追寻引力的量子理论 (下)

- 卢昌海 -

五. Loop Quantum Gravity

传统量子引力方案的共同特点，是继承了经典广义相对论本身的表述方式，以度规场作为基本场量。一九八六年以来， A. Ashtekar 等物理学家借鉴了几年前 A. Sen 的研究工作，在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，以自对偶自旋联络 (self-dual spin connection) 作为基本场量 (这组场量通常被称为 Ashtekar 变量)。他们的这一做法为正则量子引力的研究开创了一番新的天地。同年， T. Jacobson 和 L. Smolin 发现 Ashtekar 变量的 Wilson loop 满足 Wheeler-DeWitt 方程。在此基础上， C. Rovelli 和 Smolin 提出把这种 Wilson loop 作为量子引力的基本态，从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案: Loop Quantum Gravity。

Loop Quantum Gravity 完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规，因此被称为是一种背景无关 (background independent) 的量子引力理论。一些物理学家认为， Loop Quantum Gravity 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的。因为广义相对论的一个最基本的结论，就是时空度规本身由动力学规律所决定，因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中，经典的背景度规不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。

Loop Quantum Gravity 所采用的新的基本场量并非只是一种巧妙的变量代换手段。从几何上讲， Yang-Mills 场的规范势本身就是纤维丛上的联络场，因此以联络作为引力理论的基本变量，体现了将引力场视为规范场的物理思想。不仅如此，自旋联络对于研究引力与物质场 (尤其是旋量场) 的耦合几乎是必不可少的框架。因此以联络作为引力理论的基本变量，也为进一步研究这种耦合提供了舞台。 Rovelli 和 Smolin 等人发现，在 Loop Quantum Gravity 中由广义协变性 - 也称为微分同胚不变性 (diffeomophism invariance) - 所导致的约束条件与数学上的 “节理论” (knot theory) 有着密切的关联，从而使得约束条件的求解得到强有力的数学工具的支持。 Loop Quantum Gravity 与节理论之间的这种联系看似神秘，其实在概念上并不难理解，因为微分同胚不变性的存在，使得 Wilson loop 中具有实质意义的信息具有拓扑不变性，而节理论正是研究 loop 拓扑不变性的数学理论。

经过十几年的发展，目前 Loop Quantum Gravity 已经具备了一个数学上相当严格的框架。除背景无关性之外， Loop Quantum Gravity 与其它量子引力理论相比还有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是非微扰的。迄今为止，在 Loop Quantum Gravity 领域中取得的重要物理结果有两个：一个是在 Planck 尺度上的空间量子化，另一个则是对黑洞熵的计算。

空间量子化曾经是许多物理学家的猜测，这不仅是因为量子化这一概念本身的广泛应用开启了人们的想象，而且也是因为一个连续的背景时空看来是量子场论中紫外发散的根源。一九七一年， R. Penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满足的代数关系相似，被称为 spin network。一九九四年， Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中面积与体积算符的本征值^[注一]，结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态与 Penrose 的 spin network 存在密切的对应关系。以面积算符为例，其本征值为：

A = L_p² Σ_l [J_l (J_l + 1)]^1/2

式中 L_p 为 Planck 长度， J_l 取半整数，是 spin network 上编号为 l 的边所携带的量子数，求和 Σ_l 对所有穿过该面积的边进行。这是迄今为止有关 Planck 尺度物理学最具体的理论结果。如果被证实的话，或许也将成为物理学上最优美而意义深远的结果之一。 Loop Quantum Gravity 因此也被称为量子几何 (Quantum Geometry)。对 Loop Quantum Gravity 与物质场 (比如 Yang-Mills 场) 耦合体系的研究显示，具有空间量子化特征的 Loop Quantum Gravity 确实极有可能消除普通场论的紫外发散。

至于黑洞熵的计算， Loop Quantum Gravity 的基本思路，是认为黑洞熵所对应的微观态由能够给出同一黑洞视界面积的各种不同的 spin network 位形所组成^[注二]。按照这一思路进行的计算，最早由 K. Krasnov 与 Rovelli 所分别完成，结果除去一个被称为 Immirzi 参数的常数因子外，与 Bekenstein-Hawking 公式完全一致^[注三]。因此 Loop Quantum Gravity 与 Bekenstein-Hawking 公式是相容的。至于它为什么无法给出公式中的常数因子，以及这一不确定性究竟意味着什么，目前仍在讨论之中。

六. 超弦理论

量子引力的另一种极为流行的方案是超弦理论 (Superstring Theory)。与 Loop Quantum Gravity 相比，超弦理论是一个更雄心勃勃的理论，它的目标是统一自然界所有的相互作用，量子引力只不过是其中一个部份。超弦理论被许多人称为终极理论 (Theory of Everything - TOE)，这一称谓很恰当地反映了热衷于这一理论的物理学家们对它的厚望。

超弦理论的前身，是二十世纪六十年代末、七十年代初的一种强相互作用唯象理论。与今天超弦理论所具有的宏伟的理论目标及精深而优美的数学框架相比，它在物理学上的这种登场可算是相当低调。最初的弦理论作为强相互作用的唯象理论，很快便随着量子色动力学 (QCD) 的兴起而没落了。但一九七四年 J.Scherk 和 J. H. Schwarz 发现，弦理论的激发态中存在自旋为 2 的无质量粒子。由于早在二十世纪三十年代 M. Fierz 和 W. Pauli 就已发现自旋为 2 的无质量粒子是量子化线性广义相对论的基本激发态。因此 J.Scherk 和 J. H. Schwarz 的这一结果立即改变了人们对弦理论的思考角度。自此，弦理论渐渐走上了试图统一自然界所有相互作用的漫漫征途。十年之后，还是 J. H. Schwarz - 与 M. B. Green 等人一起 - 研究了超弦理论的反常消除 (anomaly cancellation) 问题，由此发现自洽的超弦理论只存在于十维时空中，并且只有五种形式，即 Type I、 Type IIA、 Type IIB、 SO(32) Heterotic 及 E₈ × E₈ Heterotic。这就是著名的 “第一次超弦革命” (First Superstring Revolution)。又过了十年，随着各种对偶性及非微扰结果的发现，在微扰论的泥沼中踽踽而行的超弦理论迎来了所谓的 “第二次超弦革命” (Second Superstring Revolution)，其迅猛发展的势头延续至今。

从量子引力的角度来看， Loop Quantum Gravity 是正则量子化方案的发展，而超弦理论则通常被视为是协变量子化方案的发展。这是由于当年受困于不可重整性时，人们曾对协变量子化方法做过许多推广，比如引进超对称，引进高阶微商项等，这些推广后来都殊途同归地出现在超弦理论的微扰表述中。因此尽管超弦理论本身的起源与量子引力中的协变量子化方案无关，但它的形式体系在量子引力领域中通常被视为是协变量子化方案的发展。

超弦理论的发展及内容不是本文的主题，而且已有许多不错的专著和讲义可供参考，本文就不赘述了。在这些年超弦理论所取得的理论进展中，这里只介绍与量子引力最直接相关的一个，那就是利用 D-brane 对黑洞熵的计算。这是由 A. Strominger 和 G. Vafa 等人在一九九六年完成的，与 Loop Quantum Gravity 对黑洞熵的计算恰好在同一年。超弦理论对黑洞熵的计算利用了所谓的 “强弱对偶性” (strong-weak duality)，即在具有一定超对称的情形下，超弦理论的某些 D-brane 状态数在耦合常数的强弱对偶变换下保持不变的性质。利用这种对称性，处于强耦合下，原本难于计算的黑洞熵可以在弱耦合极限下进行计算。在弱耦合极限下，与原先黑洞的宏观性质相一致的对应状态被证明是由许多弱耦合极限下的 D-brane 构成。对这些 D-brane 状态进行统计所得到的熵，与 Bekenstein-Hawking 公式完全一致 - 甚至连 Loop Quantum Gravity 无法得到的常数因子也完全一致。这是超弦理论最具体的理论验证之一。美中不足的是，由于上述计算要求一定的超对称性，因而只适用于所谓的极端黑洞 (extremal black hole) 或接近极端条件的黑洞^[注四]。对于非极端黑洞，超弦理论虽然可以得到 Bekenstein-Hawking 公式中的正比关系，但与 Loop Quantum Gravity 一样，无法给出其中的比例系数。

七. 结语

以上是对过去七十几年来量子引力理论的发展，及近年所取得的若干主要进展的一个速写。除 Loop Quantum Gravity 与超弦理论外，量子引力还有一些其它候选理论，限于篇幅本文未做介绍。虽然如我们前面所见，这些理论各自取得了一些重要进展，但距离构建一个完整量子引力理论的目标仍相当遥远。 Loop Quantum Gravity 的成果主要局限于理论的运动学方面，在动力学方面的研究却一直举步维艰。直至如今，人们还不清楚 Loop Quantum Gravity 是否以广义相对论为弱场极限，或者说 Loop Quantum Gravity 对时空的描述在大尺度上能否过渡为我们熟悉的广义相对论时空。按照定义，一个量子理论只有以广义相对论 (或其它经典引力理论) 为经典极限，才能被称为量子引力理论。从这个意义上讲，我们不仅不知道 Loop Quantum Gravity 是否是一个 “正确的” 量子引力理论，甚至于连它是不是一个量子引力理论都还不清楚^[补注一]。

超弦理论的情况又如何呢？在弱场下，超弦理论包含广义相对论，因而它起码可以算是一个量子引力理论的候选者。超弦理论的微扰展开逐级有限，虽然级数本身不收敛，但比传统的量子理论还是强了许多，算是大体上解决了传统量子场论的发散困难。在广义相对论方面，超弦理论可以消除部分奇点问题 (但迄今尚无法解决最著名的黑洞和宇宙学奇点问题)。超弦理论在非微扰方面也取得了许多重要进展。超弦理论具有非常出色的数学框架，笔者当学生时曾听过 B. Greene 的报告，其中有一句话印象至深。 Greene 说： “在超弦领域中，所有看上去正确的东西都是正确的。” 虽是半开玩笑，但这句话很传神地道出了超弦理论的美与理论物理学家 (及数学家) 的直觉高度一致这一特点。对于从事理论研究的人来说，这是一种令人心旷神怡的境界。但从超弦理论精美的数学框架下降到能够与实验相接触的能区，就象航天飞机重返大气层，充满了挑战。

超弦理论之所以被一些物理学家视为终极理论，除了它的理论框架足以包含迄今所有的相互作用外，常被提到的另一个重要特点，是超弦理论的作用量只有一个自由参数。但另一方面，超弦理论引进了两个非常重要，却迄今尚未得到实验支持的重要假设，那就是十维时空与超对称。为了与观测到的物理世界相一致，超弦理论把十维时空分解为四维时空与一个六维紧致空间的直积，这是一个很大的额外假定。超弦理论在四维时空中的具体物理预言与紧致空间的结构有关，因此除非能预言紧致空间的具体结构 (仅仅预言其为 Calabi-Yau 流形是远远不够的)，描述这种结构的参数就将成为理论中的隐含参数。此外，超弦理论中的超对称也必须以适当的机制破缺。将所有这些因素都考虑进去之后，超弦理论是否仍满足人们对终极理论的想象和要求，也许只有时间能够告诉我们。

Loop Quantum Gravity 与超弦理论目前还是两个独立的理论，彼此之间唯一明显的相似之处是两者都使用了一维的几何概念作为理论的基础。如果这两个理论都反映了物理世界的某些本质特征，那么这种相似性也许就不是偶然的。未来的研究是否会揭示出这种巧合背后的联系，现在还是一个谜。

最后，让我引用 C. Rovelli 在第九届 Marcel Grossmann 会议中的一段评论作为本文的结尾： "The road is not yet at the end, much remains to be understood, and someof the current developments might lead nowhere. But it is difficult to deny,looking at the entire development of the subject, that there has beena linear progress. And the road, no doubts, is fascinating."

注释

细心的读者可能会问：为什么不考虑长度算符？从技术上讲，这是由于 Loop Quantum Gravity 的基本场量选择使得面积和体积算符远比长度算符更容易处理。至于这种难易倒置的现象是否有深层的物理起源，目前尚不清楚。
更具体地说，按照上文提到的面积算符本征值公式，对于每一个 spin network，黑洞视界面积由穿过视界的所有的边所决定，对于一个给定的视界面积，能够给出这一面积的所有 spin network 的位形，就构成了 Loop Quantum Gravity 对黑洞熵统计解释的基础。
细致的分析表明， Immirzi 参数也出现在面积算符的本征值公式中，这是目前 Loop Quantum Gravity 所无法确定的参数，类似于 QCD 中的 θ 参数。
所谓极端黑洞，指的是黑洞所携带的某些量子数 - 如电荷 - 达到理论所允许的最大可能值。在超弦理论中，这些黑洞可以使得理论中的超对称得到部分的保留。

参考文献

A. Ashtekar, New Variables for Classical and Quantum Gravity,Phys. Rev. Lett. 57, 2244, 1986.
T. Jacobson and L. Smolin, Nonperturbative Quantum Geometries,Nucl. Phys. B299, 295, 1988.
C. Rovelli and L. Smolin, Discreteness of Area and Volumn in Quantum Gravity,Nucl. Phys. B442, 593, 1995.
C. Rovelli, Black Hole Entropy from Loop Quantum Gravity,Phys. Rev. Lett. 77, 3288, 1996.
P. S. Joshi,Global Aspects in Gravitation and Cosmology(Oxford University Press, Oxford, 1996).
D. Wallace, The Quantization of Gravity - An Introduction,gr-qc/0004005.
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C. Rovelli, Notes for a Brief History of Quantum Gravity,gr-qc/0006061.
A. Ashtekar, Quantum Geometry and Gravity: Recent Advances,gr-qc/0112038.
T. Thiemann, Lectures on Loop Quantum Gravity,gr-qc/0210094.
J. Polchinski,String Theory(Cambridge University Press, Cambridge, 1998).

二零零三年二月八日写于纽约
二零零三年二月九日发表于本站
二零零八年二月八日最新修订
http://www.changhai.org/

补注

本文完成后我未再持续关注 Loop Quantum Gravity (LQG)，不过曾在回复网友时写过几句一般性的评论，现收录于此作为补注。我对 LQG 的个人看法是：我不认为它是民科理论，它若被淘汰，我愿将它归入与诸如经典统一场论之类的被淘汰理论相类似的地位。对这一理论来说，它最需要推进的方向或许是动力学，而最可忧虑的前景或许是一个对小众理论来说比较容易发生的情形，那就是某些支持者因长时间无法进入主流而趋于偏执，那将比没有进展更坏。因为在那种情况下，支持者的行为有可能变得接近民科，并且会不幸地使原本可以以 decent attempt 的身份 “安乐死” (或 “蛰伏”) 的理论持续活跃，但越来越被主流学术界所轻视。我在旧作 Lee Smolin 和他的《The Trouble with Physics》的下篇中曾经评论过 LQG 支持者 Smolin 所推崇的他自己的一项工作，我给了一个比较委婉的评价 “他们的论文我粗略浏览了一下，尚停留在定性分析阶段，距离真正的目标还相差很远”，但实际上那篇文章的水平是出乎我意料的低，该领域若是出现很多那种水平的文章，且又不断奢谈终极理论之梦，那对它的形象将是很不利的。 [2011-02-12]

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