初中数学：绝对式和的最小值，掌握方法，秒出答案

一、求绝对式和的最小值

首先我们要了解绝对值的几何含义。一个数的绝对值表示这个数在数轴上到原点的距离。两个数差的绝对值表示两个数在数轴上间的距离。计算方法是大数减小数。

绝对值的几何含义

若a<0, b>0,且│a│<│ b│,有:

│a│=0-a =-a, │ b│=b-0=b，│b-a│=b-a, │a-b│=b-a。

形如│a+b│，我们可以看作为│a+b│=│a-(-b)│=a-(-b)=a+b。即遇到相加的形式，写成减的形式,构造绝对值的几何意义。

1、两个绝对式的和

形如│x-a│+│x-b│，（a>b）求它的最小值。

（1）当x在b的左边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

（2）当x在b上时，│x-a│+│x-b│=0+线段ab长=线段ab长。

（3）当x在a,b之间时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段ax长=ab长。

（4）当x在a上时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+0=线段ab长。

（5）当x在a的右边时，│x-a│+│x-b│=线段xb长+线段xa长>线段ab长。

通过上面分析，可知当b≤x≤a时，│x-a│+│x-b│有最小值，为线段ab长=a-b。

练习

│x-3│+│x-8│=8-3=5 │x-3│+│x+8│=3-（-8）=11

2、三个绝对式的和

形如│x-a│+│x-b│+│x-c│，（a>b>c）,求它的最小值。

上面分析，我们已经知道│x-a│+│x-c│有最小值，为a-c，那么只需确定│x-b│的最小值就可以了，当且仅当x=b时，│x-b│最小为0。所以，当且仅当x=b时，│x-a│+│x-b│+│x-c│有最小值，最小值为a-c。

练习

│x-5│+│x-8│+│x-10│=10-5=5。

3、四个绝对式的和

形如│x-a│+│x-b│+│x-c│+│x-d│，（a>b>c>d）,求它的最小值。