八、平方数的速算

　　有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。

　　1．求由n个1组成的数的平方

　　我们观察下面的例子。

　　

　　

　

　　由以上例子可以看出这样一个规律；求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即：

　　注意：其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。

例11 计算

解：原式＝12345678987654321

　　2．由n个3组成的数的平方

　　我们仍观察具体实例：

　　

　　由此可知：由n个3组成的数的平方，等于在n－1个1的后面写一个0，再写n－1个8，再写一个9。即：

　　

例12 计算3333²。

解：原式＝11108889

　　3．个位数字是5的数的平方

　　把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成；（10a＋5）²的形式。根据完全平方式推导；

　　（10a＋5）²＝（10a）²＋2×10a×5＋5²

　　＝100a²＋100a＋25

　　＝100a×（a＋1）＋25

　　＝a×（a＋1）×100＋25

　　由此可知：个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。

例13 计算（1）45²；（2）115²。

解：

　　（1）原式＝4×（4＋1）×100＋25

　　＝2000＋25＝2025

　　（2）原式＝11×（11＋1）×100＋25

　　＝11×12×100＋25

　　＝13200＋25

　　＝13225

　　4．同指数幂的乘法

　　a²×b²是同指数的幂相乘，可以写成下面形式：

　　a²×b²＝a×a×b×b＝（a×b）×（a×b）＝（a×b）²

　　由此可知：同指数幂的乘法，等于底数的乘积做底数，指数不变。根据这个法则可以使计算简便。如：

　　2²×5²＝（2×5）²＝10²＝100

　　2³×5³＝（2×5）³＝10³＝1000

　　2⁴×5⁴＝（2×5）⁴＝10⁴＝10000

　　根据上面算式，可以得出这样一个结论：

　　

例14 计算：（1）2⁶×5⁶；

　　（2）5¹⁰×2¹⁰。

解：（1）原式＝1000000

　　（2）原式＝10000000000