18.1.2 平行四边形的判定
1.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形.
2.掌握三角形的中位线的概念和定理.
1.在运用平行四边形的判定方法和三角形的中位线定理的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识,通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.
2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生的动手能力、合情推理的能力,使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透化归意识.
通过自学思考,推理论证,讨论交流,发展学生的自学能力和独立思考的习惯,丰富学生的数学经验,感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性
【重点】 平行四边形的判定方法的探究和运用,以及三角形中位线定理的理解和应用.
【难点】 对平行四边形的判定与性质定理的综合运用.
第课时
1.在探索平行四边形的判定条件中,理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.
3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.
经历平行四边形判定条件的探索过程,发展学生的合情推理意识和表述能力.
培养学生合情推理的能力及严谨的书写表达,体会几何思维的真正内涵.
【重点】 理解和掌握平行四边形的判定定理.
【难点】 对平行四边形的判定与性质定理的综合运用.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习平行四边形的定义及性质.
导入一:
有一块平行四边形的玻璃块,如图所示,假如不小心碰碎了一部分,聪明的技师拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来,你知道他用的是什么办法吗?
[设计意图] 创设数学问题情境,产生认知冲突,快速吸引学生注意,立刻置学生于情境中的问题里,让学生从真实的生活中发现数学,激发学习兴趣,引导学生树立科学的人生观和价值观.
导入二:
1.平行四边形的定义是什么?
2.平行四边形具有哪些重要的性质?
3.你能说出上述三条性质的逆命题吗?
引导学生回答并概括,适时板书相关内容.
逆命题1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
逆命题2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
逆命题3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
同学们手中有一些木条,如果要做一个平行四边形框架,你能想出一些办法吗?
本节课,我们主要研究平行四边形的判定方法.
[设计意图] 复习旧知,以问题唤醒学生的回忆,将探究的问题与生活中的问题相结合,激发了学生学习平行四边形判定方法的欲望,为学习平行四边形的判定方法做了铺垫.
1.平行四边形的判定方法
思路一
[过渡语] 前面学过了平行四边形的性质:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分,你能写出它们的逆命题吗?
学生自由说平行四边形性质的逆命题:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
追问:你能根据平行四边形的定义证明这些命题的正确性吗?
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
学生讨论:根据平行四边形的定义,证明平行四边形需要证明什么?
学生思考回答,教师总结:证明四边形的两组对边平行.
回忆证明两直线平行的方法,思考:如何证明两组对边平行?
学生独立思考,要证明两直线平行,需证明同位角、内错角或同旁内角的关系,因此,需要构造相关的角.
老师追问:如何构造?构造的角是什么关系?
学生尝试作对角线AC或BD.
再讨论:如何证明内错角相等?
学生独立思考,利用条件证明三角形全等,利用全等三角形的性质,证明内错角相等.
教师提问,学生分析回答,板书证明的过程.
证明:连接AC,如图所示,
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
教师说明:通过证明,说明这个命题是正确的,即可作为平行四边形的判定方法.
提问:你能用数学语言表述这个判定定理吗?
学生思考回答,教师板书:
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
[设计意图] 通过讨论,师生合作分析,培养学生的转化的数学思想,并为后面的几个逆命题的证明起到示范作用.
思路二
提问:你认为上述三个逆命题是真命题吗?你能通过实验来验证你的猜想吗?
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
观察你拼成的四边形是怎样拼成平行四边形的,转动这个四边形,使它改变形状,在图形变化过程中,它一直是平行四边形吗?(出示图形,如右图所示)
观察发现:只有将两长两短(长度分别相等)的木棒分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形.
说出自己的猜想:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
尝试证明:先由学生独立思考、小组交流,然后教师组织小组汇报,学生口述他们的想法,师生共同给出证明过程.
符号表示:
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
[设计意图] 通过让学生动手实验,亲历将两两相等的木棒作为对边得到平行四边形这个知识的发展形成过程,体验发现知识的快乐,变被动接受为主动探究.
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
[过渡语] 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.这个命题你能证明吗?
学生自己画图,写出已知和求证.
已知:如图所示,四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
学生独立证明,交流思路后,完成证明过程.
证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∴∠A+∠B+∠A+∠B=360°,
∴∠A+∠B=180°.
∴AD∥BC.
同理可得AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
教师总结:通过证明,这个命题也可以作为平行四边形的判定方法.
引导学生用数学语言表述这个定理:
∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
思路一
师生画图,共同写出已知和求证.
已知:如图所示,四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
[过渡语] 我们除了可以用定义证明,还可以用以上两个判定定理证明.
学生思考后,选择用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明.
证明:在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD,
同理可得AD=CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
教师总结:这也是一种平行四边形的判定方法.用数学语言表述这个命题为:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
提问:通过以上证明,我们得到了平行四边形的判定定理.这些定理与平行四边形的性质定理有何关系?
学生思考,老师强调平行四边形的判定定理与平行四边形的性质定理互为逆定理.
[过渡语] 你能总结平行四边形的判定方法有哪些吗?
学生思考并总结,教师完善板书的内容,并强调平行四边形的判定方法:
①平行四边形的定义.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
[设计意图] 一方面提高学生对平行四边形的性质的认识,另一方面通过师生分析,培养学生的转化的数学思想,并进一步掌握平行四边形的判定方法.
思路二
下面我们进行一个探究活动:
(出示图形,如图所示)将两根细木条AC,BD的中点重叠,用小钉绞合在一起,用橡皮筋连接木条的顶点,做成一个平行四边形ABCD.并观察:转动两根木条,四边形ABCD一直是平行四边形吗?
学生探究发现:四边形ABCD一直是平行四边形.
学生选择通过证明△AOB≌△COD,得到AB=DC,证明△AOD≌△COB得到AD=CB,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形.
学生完成证明过程,并与教材第45页的证明过程进行对照检查.
符号语言:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
教师引导学生小结证明平行四边形的方法:
的四边形是平行四边形.
[设计意图] 让学生继续动手、实验,亲历知识的发生、发展过程,体会“观察—实验—猜想—验证—推理”的研究方法,并在探究过程中学会与人合作.
2.例题讲解
[过渡语] 到目前为止,我们学过的平行四边形的判定方法共有4种,下面我们来看这些判定方法的应用.
(教材例3)如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.
引导学生分析已知条件,探究证明一个四边形是平行四边形的方法.
将全班分为三组,第一组用两组对边分别平行进行证明;第二组用两组对边分别相等的判定定理证明;第三组用对角线互相平分的判定定理证明.各个小组完成后各选一名代表上台展示本小组的证明方法.
教师提问,哪一种方法是最佳方法?
教师进一步引导分析,师生共同完成证明过程.
〔解析〕 由已知条件可知:OB=OD,OA=OC,因为AE=CF,所以OE=OF,根据平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可证明四边形BFDE是平行四边形.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,
即EO=FO.
又 BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形.
[解题策略] 从已知条件入手,分析条件的特征,发现条件AE=CF与▱ABCD的对角线有密切的关系,因此,根据平行四边形的判定定理,设法证明两条对角线互相平分即可.
【变式训练】 如图所示,▱ABCD中,E,F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证四边形BEDF是平行四边形.
〔解析〕 利用条件证明△ABE≌△CDF,得AE=CF,连接BD交AC于O,证明四边形BEDF的对角线EF,BD互相平分即可.
证明:连接BD交AC于点O,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠DFC=90°.
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴AE=CF.
∴OA-AE=OC-CF,
即OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
学生独立思考并说出证明方法和依据,教师引导学生可以用其他判定方法进行证明,并对各种判定方法进行比较.
[设计意图] 通过例题的教学,使学生掌握证明平行四边形的方法的确定及平行四边形的判定定理的应用,通过条件的变化,使学生体会判定方法的灵活运用.通过不同证明方法的探讨及不同方法之间的比较,使学生体会到证明方法的选择的重要性.
[知识拓展] 本节课判断四边形是否为平行四边形的基本思路有两个:一是从等量关系的角度入手,二是从位置关系的角度入手.
本节课我们主要学习了平行四边形的判定方法:
平行四边形的定义
文字语言:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
符号语言:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1
文字语言:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理2
文字语言:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理3
文字语言:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.
