3．例题分析

例7 （1）有5个人排成一排照相，有多少种排法？

　　（2）5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？

分析与解：（1）5个人排成一排，从左到右共5个位置。第一个位置可从5个人中任选1人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4人中任选1人，有4种选法。同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有

　　5×4×3×2×1＝120

　　种排法。

　　（2）这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位。仿照（1）中的分析可知共有

　　4×3×2×1＝24

　　种排法。

说明：自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n！表示。例如5！＝1×2×3×4×5，4！＝1×2×3×4。于是，例7中的两个式子可简写作5！＝120，4！＝24。

例8 某条航线上共有8个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？

分析与解：每一种飞机票可看作起点在前、终点在后两城市间的顺序排列。第一步，确定起点城市，有8种选法；第二步确定终点城市，当起点选定后，终点只有7种选法。根据乘法原理，共有

　　8×7＝56

　　种不同的排列方法。因此，这条航线上需要准备56种不同的飞机票。

　　由于两个城市按照起点在前、终点在后的顺序排列有2种，所以有两种飞机票。而它们的票价是一样的。因此，这条航线上应有56÷2＝28种不同的票价。

说明：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n个不同的元素中取m个不同的元素的一个排列。所有排列的种数叫做排列数。例8中求飞机票种数问题，就是求从8个不同元素中，任取两个不同的元素的排列种数问题，一般可以运用乘法原理来求排列数。

例9 用0，l，2，3这四个数，可以组成多少个没有重复数字的四位数？

解法一：一个四位数可以看作是四个数字的一个排列。由于“0”不能作千位数，所以千位数只能从1，2，3，这三个数中任取一个，有3种选法。再考虑到没有重复数字这一条件，百位、十位、个位三个位置分别有3种、2种、1种选法。根据乘法原理，可以组成

　　3×3×2×1＝18

　　个没有重复数字的四位数。

解法二：如果把数字0，1，2，3全部取出来排列，根据乘法原理，共有

　　4×3×2×1＝24

　　种不同的排列。其中“0”在千位上的排列（这种排列不能看成四位数）有

　　3×2×1＝6

　　种。所以符合条件的四位数就是

　　24－6＝18（个）

例10 现有红、黄、蓝三种颜色的小旗各一面，用它们挂在旗杆上作信号（顺序不同时表示的信号也不同），总共可以作出多少种不同信号？

分析与解：作出的信号可以按照挂出的小旗面数分成三类：

　　（l）只有一面小旗作信号，这样作出的信号有3种；

　　（2）用二面小旗作信号，由乘法原理，作出的信号有3×2＝6种；

　　（3）用三面小旗作信号，由乘法原理，作出的信号有3×2×1＝6种。

　　根据加法原理，总共可以作出

　　3＋6＋6＝15种不同的信号。