第7章  拉普拉斯变换

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．

7.1拉氏变换的基本概念

在代数中，直接计算

是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为

，

然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数 ．

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．

7.1.1 拉氏变换的基本概念

定义  设函数 当 时有定义，若广义积分 在 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为 的函数，记作 ，即

（7-1）

称（7-1）式为函数 的拉氏变换式，用记号 表示．函数 称为 的拉氏变换(Laplace) (或称为 的象函数)．函数 称为 的拉氏逆变换（或称为 象原函数），记作

，即 ．

关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：

(1) 在定义中，只要求 在 时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在 时， ．

（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数 是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．

（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．

例7-1  求一次函数 （ 为常数）的拉氏变换．

解

．

7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换

在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为 )进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流 ，以 表示上述电路中的电量，则

由于电流强度是电量对时间的变化率，即

，

所以，当 时， ；当 时，

．

上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．

定义

设 ，当 0时， 的极限

称为狄拉克（Dirac）函数，简称为 函数．

当 时， 的值为 ；当 时， 的值为无穷大，即 ． 和

的图形如图7-1和图7-2所示．

显然，对任何 ，有 ，所以 ．

工程技术中，常将 函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将 函数用一个长度等于 的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示 函数的积分，叫做 函数的强度．

例7-2  求 的拉氏变换．

解  根据拉氏变换的定义，有

，

即 ．

例7-3  求单位阶梯函数 的拉氏变换．

解  ， ．

例7-4 求指数函数 （ 为常数）的拉氏变换．

解  ，即

．

类似可得 ； ．

习题7–1

求1-4题中函数的拉氏变换

1． ．

2． ．

3．

4． 是常数）．

7.2 拉氏变换的性质

拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换．

性质1 (线性性质)  若 ， 是常数，且 ， ，则

．        （7-2）

证明

．

例7-5  求下列函数的拉氏变换：

（1） ；        （2） ．

解（1） ．

（2） ．

性质2（平移性质） 若 ，则

（ 为常数）．                    （7-3）

证明  ．

位移性质表明：象原函数乘以 等于其象函数左右平移 个单位．

例7-6  求 ， 和 ．

解  因为 ， ， ，由位移性质即得

性质3（滞后性质） 若 ，则

．                       （7-4）

证明  = ，在拉氏变换的定义说明中已指出，当 时， ．因此，对于函数 ，当 （即 ）时， ，所以上式右端的第一个积分为 ，对于第二个积分，令 ，则

滞后性质指出：象函数乘以 等于其象原函数的图形沿 轴向右平移 个单位（如图7-3所示）．

由于函数 是当 时才有非零数值．故与 相比，在时间上滞后了一个 值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在 这个函数上再乘 ，所以滞后性质也表示为

．

例7-7  求 ．

解  因为 ，由滞后性质得 ．

例7-8  求 ．

解  因为 ，所以 ．

例7-9  求下列函数的拉氏变换：

（1）           （2）

解 （1）由图7-4容易看出，当 时， 的值是在 的基础上加上了（ ），即 ．故可把 写成 ，于是

．

（2）仿（1），把 写成 ，于是

．

我们可以用拉氏变换定义来验算例7-9所得的结果．由例7-9看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子．

例7-10  已知 ，求 ．

解：如图7-5所示， 可用单位阶梯函数表示为 ，于是

，

由拉氏变换定义来验证：

．

性质4（微分性质） 若 ，并设 在[0，+ 上连续， 为分段连续，则

．                        (7-5)

证明  由拉氏变换定义及分部积分法，得

，

可以证明，在 存在的条件下，必有 ．因此，

．

微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数 ，再减去函数的初始值．

应用上述结果，对二阶导数可以推得

．

同理，可得

．

以此类推，可得

．     （7-6）

由此可见， 各阶导数的拉氏变换可以由 的乘方与象函数 的代数式表示出来．特别是当初值 时，有更简单的结果

．                 （7-7）

利用这个性质，可将 的微分方程转化为 的代数方程．

例7-11  利用微分性质求 和 ．

解  令 ，则 ，由7-6式，得

，

即

，

移项化简得

．

利用上述结果， 及（7-5）式，可得

．

性质5（积分性质） 若 ，且设 连续，则

．                         （7-8）

证明  令 ，显见 ，且因 ，由微分性质，得

，而 ，所以有

，即 ．

积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数 ．

例7-12  求 （ 是正整数）．

解  因为 ，…， ，所以由（7-8）式即得

……………………

一般地，有

．

性质6   若 ，则 时

．                         （7-9）

性质7   若 ，则

．                      （7-10）

性质8   若 ，且 存在，则

．                       （7-11）

例7-13  求 ．

解  因为 ，由（7-10）式可得

．

例7-14  求 ．

解  因为 ，而且 ，所以由（7-11）式可得

．

即 ．因此，当 时，得到一个广义积分的值

．

这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的．

现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下：

表7-1   拉氏变换的性质

序号

设

1

2

3

(a>0)

4

…

5

6

（a>0）

7

8

表7-2  常用函数的拉斯变换表

序号

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

习题7-2

求5-12题中函数的拉氏变换

5． ．                               6． ．

7． ．                         8． ．

9．                  10．

11．                  12． ．

7.3 拉氏变换的逆运算

前面我们主要讨论了怎样由已知函数 求它的象函数 的问题．运算法的另一面是已知象函数 要求它的象原函数 ，这就是拉斯逆变换问题．同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出．

性质1（线性性质） ．

性质2（平移性质） ．

性质3（滞后性质） ．

例7-15  求下列象函数的逆变换：

（1） ；          （2） ；

（3） ；         （4） ．

解 （1）将 代入表二（5），得 ．

（2）由性质２及表二（4），得

．

（3）由性质１及表二（2）、（3），得

．

（4）由性质１及表二（9）、（10），得

．

例7-16  求 的逆变换．

解

．

在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数．

例7-17　求 的逆变换．

解  先将 分解为两个最简分式之和： ，

用待定系数法求得 ， ，所以 ，于是

．

例7-18  求 的逆变换．

解  先将 分解为几个简单分式之和：

，

用待定系数法求得 ，所以

，

于是

．

习题7-3

求13-18题中函数的拉氏逆变换

13． ．                         14． ．

15． ．                       16． ．

17． ．                  18． ．

7.4 拉氏变换应用举例

下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用．

例7-19  求微分方程 满足初值条件 的解．

解  第一步  对方程两边取拉氏变换，并设 ：

，

，

．

将初始条件 代入上式，得

．

这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程．

第二步  解出 ： = ．

第三步  求象函数的拉氏逆变换： ．

这样就得到了微分方程的解 ．

由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表7-3：

象函数的代数方程

常系数线性

微分方程

作拉氏变换

解代数方程

象原函数

（微分方程的解）

象函数

求拉氏逆变换

例7-20  求微分方程 满足初值条件 的解．

解  对所给微分方程的两边分别作拉氏变换．设 ，则得

．

将初值条件 代入，得到 的代数方程

，即 ．

解出 ，得

．

将上式分解为部分分式

，

再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为

．

用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组．

习题 7-4

用拉氏变换求解19-22题中的微分方程

19． ．

20． ．

21． ．

22． ．

本章内容

本章主要内容为：

1．拉氏变换的概念和性质；拉氏变换的逆变换．

2．拉氏变换与逆变换之间有如下框图所示的关系：

拉氏变换

拉斯变换

拉氏逆变换．

作拉氏变换

拉氏变换在解常系数线性微分方程（组）中的应用

微分方程

拉氏逆变化的性质性质

拉氏变化的性质

4．拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表：

象函数的代数方程

常系数线性

微分方程

作拉氏变换

解代数方程

象原函数

（微分方程的解）

象函数

求拉氏逆变换

自测题七

求1-5题中函数的拉氏变换

1．              2． ．

3． ．              4． ．

5． ．

求6-9题中象函数的逆变换

6． ．                  7． ．

8． ．           9． ．