μ 子反常磁矩之谜 (一)

- 卢昌海 -

一. 引言

我们知道，物理学是一门自然科学，它的目的是要寻求对自然现象逻辑上简单的描述。物理学发展到今天，它对自然现象的描述按其精密程度可粗略分为两类：一类是所谓的定量描述，针对的主要是一些简单及纯粹的现象，比如氢原子的光谱，行星的运动等^[注一]；另一类则是所谓的定性描述，针对的主要是复杂现象，比如风云雷电等。

一个不无遗憾的事实是：在这两类描述中，我们所熟悉的日常经验所及的现象有很大比例是属于后一类的。不过，尽管我们很难从基础物理定律出发来细致地描述那些从经验角度看稀松平常，从定量计算的角度看却高度复杂的现象，多数物理学家却并不怀疑，在那些现象背后起支配作用的，正是和描述原子光谱及行星运动相同的物理定律。美国物理学家 Feynman 曾在他的著名讲义中这样写道： “对物理学怀有莫名恐惧的人常常会说，你无法写下一个关于生命的方程式。嗯，也许我们能够。事实上，当我们写下量子力学方程式 Hψ = i?ψ/?t 的时候，我们很可能就已在足够近似的意义上拥有了这样的方程式。”

当然，具体到关于生命的方程式上， Feynman 可能是属于特别乐观的，有些物理学家或许会更保守一点，也有些人可能会存疑。但是，正如 Feynman 在写下上述文字之前曾经以流体力学方程组为例所论述的，一组数学上简洁的物理定律往往能蕴含难以定量剖析的出人意料的复杂性，由此导致的一个后果是：一组复杂现象 - 比如生命现象，无论看起来多么远离物理定律的直接描述，都很难构成对那些定律的有效挑战。这一点无论我们是否持有象 Feynman 那样的乐观看法都很难否认。

另一方面，物理学对自然现象的定量描述虽然往往只针对简单、纯粹，有时远离经验，有时需精心制备，有时甚至只存在于理想实验之中的现象，但它与物理定律之间所具有的那种定性描述难以企及的明确关联，使它成为了物理学家们探索物理定律的最有效途径。事实上，正是通过那样的定量研究，物理学家们完成了有关物理定律的绝大多数研究。这种研究是如此之深入，而复杂现象与基本物理定律之间的关系又是如此之间接，以至于在很长一段时间里，虽然谁都认为物理学的未来征程还很漫长，我们对自然界的很多现象还没有足够透彻或足够优越的描述，但却很少有人能从实验上找到基础物理定律 - 比如广义相对论或粒子物理标准模型 - 的反例。

不过这种情形在最近几年里也许已经起了变化，本文将要讲述的 μ 子反常磁矩之谜就是一个虽然还算不上是结论性的，但却很值得关注的例子。

二. 有自旋带电粒子在电磁场中的自旋进动

为了讨论 μ 子的反常磁矩之谜，我们首先要分析一下有自旋带电粒子在电磁场中的自旋进动，这是对 μ 子反常磁矩进行实验测量的理论基础。

我们知道，一个质量 m，电荷 e，自旋 s 的有自旋带电粒子所带的磁矩 μ 正比于 (e/2m)s (请读者想一想，为什么会有这样的比例关系？)，比例系数通常记为 g，称为该粒子的 g-因子，即 (在本文中我们采用 c=1 的单位制)：

μ = g(e/2m)s

(1)

另一方面，按照电磁学理论，任何磁矩在电磁场中都会感受到力矩 μ×B 的作用 (B 为磁感应强度)。这一作用会造成自旋的进动：

ds/dt = μ×B = g(e/2m)s×B

(2)

不过，这一自旋进动方程式只适用于粒子在其中瞬时静止的平动参照系，特别是，其中的时间 t 及磁感应强度 B 都是在该参照系而非实验室系中测定的，这对于实际应用来说显然是极不方便的。为了得到在任意参照系中都适用的结果，我们需要将这一方程式推广为协变方程。

为了做到这一点，我们首先引进与三维自旋矢量 s 相对应的四维轴矢量 s^μ，并将 s×B 改写为协变形式 F^μνs_ν^[注二]。不过，如果我们就此将 (2) 式简单地推广为 ds^μ/dτ = g(e/2m)F^μνs_ν (τ 为粒子的固有时)，却会遇到一个问题。我们知道，在粒子瞬时静止的参照系中， s^μ 的分量为 (0, s)，它与粒子的四维速度 u^μ = (1, 0) 正交，即：

s^μu_μ = 0

(3)

可惜的是，这一方程与 ds^μ/dτ = g(e/2m)F^μνs_ν 在一般情况下是彼此矛盾的 (请读者自行证明这一点，并说明所谓的 “一般情况” 指的是什么情况？)。这一矛盾表明我们还遗漏了一些项。

为了找出那些遗漏的项，常用的办法是考虑所有物理上可能并且满足协变性要求的项。在我们所考虑的问题中，相关的物理量只有 F^μν、 s^μ 和 u^μ^[注三]，因此所有物理上可能的项都必须由它们构成。另一方面，自旋进动方程 (2) 所具有的形式表明 ds^μ/dτ 对 F^μν 和 s^μ 都是线性的。简单的罗列分析表明，在由 F^μν、 s^μ 和 u^μ 组成的所有四维矢量中，除已经找到的正比于 F^μνs_ν 的项外，唯一能满足这一线性条件的只有正比于 u^μ，比例系数 - 作为四维标量 - 对 F^μν 和 s^μ 为线性的项 (请读者想一想，为什么不能有其它的项，比如正比于 s^μ 或 F^μνu_ν 的项？)，因此，对应于 (2) 式的协变方程只能是：

ds^μ/dτ = g(e/2m)F^μνs_ν + αu^μ

(4)

为了确定比例系数 α，我们注意到对 (3) 式求导可得：

(ds^μ/dτ)u_μ + s_μ(du^μ/dτ) = 0

(5)

将 (4) 式及带电粒子本身的运动方程 du^μ/dτ = (e/m)F^μνu_ν 代入 (5) 式可得 (请读者自行完成这一证明的细节)： α = (g-2)(e/2m)F^μνu_μs_ν。由此我们就得到了有自旋带电粒子在电磁场中的自旋进动方程的协变形式 (为避免指标重复，我们对哑指标作了更换)：

ds^μ/dτ = g(e/2m)F^μνs_ν + (g-2)(e/2m)(F^ρσu_ρs_σ)u^μ

(6)

我们得到这一形式所用的方法是比较数学化的，即主要依据了协变性的要求，而与有自旋带电粒子的具体模型，及各项所可能具有的物理意义无多大关系。不过 (6) 式本身其实是有着很清晰的物理意义的：它的正比于 g (从而正比于磁矩) 的部分给出的是粒子所受的电磁力矩，与 g 无关 (从而与磁矩无关) 的部分给出的则是著名的相对论运动学效应 Thomas 进动。

(6) 式 - 如我们在下节中将会看到的，是物理学家们对 μ 子反常磁矩进行实验测定的重要依据。

注释

当然，这里所说的 “简单及纯粹” 是相对于研究范围及观测精度而言的，比如行星，它本身显然是高度复杂的，但假如我们的研究仅限于考虑它作为一个整体在外部引力场中的运动，那它就可以被视为是一个 “简单及纯粹” 的体系的一部分。
细心的读者也许已经注意到了，这一推广完全类似于对 Lorentz 力中的 v×B 项的处理。另外，有些读者可能更熟悉将三维自旋矢量 s 推广为二阶反对称张量 s_ρσ 的做法，这与本文所用的方法是等价的，本文引进的四维矢量 s^μ 与 s_ρσ 之间具有对偶关系： s^μ = (1/2)ε^μνρσu_νs_ρσ。
这里我们假定电磁场的分布足够均匀，从而可以忽略它们的导数。

二零零九年二月三日写于纽约
二零零九年二月四日发表于本站
http://www.changhai.org/

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