抽象形式的幂指函数求极限

本文的主题是，抽象形式的幂指函数也是幂指函数，它求极限的方法和一般幂指函数也是一样的。

例   设函数在上有二阶连续导数，且满足条件. 现假设为常数，试求下述极限

解题思路

本题我们所要求的极限是“幂指函数型的极限”，关于这种极限，写成复合函数（有些辅导书上也形象地称为“将e抬起”）是当仁不让的优先之选。

我们用“e抬起”的办法将所求极限改写为

为计算方便，换元, 则

这个极限是我们相对比较熟悉的，常见的方法有洛必达法则（这种方法请大家自己完成——一定要做一下~）。

这里我使用我个人常用“两件套”——等价无穷小以及麦克劳林公式（带有佩亚诺余项）进行求解，不熟悉或者平时不常使用这种方式求极限的同学一定要看过来——

首先当时，这个极限显然是0. 现在只考虑的情形。

由, 我们有

再由麦克劳林公式

代入, 上述极限等于

综上所述，原题极限为, 显然这个结论对的时候也是成立的。