小学六年级奥数竞赛题:牛吃草问题
牛吃草问题又叫牛顿问题
“牛吃草问题”主要有两种类型:1、求时间2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法,在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后,已知头数求时间时,我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求知数时,同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据“(原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”,求出只数。
在小学这类问题常用到四个基本公式,分别是:
(1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。
例题解析
小学六年级奥数竞赛题
例1:
一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断生长,已知牛27头,6天把草吃尽,同样一片牧场,牛23头,9天把草吃尽。如果有牛21头,几天能把草吃尽?
摘录条件:
27头 6天 原有草+6天生长草
23头 9天 原有草+9天生长草
21头 ?天 原有草+?天生长草
解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。
设1头牛1天吃的草为"1",由条件可知,前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢?
这是第二次比第一次多的那(9-6)=3天生长出来的,
所以每天生长的青草为45÷3=15
现从另一个角度去理解,这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。
由此,我们可以把每次来吃草的牛分为两组,一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草,另一组来吃是原来牧场上的青草,那么在这批牛开始吃草之前,牧场上有多少青草呢?
(27-15)×6=72
那么:第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
每天生长草量45÷3=15
(1)牧场上有一片牧草,可供27头牛吃6周,或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长,可供21头牛吃几周?
27×6=16223×9=207207-162=4545/(9-6)=15每周生长数
162-15×6=72(原有量)72/(21-15)=12周
(2)有一口水井,如果水位降低,水就不断地匀速涌出,且到了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水,如果每分吊4桶,则15分钟能吊干,如果每分钟吊8桶,
则7分吊干。现在需要5分钟吊干,每分钟应吊多少桶水?
4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分钟涌量)
60-15×0.5=52.5(原有水量)52.5+/(5×0.5)/5=11桶
(3)有一片牧草,每天以均匀的速度生长,现在派17人去割草,30天才能把草割完,如果派19人去割草,则24天就能割完。如果需要6天割完,需要派多少人去割草?
17×30=51019×24=456510-456=5454/(30-24)=9每天生长量
510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人
(4)有一桶酒,每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒,现在这桶酒如果给6人喝,4天可喝完;如果由4人喝,5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天?
6×4=244×5=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉数
24+4×4=40原有数
这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天?
(5)一水库存水量一定,河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干;6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干,需要多少台同样的抽水机?
5×20=1006×15=90100-90=1010/(20-15)=2每天入库数
100-20×2=60原有库存数60+2×6=7272/6=12台
(6)自动扶梯以均匀速度由下往上行驶,小明和小红要从扶梯上楼,已知小明每分钟走20梯级,小红每分钟走14梯级,结果小明4分钟到达楼上,小红用5分钟到达楼上,求扶梯共有多少级?
20×4=8014×5=7080-70=1010/(5-4)=10每分钟减少数
80+4×10=120原有数70+5×10=120
(7):两只蜗牛由于耐不住阳光照射,从井顶走向井底,白天往下走,一只蜗牛一个白天能走20分米,另一只只能走15分米;黑夜里往下滑,两只蜗牛下滑速度相同,结果一只蜗牛5昼夜到达井底,另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少?
20×5=10015×6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑数
100+5×10=15015×6+10×6=150
(8)一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期,或让18头牛吃8个星期,那么一块4000平方米的牧场6个星期能养活多少头牛?
12×16-18×8=192-144=4848/(16-8)=6每星期生长数
192-16×6=96原有数96+6×6=132132/6=2222×4=88头
(9)有一只船有一个漏洞,水用均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果用12个人淘水,3小时可以淘完。如果只有5个人淘水,要10小时才能淘完。现在要想2小时淘完,需要多少人? 12×3=365×10=5050-36=1414/(10-3)=2每小时增加数
36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人
(10)有一个水井,水不断由泉涌出,井满则溢出。若用4台抽水机,15小时可把井水抽干。若用8台抽水机,7小时可把井水抽干。现在要用几台抽水机,能5小时把井水抽干?
4×1=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11台
(11)李村组织农民抗旱,从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果50人担水,20小时可把池水担完。如果70人担水,10小时可把池水担完。现有130人担水,几小时可把池水担完?
50×20=100070×10=7001000-700=300300/(20-10)=30每小时增加1000-30×20=400原有400/(130-30)=4小时
(12)一片草场长满青草,现在此草场可供10头牛吃20天,或15头牛吃10天,若供25头牛可吃多少天???
【分析与解答】:设每头牛每天吃草量为10千克。
那么:10头牛20天的吃草量为:10×10×20=200(千克),等于草场上原有草量
与20天草的生长量之和。
15头牛10天的吃草量为:10×15×10=1500(千克),等于草场上原有草量
与10天草的生长量之和。
比较二式可发现,两者相差的是10天草的生长量。从而可以求出草场上的草每天的
生长量为:
(2000-1500)÷(20-10)=50(千克)
草场上的划20天的生长量为:50×20=1000(千克)
从而可以求出草场上原有的草量为:2000-1000=1000(千克)
因为每头牛每天吃草量为10千克,5头牛生天吃草10×5=50(千克),正好是草场
上的草每天的生长量,所以把25头牛分为5和20两部分,其中的5头牛专门吃每天生长的
50千克草,剩下的20头牛专门吃草场上原有的草,可以吃
1000÷(10×20)=5(天)
(1)草场上的草每天生长出多少千克?
(10×10×20-10×15×10)÷(20-10)=50(千克)
(2)草场上原有的草是多少千克?
10×10×20-50×20=1000(千克)
(3)可供25头牛吃几天?
1000÷[10×(25-5)]=5(天)
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