4、两个基本公设，等效原理及同步静止钟校准方法
4.1第一公设与几个推论
我们知道，引力势能的负值等于一对作用力与反作用力做功之和，因而引力势能是个不依赖于相对性原理的可观察量。为此我们有这样的结论：在静引力场中，质点从A搬到B这一过程中的转移能量总是恒等于引力势能增量。从这个角度讲，我们可以把静引力场力学看成非对称学的一种特殊情形，即静引力场力学中的参考系相对于S0系元位移dr0≡0。更明确地说，相对性原理在静引力场中是正确的，把它表述为：当引力势作为一个物理量引入后，物理规律必须认为是其它物理量与运动势之间的关系；物理规律对于更广泛的变换群成立。
现在我们感兴趣的是这样一个问题：能否借助“引力势与运动势等效”这一桥梁而把爱因斯坦在静引力场中取得的成就引进到非对称运动力学中？经严密思考后发现，这个想法是完全成熟的。当然，在此之前我们先要做好如下两项工作，一是把非对称运动力学那部分与静引力场相同的图案分离出来；二是把爱因斯坦的等效原理作适当的调整。下面，我们一起来探讨第一项工作，从而引入第一公设。
考虑到质点的时空形象是由运动势φ所产生的，而φ是个不依赖于相对性原理的可观察量，因此，当φ作为一个物理量引入后，就描述运动质点上某瞬间发生的静态物理现象（时空形象）的规律而言，该规律必须认为是其它物理量与运动势之间的关系，而φ是相对速度v和观察者的绝对运动速度v0的函数。就是说，在没有引入φ这个概念之前，v和v0是这些规律的参量，一旦φ作为一个物理量引入，这些规律可以不再出现v和v0这个两参量，因为它们已被φ所“置换掉”。显而易见，在考查这些规律时，我们可以作这样的抽象：把观察者及被观察的质点想象在特别优越参考系上静止，但是要把它们看成各自“沉浸”原来的运动场W区域中。我们即将看到，这个“抽象”通过等效原理将获得实质性的物理内容；同时，这个“抽象”既不影响结果又能为解题带来方便。有了这个抽象，我们类比于静引力场方法而进一步假定：若某物理规律的“v和v0”这个两参量能被运动势φ代换后，则该物理规律具有参考系变换不性。这个假定与下面几个子公设就组成了修正后的相对性原理，称之为第一公设，表述如下
子公设a:若某规律的“速度”能被运动势φ代换，则代换后的规律具有参考系变换不变性。
子公设b:运动势φ与v及v0可能有的其它关系，概括在待定的标量函数φ=φ（v0,v）之中。
子公设c:当光波在W=0而φ≠0的运动场区域传传播时，则区域中的物质不影响光原来的运动轨道和速度行为。
必须强调，子公设a和c本身是相对性原理的内容之一，无须再论证。不难证明，若把子公设b改述为“运动势φ仅是相对速度v的函数，记作φ=φ（v）”，则所有物理规律中的速度都可以被运动势代换，从而有这样的结论：全部物理现象都不能给引进绝对运动的概念提供任何依据，这个结论恰恰是相对性原理最广泛意义的陈述。就是说，爱因斯坦的相对性原理仅是第一公设在v0≡0时的一种特殊情形。
此外，物理空间“直线”这元素往往是相对于光线直线传播或绝对刚体这些概念而言。而绝对刚体的名声不好，因此，子公设c隐含着这个约定：长度的收缩是相对于光的运动轨道和速度不变而言的。譬如，当光波在W=0而φ≠0的运动场区域传传播时，区域中的物质可能会使得场梯度线上光速变慢，但是我们把光速当是不变，则意味着尺子是变的，更确切地说，尺子是变化是相对于光尺不变而言的。
在待定的标量函数φ=φ（v0,v）中，若相对速度v→0，则相对运动势φ→0，此时，依赖于φ质点时空形象可以被忽略，因而伽利略相对性原理有效。为此，我们有下面这个重要的推论，它原来属于爱因斯坦相对性原理的特殊情形，现在它也是第一公设的特殊情形。
推论Ⅰ：若测量系统与被测量系统相对静止（不转动），则测量结果与系统的整体运动无关。
优越静止系定义与推论Ⅰ相结合，又有如下推论：
推论Ⅱ：就描述一切参考系中发生的静态物理现象（包含速度足够小事件）而言，该参考系与S0是等价的，同时，其空间具有欧几里德性和各向同性。
4.2修正后的等效原理
如果把运动势就的是引力势，则第一公设就是静引力场中的相对性原理。由于引力场不存在“速度置换”和“绝对速度”这两个概念，因此引力场力学远比运动力学来得简单。
加速运动电梯中的观察者有可能通过测定飞行时钟的转移能量来确定电梯的绝对运动，因此，对于爱因斯坦等效原理的修改是势在必行。考虑到“沉浸”于W=0但φ≠0区域中的观察者无法分别他究竟就不会“沉浸”于引力场中一个引力被变换掉的无限小区域中，因此有：
修正的弱等效原理：一个W=0而φ≠0的运动场区域与静引力场中一个引力被变换掉的无限小区域等效。
作直线加速运动的质点任一时刻的相对及绝对速度都可以被运动势φ“置换掉”，我们就可以用手中的钢笔于纸上画一条力线，优越静止系处于这条力线的原点上，而力线上任一个点区域代表质点在相应时刻所“沉浸”的运动场区域。因此有：
修正的强等效原理：这条力线与静引力场中的一条引力线完全等效。再加上一个附加条件：它们是按同一方式进行的。
有了这个原理，我们类比于引力场的做法来引入场梯度的概念。设质点在合外力作用下相对于S0系的元位移为d（r0+r），则运动势的梯度定义为：
▽φ=dφ/d（r0+r）
梯度▽φ是个矢量，它指向运动势最大增大的方向。以后会看到梯度▽φ是个重要的物理量，沿着梯度线上放置静杆的收缩行为与其它方向放置静杆的收缩行为是不同的。
4.3第二公设的选取
在爱因斯坦提出光速不变原理时，已有的实验只是说明光速与光源运动无关、在闭合回路中平均光速的不变性，而不是单向光速不变原理本身。事隔100年，这种状况并没有得到改变。此外，要测定光速就要先对钟，要对钟又要假定单向光速不变，这就存在逻辑反复。由此可见，光速不变原理不是经验的总结，而是“科学”的假设。由于后面我们找到了更为基本的对钟手段来检验光速不变所包含的假定，因此，“单向光速不变”这个命题最好不要把它作为公设引入，而留给的尔后科学实验进一步发展来解答。重要的是，单向光速不变假设应用于一些横向多普勒移动实验时，将会发现这个假设与优越参考系的概念不相容的，所以放弃单向光速不变假设是势在必然。
早期不用光速不变原理而用狭义相对论的特有现象（如相对论的质能或质速公式）来重建洛伦兹变换的文献很多[5]，像许多后继者一样都没有引起人们的注意。究其原因是因为他们想不出更好“对钟”方法，以至整个理论无法操作。因此他们所做的工作很大程度上停滞在数学的表述上。但是，这个方法富有启发性的意义：既然我们能找到更为基本的对钟手段，那么第二公设就可以在狭义相对论的特有现象中寻找，并有一个条件限制：要求这个“特有现象”要与本文第一公设相容，并为实验所证实的。
不难发现，相对论的静能方程满足这一要求。譬如，正反物质湮灭实验是可以脱离闵氏时空和庞加莱不变性下的物理量及物理规律的情况下进行的，它直截了当证明了相对论的静能方程正确性。此外，当且仅当我们把参考系外推到S0系（优越参考系），转移能量与动能相等，这就意味着在此条件下爱因斯坦的质能方程满足这一要求。这里，我们把它们提升为公设。
第二公设：若以S0系为参考系，则爱因斯坦的质能方程Ek= (m -m0)c2保持有效。
式中的惯性质量m由动力学方程F=d(mv)/dt定义。当Ek=0时，我们得到静能方程E0=m0c2。再给合推论1，我们就可以把静能方程E0=m0c2拓扩到各参考系中。为此，我们有：
推论3：静能方程E0=m0c2各系成立。
4.4同步静止钟校准方法：
假定在空间的每一点安放一只构造完全相同的钟，如果所有的钟有相同的外部运行环境，则所有的钟同步运行。推论Ⅰ告诉了我们：在无引力场空间中相对静止的时钟具有相同的外部运行环境。有了这个条件还不够，我们还要用场信号把各地的时钟指针调节到同步。现今人类能利用的场信号有四种：一是电磁场(光)，二是引力场，三是弱力场，四是强力场。到目前为止，我们对后三种场信号特性所知甚少，因此光是最简捷的信号。这里，我们把光速不变原理降为命题来考查，爱因斯坦的对种方法不再适用了。除此外，我们还有下面这个对钟方法。
首先，我们承认这个前提：存在惯性系S'，惯性观察者能够用力学实验来确定S0系的存在。现在，惯性观察者让S'系整体作直线减速运动（不旋转），使它们恰好在S0系中静止，由于S0系观察者有权力宣布他在“以太”中静止，因此，它可以用光信号把S'系各地的钟对准，然后再让S'系恢复到原来的运动状态。根据推论1，则有：在直线变速运动期间，各相对静止的时钟所处的环境是相同的，因此恢复原状后它们就是校准了的同步静止钟。此外，如果运动系相对于S0系沿X方向运动，则我们可以保证在Y和Z方向上的光速保持不变，借此，我们可以进行邻近对钟。虽然这个方法实施起来很烦琐，但同样具有操作性，在认识论上是完善。
这里，我们还须讲清楚在同步静止钟校准之前对于惯性系和S0系的确定方法。由于“低速极限”情况下运动质点的时空形象可以被忽略，因而伽利略变换适用，同时，牛顿动力学方程成立。给合惯性定律，那么，无引力场的封闭车厢观察者可以通过观察手中的小球究竟会不会自由下落来判别该车厢是否为惯性系。接下来，惯性系S'中的观察者用发射枪以同一方式在不同方向发射发光原子，并分别测定发光原子的横向多普勒红移。若实验结果与方向选择有关，则表明该惯性系不是S0系，那么，我们就在让惯性系S'整体作直线减速运动后重做实验，直到得实验结果与方向选择无关为止。此时所对应的参考系就为S0系。相应地，一切相对于S0系作匀速运动的参考系则为惯性系。
5、对于描述运动系上发生的静态物理现象的时空变换关系
5.1洛伦兹变换有效范围的外推
最初，S'系在S0系中静止，后来，经加速度运动后以速度v作匀速直线运动。有了推论2，我们可以给予已经作匀速直线运动的S'系和优越S0系作标准配置(对应坐标保持平行，以两系原点重合时为计时起点)。
由于运动质点时空形象要看成是与运动势φ存在依赖关系，而速度仅是φ参量，所以我们可以作这样的抽象：让φ“置换掉”速度v，即把这个运动场区域看成在S0系中静止，但S'系是“沉浸”w=0而场梯度及φ≠0的区域中。这样一来，S0系和S'区域中的观察者都有权力宣布它在“以太”中静止，因而两系观察者可以用光信号来定义坐标格；同时，原先标准配置中的“两系原点重合时为计时起点”要被改表述为“两系原点距离为零（也可以不重合）时为计时起点”。设S'系原点的点光源发出光波，向外传播。根据第一公设中的子公设3：区域内的观察者永远想不出可以做什么样的光学实验来确定这个区域的存在，因此，从“静止”的S'区域中的观察者看，光的球面波方程为：
x' 2 + y' 2+z' 2 – c2 t' 2 =0
从S0来看，相应地有：
x2 + y2+z2 – c2 t 2 = 0
又因变换必须是线性的，这只当
x2 + y2+z2 – c2 t 2 = f(φ)（x' 2 + y' 2+z' 2 – c2 t'2） (5)
才有可能。考虑到S0和S'区域内的观察者不可能用光学现象来确定S'区域存在，因此我们可以确定f(φ)=1。根据推论2不难证明：对于S'系发生的静事件（相对S'系的运动为零）而言，S0和S'系之间的坐标或以伽利略变换相联系，或以h2—洛伦兹变换相联系。本文的第二公设意味着质点具有时空形象，要求同时性是相对的（例如尺子长度的变化意味着欧氏几何的破坏，此时，我们只有引入“同时性相对的”这个修正项才能使得欧氏几何保持有效），因此第二公设与前者不相容，而对于S'系发生的静事件的时空变换关系为：
x=kx' + c(k2-1)t'
y=y' z=z' （6）
t = kt' + (k2-1)x'/c
式中的k=k(φ)。现在，我们把S'系恢复为实际的图样，类似于Lewis和Tolman的方法，用两个小球沿着y' 轴碰撞来求质点O'（设S'系原点为质点O'）的质量方程。考虑到y=y'，即在y'方向的空间是均匀的，而小球在y'上的分速度又足够小；根据子推论2可知，两小球在y'上的动量守恒。因此质点O'的质量方程为：
m=km0
根据第二公设及φ的定义式（3），则有
k=1-φ/c2 （7）
根据动力学方程，我们可以确定φ=φ（v）这个函数（详见第6.1节），从而有：
k=1-φ/c2 =1/(1-v2/c2)1/2 (8)
把上式代入（6）式就得到了在此框架下有效的洛伦兹变换。就是说，对于S'系中的静事件而言，S0和S'系的时空以洛伦兹变换相联结。
根据式（6）我们有这个结论：S'区域中沿x'轴(场梯度线)放置的刚杆会以1：1/（1-φ/c2）的倍数收缩；时钟会以1：（1-φ/c2）的倍数变慢。根据第一公设中的子公设1，我们又可以把这个结论拓扩到所有的参照系中。
到此为止，S'系无权宣布它在以太中静止。此外，光速不变原理与推论2联立，我们也能立即得出在此框架下有效的洛伦兹变换，而本文的第二公设就成为了推论。从这个角度讲，采用本文的第二公设所用的假设比光速不变原理更少，即本文的理论更具有简单性。
吴沂光
2006/12/11 p.12381
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