法算式表示出来吗？

学生独立完成算式，并在反馈时让学生读一读算式，说一说每道算式的意思。

【反思】通过分铅笔的活动，学生在头脑中已经初步建立了“余数”的表象。让学生尝试列算式，在写算式的过程中完成由具体到抽象的过渡，则是学生形成余数概念的重要环节。这一环节，既是把现实问题中具体数量关系抽象成数学表达式的过程，又是学生“再创造”余数表示方法的过程。而学生在这一过程中，虽然给出的算式不一定规范，但其思考的过程是一致的，且对余数含义的理解是准确而深刻的。交流时引导学生重点讨论“剩下的还可以再分吗？为什么”，既是对分铅笔过程的再现，又为学生下环节发现“余数要比除数小”的结论提供了丰富而坚实的感性经验。

【活动三】观察中发现。

1．摆一摆，填一填。

师：刚才我们把10支铅笔，平均分给小朋友，发现有时能正好分完，有时却会出现余数，你想知道其中的秘密吗?

师：这回我们还是请小棒来帮忙，看！如果给你4根小棒你能摆出1个正方形吗？8根又能摆出几个正方形呢？

课件演示用小棒摆正方形的过程。

师：那像这样用12、13、14、15、16根小棒摆正方形，结果又会怎样？

师：同桌两人合作，一人在头脑中摆小棒，一人用小棒摆一摆加以验证。先商量一下做好分式，再按要求完成，并填写书上的除法算式和表格。

学生在同桌间活动，教师巡视。

师：哪组的小朋友愿意展示一下你们的结果？

根据学生的交流，逐一演示用小棒摆正方形的过程，同时呈现下列算式：

12÷4=3（个）

13÷4=3（个）……1（根）

14÷4=3（个）……2（根）

15÷4=3（个）……3（根）

16÷4=4（个）

师：你得到的结果和他们的一样吗？

生：一样！

2．比一比，说一说。

师：我们来观察这一组除法算式，比一比，你发现了什么？

生₁：被除数不一样，一个比一个大1，除数一样，都是4。

生₂：结果也不一样，有的可以摆出3个正方形，有的可以摆出4个。

生₃：有的有余数，有的没有余数。

生₄：有的正好搭完，有的不能。

生₅：余数不一样，一个比一个大1。

……

师：这一组算式中，除数都是4，余数有哪几种情况呢？

生：余数可能是1、2、3。

师：（指13÷4的算式）这里余数是1，表示摆出3个正方形后还剩下1根小棒。剩下的1根还能再摆一个正方形吗？

生：要4根小棒才能再摆一个正方形，1根不够。

师：（指算式）那像这里，剩下的分别是2根、3根呢？

生：不行，2根和3根都不够摆一个正方形的。

师：（指16÷4的算式）这里是16根小棒，摆出3个正方形后，还剩下几根小棒？剩下的小棒够摆一个正方形吗？

生：还剩下4根，正好可以摆一个正方形。

师：请小朋友想一想，16除以4的商为什么是4，而不是3？

生：摆出3个正方形后，剩下的4根还可以再摆一个正方形，所以，商是4。

师:从上面的例子中你能发现什么？

生₁：除数是4，余数只能是1、2、3。

生₂：余数不能等于除数。

生₃：余数要除数小。

师：请小朋友在小组里讨论，在有余数的除法中，余数为什么要比除数小？

引导学生结合摆小棒的过程表达自己的想法。

小结（略）。

【反思】认识“余数要比除数小”是本课的认知难点。而突破这一难点的关键在于引导学生通过观察、操作等具体的活动，初步发现除法运算中余数的变化规律，进而理解余数必须比除数小的道理。考虑到用12根小棒摆正方形的过程学生比较熟悉，而用13、14、15根小棒摆正方形，又是前面操作的继续，学生通过想象能够到正确的结果。因此，设计数学活动时，适当增加了学生的思维空间。要求学生同桌合作，一人在头脑中想象摆小棒的过程，一人通过实际操作加以检验。这样安排，既可以帮助学生在操作过程与算式含义之间建立对应关系，强化对有余数除法算式的理解，又有利于学生深刻体验余数的产生过程，初步感知余数的变化规律。让学生把每次得到的算式有序地排列起来，并把“小棒根数、正方形个数、余下的根数”整理在表格里，为进一步组织学生的观察、比较活动提供了丰富的事实材料，促进他们有序、有效地展开思考，主动发现“余数要比除数小”的结论。这样的设计，符合学生认知现实，有利于学生主动获取知识，积累数学活动经验。