一、幻方

　　关于幻方，我国史书上记载着不少神话故事。传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，图中的黑白圈四十五个，用直线连成九个数，后人称它为“洛书”（见图10－1）。

　　如果把“洛书”上的九个数，填在图10－2中的九个小方格内，则发现图中的每行、每列、两条对角线上的三个数的和都等于15，所以引起了人们的极大兴趣。许多人提出，对图10－2中九个方格，还有没有别的填法？ 4×4的十六个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？

　

　　“洛书”就是世界上最早出现的幻方，因为它有3×3个方格，并按要求填1－9九个数，我们称它为三阶幻方。一般地，在n×n个方格内，填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、两条对角线的n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方，图10－3就是一个四阶幻方。

　　下面只介绍三阶幻方的一些解法。

例1 将1－9这九个数，填入图10－4中的方格内，使每行、每列、及两条对角线上三个数字的和都相等。（本题给出的是一个三阶幻方）

分析与解1：为了便于分析，先用字母代替数字（如图

　　这个题目分三步解决：

　　（1）先求每行、每列三个数的和是几。（称为幻方的幻和）

　　（2）再求中间位置的数是几，即E＝？

　　（3）最后试填其他方格里的数。

　　因为A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I

　　＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9

　　＝45

　　所以A＋B＋C＝D＋E＋F＝G＋H＋I＝15

　　因为D＋E＋F＝B＋E＋H＝A＋E＋I＝C＋E＋G＝15

　　所以（D＋E＋F）＋（B＋E＋H）＋（A＋E＋I）＋（C＋E＋G）

　　＝（A＋B＋C）＋（D＋E＋F）＋（G＋H＋I）＋3E

　　＝15×4

　　所以3E＝15 求得E＝5。

　　填其他位置上的数时，要考虑奇偶性。例如求A＝？假设取A为奇数，因为A＋I＝10，所以I也要取奇数。D、G也要同奇或同偶。若D、G同奇，则H、F也是奇数，这样共出现六个奇数，与图10－2中只有5个奇数矛盾；若D、G同偶，则H、F也是偶数，C也是偶数，这样共出现五个偶数，与图10－2中有四个偶数矛质。所以A不能取奇数，只能取偶数。因此C、G、I也只能取偶数，为满足A＋I＝C＋G＝10，只要取A＝2，I＝8，C＝4，G＝6即可，这时，须取B＝9，H＝1，D＝7，F＝3，这样就得到本题的一个解（如图10－6）。

分析与解2：杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方构造方法时写道：“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。”这四句话，对本题给出了一种解法，如图10－7所示。

　　根据图10－7（d）可以得到本题的答案（见图10－8）

例2 用10到18九个数，构成一个三阶幻方。

分析与解：本题用例1的两种解法，都可以得到正确的解答。这里利用一种移数的方法来求得解答，如图10－9所示。

　　因为17＋12＋13＝10＋14＋18

　　＝15＋16＋11＝17＋10＋15

　　＝12＋14＋16＝13＋18＋11

　　＝17＋14＋11＝13＋14＋15＝42

　　所以符合三阶幻方定义，所以图10－9（d）是本题的一个解。

　　有关幻方的知识，可翻阅《幻方与数阵趣谈》（科学普及出版社）