代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。——怀特海（Alfred North Whitehead）
新的欧洲数学的第一个重大进展是在算术和代数方面。印度和阿拉伯人的工作把实用的算术计算放在数学的首位，并把代数建立在算术的而不是几何的基础上。他们的工作又吸引人们去注意解方程的问题。
在16世纪前半叶，欧洲人对待算术和代数的态度与精神与阿拉伯人无异。到这个世纪中叶，欧洲文明的实际生活和科学工作的需要，促使他们推进算术和代数，这些需要包括：航海、地理探险、天文学、银行业务和商务活动，以及工匠的技术工作。除了这些应用外，对代数还有一种完全新颖的应用——表示曲线——引起了大量的研究。由此，代数的进展加速了。
一、数系和算术
到1500年左右，零已被接受作为一个数，无理数也用得更随便而广泛。例如韦达考察单位圆的内接正四、八、十六......边形，求出π的那个式子：
虽然人们对于用无理数计算很随便，但对于无理数是否确实是数仍不放心。施蒂费尔（Michael Stifel，1486？-1567）在他的重要著作《整数的算术》（Arithmetica Integra，1544）中讨论了用10进制小数的记号表达无理数的问题。
在证明几何图形的问题中，由于当有理数不行而代之以无理数时，就能完全证出有理数所不能证明的结果......因此我们感到不能不承认它们确实是数，迫使我们承认的是由于使用它们而得出的结果——那是我们认为真实、可靠而且恒定的结果。但从另一方面讲，别的考虑却迫使我们不承认无理数是什么数。例如，当我们想把它们数出来时......就发现它们无止境地往远跑，因而没有一个无理数实质上是能被我们准确掌握住的......而本身缺乏准确性的东西就不能称其为真正的数......所以，正如无穷大的数并非数一样，无理数也不是一个真正的数，而是隐藏在一种无穷迷雾后面的东西。
他接着论证说实数不外乎整数或分数；无理数显然既非整数又非分数，因而不是实数。一个世纪之后，帕斯卡和巴罗（Isaac Barrow）还说，像根号3这样的数只能作为几何上的量来理解；无理数仅仅是记号，它们脱离连续的几何量便不能存在，而对无理数进行运算，要以欧多克索斯关于量的理论来作逻辑依据。牛顿在他的《普遍的算术》（Arithmetica Universalis，1707）中也持这一观点。
其他一些人则肯定说无理数是独立存在的东西。斯蒂文（1548-1620）承认无理数是数，并用有理数来不断逼近它们。沃利斯在《代数》（Algebra，1685）中也承认无理数是地地道道的数。笛卡尔在《指导思想的法则》（Rules for the Direction of the Mind，约1628）中承认无理数是能够代表连续量的抽象的数。
荷兰数学家斯蒂文
负数虽然通过阿拉伯人的著作传到欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了，也不认为它们是方程的根。15世纪的许凯（Nicolas Chuquet，1445？-1500？）和16世纪的施蒂费尔（1553年）都把负数说成是荒谬的数。卡尔达诺把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的，而正根才算是实的根。韦达完全不要负数。笛卡尔只是部分地接受了负数。他把方程的负根称作假根，以为它们代表比无还少的数。但他指出，对于一个给定的方程，可以得出另一个方程，使它的根比原方程的根大任何一个数量。这样，有负根的一个方程可以化成有正根的方程。既然我们可以把假根化成真根，所以笛卡尔愿意接受负数。帕斯卡则认为从0减去4纯粹是胡说。
最早接受负数的代数学者之一是哈利奥特（Thomas Harriot，1560-1621），他偶尔把负数单独写在方程的一边，但他并不接受负根。邦贝利（Raphael Bombelli，16世纪）给出了负数的明确定义。斯蒂文在方程里用了正的和负的系数，并接受负根。吉拉德（Albert Girard，1595-1632）在他的《代数中的新发明》（L`Invention nouvelle en l`algebre，1629）中把负数与正数等量齐观，并且甚至在二次方程的两根都是负数时也给出两个根。吉拉德和哈利奥特都用减号表示减法运算和负数。
英国数学家哈利奥特
总的来说，在16世纪和17世纪，并没有多少数学家对于使用负数心安理得或者承认它是数，更谈不上承认它们可以作为方程的真实的根。当时人对负数有一种奇怪的信念。例如沃利斯认为负数大于无穷大而并非小于零。他在《无穷大的算术》（Arithmetica Infinitorum，1655）中论证说：由于比a/0在a为正数时是无穷大，故当分母变为负数时，这个比必定大于无穷大。
欧洲人还没有完全克服无理数和负数带来的困难时，就又无意地陷入了复数的问题。他们在用配方法解二次方程时碰到要把求平方根的算术运算推广到任何数上，得出了这些新的数。例如，卡尔达诺在《重要的艺术》（Ars Magna，1545）的第37章中列出方程x（10-x）=40。他求得根为5+和5-，然后说“不管会受到多大的良心责备”，把5+和5-相乘，得乘积为25-（-15）或40。于是他说：“算术就是这样神妙地研究下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的。”卡尔达诺在解三次方程时要进一步与复数打交道。
邦贝利在解三次方程时也考虑了复数，并且几乎像现代形式那样规定了复数的四种运算。吉拉德则承认复数至少可作为方程的形式解。他认为复数根有三方面用处——能肯定一般法则；有用；除此之外没有别的解。笛卡尔也摒弃复根，并造出虚数这个名称。他在《几何La Geometrie》中说：“真的和假的（负的）根都不总是实在的，它们有时是虚的。”他的论点是：负根至少可以在它们所出现的方程变换为只有正根的方程后弄成“实”的，但这对复根却办不到。所以这些根不是实的而是虚的，它们并不是数。
甚至牛顿也不认为复根是有意义的，这很可能是由于它们缺乏物理意义。事实上，他在《普遍的算术》中说过：“正是方程的根常应出现为不可能的情况，才不致使不可能的解的问题显得像是可以解的样子。”也就是说，在物理上和几何上没有实解的那些问题，应该具有复根。
对复数没有清楚认识的这种情况，反映在常被人引述的莱布尼茨的一段话中：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的现实，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的-1的平方根。”莱布尼茨虽在形式运算中使用复数，但并不理解复数的性质。
在16,17世纪中，实数的运算步骤有了改进和推广。斯蒂文在他的《十进制算术》《La Disme，1585）中提倡用10进制小数来书写分数并对它们进行运算，而反对用60进制。韦达则早就采用了10进制，还改进并推广了求平方根和立方根的方法。
这段时期的另一项进展是连分数。邦贝利在他的《代数》（Algebra，1572）里第一个用连分数来逼近平方根。为求根号2的近似值，他写出
由此得
不断把y值的式子代入，得
英国数学家沃利斯在他的《无穷大的算术》（1655）中把4 /π表为无穷乘积
在该书中他又说布龙克尔（William Brouncker）勋爵（1620—1684）——皇家学会的第一任会长—曾把这乘积化为连分数4 /π = 1 + 1 /(2 +) 9 /(2 +) 25 /(2 +)49 /(2 +) …。
沃利斯在《数学著作集》（Opera Mathematica I，1695）中引入了连分数这一名称，给出了计算连分数的收敛子的一般法则。这就是，若pn /qn是连分数b1 /(a1 +) b2 /(a2 +) b3/(a3 +) …的第n个收敛子，则pn /qn = (an pn-1 + bnpn-2) /(an qn-1 +bn qn-2)。关于pn /qn是否收敛于连分数所表示的那个数，当时还没有得到明确的结果。
英国数学家沃利斯
16和17世纪算术的最大改进是对数的发明。施蒂费尔已经认识到对数的基本思想。他在《整数的算术》里指出几何数列1, r, r², r³, …的各项与其指数所形成的算术数列0, 1, 2, 3, …的各项互相对应。这一事实也由许凯在《数的科学三部曲》（Le Triparty en la science des nombres，1484）中指出过。施蒂费尔还把两个数列间的这种联系推广到负指数和分数指数的情形。但施蒂费尔并没有利用两数列间的这一联系来引入对数。
苏格兰人纳皮尔（John Napier，1550—1617）在1594年左右研究出对数的时候，就受了这种对应关系的启发。纳皮尔关心的是简化天文问题中球面三角的计算工作。他曾把研究的初步结果送交第谷·布拉赫征求他的赞许。
纳皮尔在《论述对数的奇迹》（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio，1614）以及他死后出版的遗作《做出对数的奇迹》（Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio，1619）中解释了他的想法。“对数”（logarithm）这个术语是纳皮尔创造的，意即“比的数”。“比”是指数列的公比。
苏格兰数学家纳皮尔
当时有一位数学和天文学教授布里格斯（Henry Briggs，1561-1631）在1615年向纳皮尔建议取10为底数，他为靠得很近的数算出了一张对数表，即现今常用普通对数表的前身。
比尔奇（Joost Bürgi，1552—1632）是瑞士的一个钟表和仪器匠人，是开普勒在布拉格的一名助手，他也曾有志于简化天文计算。他在1600年左右未悉纳皮尔的工作而独立发明了对数——同样受施蒂费尔的启发，但他的著作《进数表》（Progress Tabulen）直到1620年才发表。
在17世纪初期，人们并不把对数定义为幂指数，因为那时还没有分数指数和无理数指数。到17世纪末有些人认识到对数可以这样来定义，但直到1742年琼斯（William Jones，1675—1749）在给加德纳（William Gardiner）的《对数表》（Table of Logarithms）写的序言中才第一次用这种方法作了系统的叙述。欧拉早就把对数定义为指数，并于1728年在其一篇未发表的手稿《遗作》（Opera Posthuma II，800—804）中引入了e作为自然对数的底。
英国数学家琼斯（左）和瑞士数学家欧拉（右）
算术上的第二项进展（它的进一步的实现在近代产生深远的影响）是加速算术运算的机械装置和机器的发明。冈特（Edmund Gunter，1581—1626）利用纳皮尔的对数研制出计算滑尺。奥特雷德（William Oughtred，1574—1660）制造出圆盘计算尺。1642年，帕斯卡发明了能自动从个位进到十位、从十位进到百位等的加法计算机。莱布尼茨在巴黎看到这机器后发明了能做乘法的计算机。他在1677年把他的想法告诉了伦敦的皇家学会，1710年柏林科学院发表了这种想法的书面说明。17世纪末期，莫兰（Samuel Morland，1625—1695）又独立地发明了一架能做加减法的机器和另一架能做乘法的机器。
法国数学家帕斯卡
在上述机器与现代电子计算机之间最重大的一步工作是由巴贝奇（Charles Babbage，1792—1871）做出的。他设计的“分析机”是打算先把一些指令输入机器后，让机器完成整个一系列的算术运算。这种运算是在蒸汽动力作用下自动进行的。他在英国政府支持下造出了演示模型。可惜这种机器的制造远远超出了他那个时代工程技术的能力。
英国发明家巴贝奇，计算机之父
拜伦的女儿阿达是巴贝奇的忠实帮助者，编出了世界上最早的程序，被公认为第一位程序员。她和父亲一样，都在36岁英年早逝。有一种计算机语言叫做Ada，就是以她命名的。巴贝奇也担任过巴罗和牛顿的卢卡斯数学教授，这个职位在1980—2009年属于霍金，目前属于迈克尔.盖茨（Michael Cates）。超越时代的英雄往往会在当时失败，但他们的英名永垂不朽，他们的思想将照亮后世的星空。
二、符号体系
代数上的进步是引用了较好的符号体系，这对它本身和分析的发展比16世纪技术上的进展远为重要。采取了这一步，才使代数有可能成为一门科学。在16世纪以前，自觉运用一套符号的人只有丢番图。16世纪的人们也没有体会到符号体系能对代数起多大作用，改进是断续进行的，有些是偶然作出的。
+和-这两个符号是德国人引入的，用来表示箱子重量的超亏，后被数学家袭用。这些记号出现在1481年以后的手稿中。以符号×代表“乘”是奥特雷德首创的，但莱布尼茨合理地加以反对，因它易于同x相混。
英国数学家奥特雷德
=号是1557年剑桥的雷科德（Robert Recorde，1510—1558）引入的，他写了第一篇英文的代数论文《砺智石》（The Whetstone of Witte，1557）。他说他所知道的最相像的两件东西是两根平行线，所以这两根线应该用来表示相等。韦达起初书写“aequalis”，以后用~表示相等。>和<这两个符号是哈里奥特首创的。括号是1544年出现的。方括号和花括号是大约从1593年起由韦达引入的。平方根号√是笛卡尔采用的。
英国数学家雷科德
用符号表示未知量及未知量的乘幂出现得非常缓慢。名称与记法因人而异，许多符号是从缩写而来。
笛卡尔曾颇为有系统地采用正整数指数。他把1+3x+6x²+x³写成1+3x+6xx+x³。他和别的人偶尔也用x²这种写法。对较高的乘幂，他用、、…来记，但不用。牛顿采用了正指数、负指数、整数指数和分数指数。当高斯在1801年采用x²代替xx后，x²就变成了标准写法。
法国数学家笛卡尔
代数性质上最重大的变革是由韦达在符号体系方面引入的。他受的专业训练是律师，曾以这一身份在布列塔尼（Brittany）议会里工作过，以后当那瓦尔（Navarre）的亨利（Henry）亲王的枢密顾问官。当他由于政治上处于反对派地位于1584年至1589年间在野时，就献身研究数学。他把数学当作一种业余爱好，并自己出资印刷和发行著作。正如一个作家所说，这办法是使人不致默默无名的一种保证。
韦达在精神上和意图上是个人文主义者，他认为创新就是复古翻新。他把他所著的《分析术引论》（In Artem Analyticam Isagoge，1591）说成是“一部复古的数学分析著作”。他在这书中引述了帕普斯所著《数学汇编》的第七篇和丢番图的《算术》。他相信古人是用过一般的代数形式来计算的，而他重新引用只不过是复活了古人已知道和赞许的一种技巧罢了。
韦达是第一个有意识地系统地使用字母的人，他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，还用来表示一般的系数。通常他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他把他的符号性代数称作logistica speciosa（类的筹算术）以别于logistica numerosa（数的筹算术）。他说代数，即logistica speciosa，是施行于事物的类或形式的一种运算方法；而算术，即logistica numerosa，是同数打交道的。这样，代数就一下子成为研究一般类型的形式和方程的学问，因为对一般情形的研究包括了无穷多的特殊情形。但韦达只在正数的情形下才使用文字系数。
法国数学家韦达
对韦达的使用字母作了改进的是笛卡尔。他用字母表中前面的字母表示已知量，用末后的一些字母表示未知量，成为现今的习惯用法。不过笛卡尔也像韦达那样只在正数的情形下用字母，直到赫德（John Hudde，1633-1704）在1657年用字母来表示正数和负数之后，大家才都这样做。
莱布尼茨对各种记法进行了长期的研究，试用过一些符号，征求过同时代人的意见，然后选取他认为最好的符号。以后在概述微积分发展史时，我们将碰到他创立的一些符号。他肯定认识到好的符号有可能大大节省思维劳动。
德国哲学家、数学家莱布尼茨
到17世纪末，数学里已特意（而不是偶然或碰巧地）使用符号并认识到它所能赋予的功效和一般性。只可惜那些并不认识符号重要性的人漫不经心而随意引入的符号太多了，而至今却都已通用。数学史家卡乔里（Florian Cajori）在指出这一事实时曾慨叹说：“我们今日所用的符号，是许多早已摒弃的符号系统中个别残留记号的杂烩。”
三、三次与四次方程的解法
1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论。他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。这种对以前失败的悲叹声，却成为后来数学家迎接挑战的号角。
1500年左右，博洛尼亚的数学教授费罗（Scipione delFerro，1465—1526）解出了x³ + mx = n类型的三次方程。但他没有发表他的解法，因在16、17世纪时，人们常把所得的发现保密，而向对手们提出挑战。在1510年左右，他把他的方法秘传给菲奥尔（Antonio Maria Fior，16世纪前半叶）和他的女婿兼继承人纳韦（Annibale della Nave，1500？—1558）。
意大利数学家费罗
布雷西亚（Brescia）的丰塔纳（NiccolòFontana，1499—1557）在孩提时被一个法国兵用马刀砍伤脸部而引起口吃，因此大家称他为塔尔塔利亚，意即“口吃者”。他出身贫寒，自己学会拉丁文、希腊文和数学。他靠着在意大利各城市讲授科学谋生。1535年，菲奥尔向塔尔塔利亚挑战，要他解30个三次方程。塔尔塔利亚说他早已解出了x³ + mx² = n（m与n是正数）类型的三次方程，这次解出了所有30个方程，其中包括x³ + mx= n类型的方程。
意大利数学家塔尔塔利亚
1539年，在卡尔达诺的恳切要求之下，并发誓保密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一首语句晦涩的诗告诉卡丹。1542年卡尔达诺和他的学生费拉里（1522—1565）在纳韦访问他们的时候，肯定认为费罗的方法同塔尔塔利亚的方法相同。卡尔达诺不顾誓言，把他对这个方法的叙述发表在《重要的艺术》里。他在第十一章里说：“博洛尼亚的费罗差不多在30年以前就发现了这个法则，并把它传给威尼斯的菲奥尔，菲奥尔在他与布雷西亚的塔尔塔利亚竞赛的时候使塔尔塔利亚有机会发现这一法则。”在塔尔塔利亚保留证明的情况下，卡尔达诺找出了各种形式的证明。
卡尔达诺的作法引起了关于谁先解出三次方程的争议，并使塔尔塔利亚与费拉里发生公开冲突，最后以双方肆意谩骂而告终。
我们来考察卡尔达诺发表的方法：
x³ + mx = n，其中m与n是正数。
引入t和u两个量，令t - u = n，以及tu = (m /3)³。
然后他断言
解出t和u，得
求出t和u后，卡尔达诺取两者的正立方根，并据此给出x的一个值——据认为这就是塔尔塔利亚所得出的同一个根。之后他用几何方法（与二项式定理等价）证明x的值是正确的。
卡丹还给出怎样解x³ + 6x² = 100这类方程的方法。由于x²项的系数是6，他以y - 2代x，得出y³ = 12y + 84。他自始至终都给出正根和负根，但对复数根略而不提。又把那些既解不出正数根又解不出负数根的问题称为错题。
卡尔达诺《重要的艺术》
韦达在他著于1591年并出版于1615年的《论方程的整理与修正》（De Aequationum Recognitione et Emendatione）中，用一个三角恒等式解出了不可约三次方程。这个方法如今还在用。
他从下列恒等式开始：cos 3A = 4cos³A - 3cos A。
令z = cos A，这恒等式就变为z³ - (3/ 4)z - (1 /4) cos 3A = 0。
设所给三次方程是y3 + py + q = 0。
代入y = nz，其中n可按需要指定，便可使上式的系数化成同前一式的系数一样。将y = nz代入上式，得z³ + (p /n²) z + q /n³ = 0。
现在我们需要取n使p /n² = -3 /4，故
选取了这个n值后，再取A值使q /n³ = - (1 /4) cos 3A，也就是使
可以证明：若三根是实数，则p是负数，因而n是实数。从三角函数表查出3A，有三个z值cos A，cos (A+ 120°)，cos(A+ 240°)。原方程的解是这三个z值的n倍，n值已给出。
对卡尔达诺的三次方程解法的第一个完整的讨论是1732年由欧拉作出的，他强调指出三次方程总有三个根，并指出怎样去求。若ω和ω²是x³-1=0的复数根，即x²+x+1=0的根，则t和u的三个立方根是
现在必须从第一组里选取一根，从第二组里选取一根，使两者的乘积是m /3。因为ω * ω² = 1，可知选取的x应为：
三次方程解出之后，接着几乎立即解出了四次方程。解法是费拉里给出的，并发表在卡尔达诺的《重要的艺术》中。
意大利数学家费拉里
卡尔达诺、塔尔塔利亚、费拉里通过解出三次和四次方程的许多例子，表明他们曾寻求并获得能用于一切情况的方法。注重一般性是一种新的特色。他们的工作做在韦达引用文字系数之前，所以不能利用这个工具。韦达在创用文字系数之后使证明有可能获得普遍意义，又进而追求另一类普遍性。他发现解二次、三次和四次方程的方法很不相同，就想找一种能适用于各次方程的方法。他的头一个想法是用置换法消去比最高次项次数小一次的项。塔尔塔利亚对三次方程这样做了，但并未对所有方程都这样试做过。
韦达在《分析术引论》中做了如下的步骤：为解二次方程x²+2bx=c，他让x+b=y。于是y² = x² + 2bx + b²。利用原方程，得
于是
对于三次方程x³ + bx²+cx+d=0，韦达先设x=y-b/3。置换结果得约简三次方程
y³+py+q=0。其次他再作一次变换，令y=z-p/(3z)，得z³-p³/(27z³)+q=0。然后他解出这z³的二次方程，得
可以证明，从六个z值只能得出三个不同的y值。
为解一般四次方程
韦达设x=y-b/4，于是把方程化为
然后他把末后三项移到右边，并在两边加上
这就使左边配成完全平方。然后也像费拉里的方法那里，适当选取y，使右边成为形如(Ax + B)²的完全平方。为选取合适的y，他利用二次方程的判别式条件，得出y的一个六次方程，而且凑巧还是y²的三次方程。这一步以及其余各步就完全和费拉里的方法一样了。韦达探求的另一个一般性方法是把多项式分解成一次因子。这事他没有做成功，部分原因是他只取正根，部分原因是他没有足够的理论（如分解因子定理）作为依据来研究出一般方法。哈里奥特也有同样想法，但也由于同样原因而归于失败。
寻求一般代数方法的工作接着就转向解四次以上的方程。詹姆斯·格雷戈里在提出他自己的解三次及四次方程的方法后，便试图用这些方法来解五次方程。他和奇恩豪森（Ehrenfried Walter von Tschirnhausen，1651—1708）想通过变换把高次方程化为只含x的一个乘幂和一个常数那么两项的方程。解四次以上方程的尝试都失败了。詹姆斯·格雷戈里在其后关于积分法的著作中猜测，对n > 4的一般n次方程是不能用代数方法求解的。
四、方程论
研究解方程的方法时，人们考虑了一个方程能有多少个根的问题。卡尔达诺引入了复数根，他似曾一度认为一个方程可以有任意个数的根。但他不久认识到一个三次方程能有3个根，一个四次方程有4个根等。吉拉德在《代数中的新发明》中推测并断言一个n次多项式方程，如果把不可能的根（复根）算在内，并把一个几重根算作几个根，那它就有n个根。笛卡尔在《几何》的第三篇中说，一个多少次的方程就能有多少个不同的根。
法国数学家吉拉德·笛沙格，射影几何创始人
次一个重要的问题是怎样预知正根、负根和复根的个数。卡尔达诺指出一个（实系数）方程的复根是成对出现的。牛顿在《普遍的算术》里证明了这一点。笛卡尔在《几何》里未加证明地陈述了正负号法则（通称笛卡尔法则），即多项式方程f(x) = 0的正根的最多个数等于系数变号的次数，而负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数。在今日的教科书里，后一个法则的说法是：负根的最多个数等于f(-x) = 0里的系数变号次数。这法则被好几个18世纪的数学家证明。现在通常教给学生的证法是马尔韦斯（Abbé Jean-Paul de Gus de Malves，1712—1785）作出的。他还证明，若方程中缺少2m个先后相继的项，则按所缺项的前后那两项为同号或异号，可知该方程有2m + 2个或2m个复数根。
牛顿在《普遍的算术》中叙述了（但未证明）确定正和负的实根的最多个数的另一个方法，从而能推出复数根至少能有多少个。这方法用起来较繁复，但比笛卡尔的正负号法则能给出更好的结果。最后詹姆斯·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）证明这不过是一个更普遍定理的特例。高斯在略早一些的时候证明，若正根个数少于变号次数，则所少的个数必为偶数。
另一类结果是关于方程的根和系数之间的关系。卡尔达诺发现诸根之和等于x的n-1次方的系数取负值，每两个根的乘积之和等于x的n-2次方的系数等。
韦达和笛卡尔从已给方程作出新的方程，使新方程的根大于或小于已给方程的根。笛卡尔又证明，若一有理系数的三次方程有一个有理根，则此多项式可表为有理系数因子的乘积。
另一个重要结果就是现今所谓因子定理。笛卡尔在《几何》的第三篇中提出，f(x)能为(x - a)整除（a >0），当且仅当a是f(x) = 0的一个根；而且当a是一个假根时，f(x)能为(x + a)整除。利用这一事实以及他提出的其他事实，笛卡尔建立了求多项式方程有理根的现代方法。
牛顿在《普遍的算术》中以及别的一些较早的人给出了关于方程根的上界的一些定理，其中有一个牵涉到微积分。牛顿发现了一个方程的根与其判别式之间的关系。
笛卡尔在《几何》中引入了待定系数的原理，并强调这一方法的用处很大。
另外一个方法，数学归纳法，也在16世纪晚期明确出现在代数里。在欧几里得证明质数个数无穷时就已隐含这个方法。他指出若有n个质数，就必有n+1个质数，所以质数有无穷个。莫鲁里克斯在1575年所著《算术》（Arithmetica）中明确提出这一方法，并用它来证明（比方说）1 + 3 + 5 + … + (2n- 1) = n²。帕斯卡在一封信中承认莫鲁里克斯引入了这个方法，并在他的《三角阵算术》（Traité du triangle arithmétique，1665）中使用了这个方法。他在该书中还给出了现今所谓的帕斯卡三角阵。
五、二项式定理及相关的问题
指数为正整数时的二项式定理，即(a + b)的n次方在n为正整数时的展开式，是13世纪时的阿拉伯人已经知道的。在1544年左右，施蒂费尔引入了“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1 + a)的n-1次方来计算(1 +a)的n次方。按下列方式排列的数阵：
（其中每个数是其上方紧邻两数之和）是塔尔塔利亚、施蒂费尔和斯蒂文都已知道的，并被帕斯卡（1654）用来得出二项展开式的系数。
牛顿在1665年指出可以不必利用(1 + a)的n-1次方而直接展出(1 +a)的n次方。后来他相信这展开式对n为分数与负数的情形都适用（在这种情况下它是无穷级数），并陈述了这个推广，但未加证明。
n个东西每次取r个的排列数和组合数的公式，起初是和二项式定理方面的工作无关的，它们早就出现在一些数学家如婆什迦罗和法国人莱维·本·热尔松（Levi ben Gerson，1321）的著作中。帕斯卡指出组合公式——常记为nCr——也能给出二项式系数。这就是，固定n，使r取0到n的值，这公式就给出一项展开式中相继各系数。詹姆斯·伯努利（James Bernoulli）在《推想的艺术》（Ars Conjectandi，1713）中推广了组合理论，然后用组合公式证明了n为正整数时的二项式定理。
排列和组合方面的工作还同另一门学科概率论有关。设有甲乙两人相赌，谁先得n分就能获得赌注，但在甲得p分乙得q分之时赌局中止。怎样分配这笔赌注呢？这个问题曾出现在帕乔利的《要义》以及卡尔达诺、塔尔塔利亚和其他人的一些书中。当梅雷（Antoine Gombaud，Chevalier de Méré，1610—1685）向帕斯卡提出这一问题，并由帕斯卡和费马通信讨论之后，这个问题才显得有点重要。他们在这方面的工作标志了概率论的开始。他们都应用了组合理论。
概率论方面的第一本重要著作是雅各布·伯努利的《猜度术》。现仍称为雅各布·伯努利定理的那个当时最重要的新结果是：若p是出现单独一次事件的概率，q是该事件不出现的概率，则在n次试验中该事件至少出现m次的概率，等于(p+q)的n次展开式中从p的n次项到包括p的m次乘以q的（n-m）次项为止的各项之和。
瑞士数学家雅各布·伯努利
六、数论
第一个对数论作出广泛可观的贡献并给这门学科以巨大推动力的欧洲人是费马（1601—1665）。
法国业余数学家费马
费马出身于商人家庭，在法国图卢兹（Toulouse）学法律并以当律师谋生。他一度是图卢兹议会的顾问。虽然数学只不过是费马的业余爱好，而且他只能利用闲暇来研究，但他对数论和微积分作出了第一流的贡献，他是坐标几何的两个发明者之一，并且同帕斯卡一起开创了概率论的研究工作。他对光学作出了不朽贡献：费马极小（时间）定理。费马的大多数工作是通过他写给朋友的信件闻名于后世的。他只发表了很少几篇论文，但有些书和论文是在他死后刊印发表的。
费马在数论上的工作决定了在高斯作出贡献之前这门学科的研究方向。费马的出发点是丢番图。后者的《算术》曾被文艺复兴时代的数学家翻成许多译本。1621年梅齐利亚克出版了希腊文版和拉丁文译本。费马手头有的就是这个版本，他的大部分结果都是由他记录在书页空白处的（不过有很少几个结果是通过给朋友的信传出去的）。1670年费马的儿子出版了附有他页边笔记的这本书。
费马提出了数论方面的许多定理，但只对一个定理作出了证明，而且这证明也只是略述大意。18世纪的最出色的数学家曾努力想证明他提出的结果，这些结果被证明都是正确的，只有一个是错的。费马无疑具有伟大的直观天才，但若要说他已证明了他提出的所有结论则未必可信。
荷兰数学家、物理学家惠更斯
1879年在惠更斯的故纸堆中发现一个文件，其中叙述了一个著名的方法——无限下推法（the method ofinfinite descent），这是费马首创和应用的一个方法。费马在1640年12月25日给梅森（Marin Mersenne，1588—1648）的信中提出了一个定理：形如4n + 1的一个质数可能而且只能以一种方式表达为两个平方数之和。例如17 = 16 + 1，29 = 25 + 4。应用这一方法时，要证，若有形如4n + 1的一个质数并不具有所需性质，那就将有形如4n + 1的一个较小质数也不具有那个性质。这样往下推就必定能推到n = 1，从而推到质数4 * 1 + 1 = 5，于是5就不能具有所需性质。而由于5能以唯一方式表达为两个平方数之和，因而每个形如4n + 1的质数都能这样表达。费马在1659年把他这个方法的梗概写信告诉他的朋友卡卡维（Pierre de Carcavi，卒于1684年）。费马说他用这方法证明了上述定理，但后人从未找到他的证明。他又说他用这个方法证明了其他一些定理。
无穷下推法和数学归纳法不同。第一是这方法并不要求我们验证出哪怕是一个例子来说明定理成立，因为我们可以根据n = 1时的情况只会导出与某一其他已知结果相矛盾的这一事实来作出论断。还有，证明的是还有一个较小的n值，但未必是次小的。最后一点是，这方法在否定某些论断方面更为有用。
费马又断言没有一个形如4n + 3的质数能表达为两个平方数之和。费马在丢番图书页的侧记中以及在写给梅森的一封信中，指出了如下一些定理：形如4n+1的一个质数能够而且只能作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；(4n + 1)的平方是两个而且只有两个这种直角三角形的斜边；它的立方是三个而且只有三个这种直角三角形的斜边；它的四次方是四个而且只有四个这种直角三角形的斜边如此等，乃至无穷。例如，我们来看n = 1的情形。这时4n+1 = 5，而3、4、5是一个而且只有一个以5为斜边的直角三角形的边。以5²为斜边的有两个而且只有两个：15、20、25及7、24、25。以5³为斜边的有且仅有三个：75、100、125；35，120，125；44，117，125。
法国数学家马兰·梅森
费马在给梅森的信中说，这4n + 1型的质数和它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的三次方和四次方都能以两种方式；它的五次方和六次方都能以三种方式如此等，乃至无穷。例如，当n = 1时有5 = 4 + 1及52 =9 + 16；53 =4 + 121 = 25 + 100等。信中接着说：若等于两平方数之和的一个质数乘以另一个也是这样的质数，则其乘积将能以两种方式表达为两个平方数之和。若第一个质数乘以第二个质数的平方，则乘积将能以三种方式表达为两个平方数之和；若乘以第二个质数的立方，则乘积将能以四种方式表达为两个平方数之和如此等，乃至无穷。
费马指出了关于将质数表达为x² +2y²、x² +3y²、x² +5y²、x²-2y²以及其他这类形式的许多定理，它们都是关于质数表达为平方和定理的推广。例如6n+1型的每个质数可表为x² +3y²；8n+1及8n+3型的每个质数可表为x² +2y²。一个奇质数能且只能以一种方式表为两个平方数之差。
费马提出的两个定理被后人称为小定理和大定理，后者又被人称为最后定理。小定理是费马在1640年10月18日给朋友弗雷尼克·德·贝西（Bernard Frénicle de Bessy，1605—1675）的一封信中传出的：若p是质数，而a与p互质，则a的p次方 -a能为p整除。
费马大定理写在丢番图书上丢番图问题（把已给平方数分解为两个平方数之和）的旁边：“然而此外，一个立方数不能分解为两个立方数，一个四次方数不能分解为两个四次方数，而一般说除平方以外的任何次乘幂都不能分解为两个同次幂。我发现了这定理的一个真正奇妙的证明，但书上空白的地方太少，写不下。”费马的证明（如果他真正有的话）从未被人找到过。
费马在致卡卡维的一封信中说他已用无穷下推法证明了n = 4的情形，但并未给出全部证明细节。弗雷尼克·德·贝西利用费马的少量提示，确实在1676年给出了对这一情形的证明，发表在他死后出版的《论直角三角形的数学性质》（Traité des triangles rectangles en nombres）一书中。
1995年证明了费马大定理的英国数学家怀尔斯
费马确也出过错。他相信他已经解决了那个老问题：列出一个对各种n值都能得出质数的公式。如今不难证明，除非m是2的乘幂，2的m次方 +1不可能是个质数。从1640年起，费马在许多信中提出了这个问题的逆命题，即表达一系列的质数——虽然他承认他不能证明这个断言。以后他又怀疑这断言的正确性。迄今为止，已知这公式给出的质数只有5个：3，5，17，257以及65537。
费马用无穷下推法提出并概括地证明了下述定理：边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。这是他唯一详细写出的证明。
关于多边形数，费马在丢番图的书上提出了一个重要定理：每个正整数或者本身是个三角形数，或者是2个或3个三角形数之和；每个正整数或者本身是个正方形数，或者是2、3或4个正方形数之和；每个正整数或者本身是个五边形形数，或者是2、3、4或5个五边形形数之和；以及对较高的多边形数的类似关系。这些结果只有在我们把0和1都归入多边形数之后才能成立。费马声称他用无穷下推法证明了它们。
完全数是希腊人研究过的，欧几里得还给出了基本的结果：
在
为质数时是个完全数，故6、28、496及8128是完全数。在1456年的一份手稿中，正确给出第五个完全数是33 550 336；这是相应于n = 13的完全数。雷吉乌什（Hudalrich Regius）在《摘录》（Epitome，1536）中也给出了这第五个完全数。卡塔尔迪（Pietro Antonio Cataldi，1552—1626）在1607年指出
在n为复合数时是复合数。并验证出
在n = 13、17及19时是质数。1664年梅森举出了其他一些完全数。
费马在1640年6月致梅森的一封信中提出了下面这些定理：（a）若n不是质数，则也不是质数。（b）若n是质数，则在可能为他数所整除的情形下只能为2kn+1型的质数所整除。截至2013年初已知的完全数有48个，至于是否存在奇完全数的问题尚为悬案。
费马在1636年重新发现塔比特第一个提出的法则，给出了第二对亲和数17296及18416（第一对亲和数220及284是毕达哥拉斯给出的）。笛卡尔在致梅森的一封信中给出了第三对亲和数9 363 584和9 437 056。
费马在1657年2月致弗雷尼克·德·贝西的一封信中提出一个定理：x²-Ay²=1在A是正整数而非完全平方时有无穷多个解。欧拉把这方程误称为佩尔（Pell）方程，这名称流传到今天。费马在同一封信中向所有数学家挑战，要求他们求出无穷多个整数解。布龙克尔勋爵给出了解，但并未证明解有无穷多个。沃利斯则全部解出了这个问题，并在1657年及1658年的信中以及在他的《代数》的第98章中给出了解法。费马又说他能指出：对于给定的A和B，x² -Ay² =B在什么情况下可解，并能把它解出来。不知道费马是怎样解这两个方程的，尽管他在1658年的一封信中说他是用下推法解第一个方程的。
七、代数同几何的关系
代数在16,17世纪得到巨大的发展。由于把代数同几何捆在一起，在1500年以前人们认为三次以上的方程是不现实的。如施蒂费尔在他编辑出版的鲁道夫的《代数》（Coss）中说道：“解三次以上的方程，似乎以为竟有什么高于三维的东西……那是违反自然的。”然而代数终究摆脱了几何思维的束缚。
不过代数与几何的关系仍然是复杂的，主要的问题是怎样使人认为代数推理是可靠的。在16世纪以及在17世纪的大部分时间里，答案是依靠与代数相当的几何意义。巴罗和帕斯卡反对过代数，后来又反对在坐标几何和微积分里用分析方法，因他们觉得代数缺乏可靠依据。
当韦达，其后又有笛卡尔，用代数帮助解几何作图题时，代数依赖于几何的状况开始有点逆转过来了。韦达所著《分析术引论》（1591）中出现的许多代数问题大多数是为了解几何题或使几何作图法系统化。典型例子是他所著《分析五篇》中的这样一个问题：已给矩形的面积及其两边之比，求矩形的两边。
对韦达来说，代数是发现数学真理的特设步骤，它就是柏拉图心目中的分析法（相对于综合法而言）。“分析”这个词是亚历山大的泰奥恩引入的，他把分析定义为这样的步骤：先假定所求的结果成立，然后根据逐步推理，得出一个已知的真理。所以韦达才把他的代数称作分析术。事实上这也是笛卡尔坐标几何思想的出发点。
韦达一个学生盖塔尔蒂（Marino Ghetaldi，1566—1627）在所著《阿波罗尼奥斯著作的现代阐释》（ApolloniusRedivivus，1607）的一个篇章中，对确定的几何问题的代数解法作了系统研究。
16和17世纪的数学家承认应该发展代数来代替希腊人所引用的几何方法。韦达对高次方程和代数方法论的研究是毫不迟疑的，他展望未来能出现一种运用符号的关于量的演绎科学。他一方面把代数主要当作是研究几何问题的方便工具，但也有足够远见能看到代数自身的生命力和意义。
邦贝利不用几何作出过一些被当时接受的代数证明。斯蒂文断言凡是几何上能做到的事都能用算术和代数做到。哈里奥特所著《实用分析术》（Artis Analyticae Praxis，1631）一书把韦达著作中的一些思想观点加以引申加以系统化并使之突出。这书很像一部现代的代数课本，它比先前任何一部代数书更富于分析精神，并在系统运用符号方面向前迈出了一大步。它的流传很广。
笛卡尔说他是继韦达的未竟之业的。从提供物质世界的知识这个意义上说，他并不认为代数是一门科学。他说几何与力学才确实含有这种知识，他把代数看成是进行推理——特别是关于抽象的和未知的量进行推理的有力方法。他认为代数使数学机械化，因而使思考和运算步骤变得简单，而无需花很大的脑力。这有可能使数学创造变成一种几乎是自动化的工作。
法国发行的纪念笛卡尔邮票
对笛卡尔来说，代数居于数学其他各分支的最前列。它是逻辑的引申，是处理量的一门有用的学科，在逻辑次序上领先于几何。因此他想建立一门独立的有系统的代数，而不是一批符号的无计划无依据的堆砌和紧密依赖于几何的一些步骤方法。有一份关于代数论述的提纲，名为《计算》（Le Calcul，1638），是笛卡尔本人或他领导的人执笔的，那里就把代数作为一门独立的科学来处理。
笛卡尔把代数看作逻辑在处理量方面的一种延伸，这使他想到有可能创立一门范围较广的代数科学，能概括量以及其他概念，并能用于研讨一切问题。甚至逻辑上的原理和方法也可能用符号来表达，而整个体系则可用之于使一切推理过程机械化。笛卡尔把这种想法称作“通用数学”。他是第一个把代数放在学术系统基本地位的人。
对代数的这种观点有充分认识的第一个人是莱布尼茨，他终于把它发展成符号逻辑。巴罗也具有这种观点，但范围较窄。他是牛顿的师友，是在牛顿之前担任剑桥大学卢卡斯（Lucas）数学讲座的人。他并不把代数看作正规数学的一部分，而是把它看成逻辑的一种形式化。
莱布尼茨微积分手稿
算术和代数技巧的日益广泛的应用产生的实际效果，使代数成为独立于几何的一个数学分支。笛卡尔既用a²来表示一个长度又表示一块面积这件事是个重大的步骤，因为韦达尚坚持认为二次方只能表示面积。笛卡尔明确认识到代数计算是不依赖于几何的。
沃利斯受了韦达、笛卡尔、费马和哈利奥特的影响，在使算术和代数脱离几何所描述的工作上比他们走得更远。沃利斯在《算术》（1685）一书中用代数方法推导出欧几里得《原本》第五篇中的所有结论。他不再把x和y的代数方程限定为齐次方程，他看到代数具有简明易懂的特点。
在牛顿所著的《普遍的算术》中第一次看到他肯定算术与代数（相对于几何而言）具有根本的重要性，当时笛卡尔与巴罗仍赞成以几何作为基本数学分支。牛顿为创立微积分需要也使用了代数语言，而微积分也以代数方法来处理最为适宜。代数之所以能居于几何之上，微积分学方面的需要是有决定意义的。
牛顿纪念邮票
到1700年之际，代数已达到能够自身站稳脚跟的地步了。但代数的逻辑基础，足以同欧几里得提供给几何者相媲美的，却并不存在。鉴于当时欧洲人已充分认识到严格的演绎式数学该有什么要求，所以当时人对此事普遍地缺乏关心（除了帕斯卡和巴罗的反对以外）令人诧异。
数学家如何判断哪些东西是正确的呢？正整数和分数的性质是如此直截了当地来自我们对事物集合的经验，以至于它们看来是不言而喻的。甚至欧几里得也不能给讨论数论的篇章提供逻辑基础。随着数系中增添了新的数，人们就把那些用于正整数和分数的运算法则也施行到新的数上，并以几何意义作为方便的向导。字母一旦被人采用后，它们就是数的化身，因而可以像数那样来处理。比较复杂的代数技巧，可通过卡尔达诺那种几何论证，或者通过对特例的单纯归纳，而获得似乎合理的一句。但所有这些做法在逻辑上都不能令人满意。而且求助于几何，也不能给负数、无理数和复数提供逻辑依据，也不能洞察更深的性质和变化。
然而数学家满怀喜悦和信心百倍地着手运用新的代数。沃利斯肯定说代数步骤的合法性并不逊于几何步骤。数学家没有认识到他们即将进入一个新的时代，那时归纳、直观、边做边改的办法和物理论点将要作为证明的基础。给数系和代数建立逻辑基础是个难题，其难度远远超过17世纪的任何数学家所能认识到的程度。数学家能那样大胆轻信甚至直率而不拘泥于逻辑倒是一件好事，因为自由创造必须走的正规化和逻辑基础的前面，而数学创造的最伟大的时代已经到来了。
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