2010年湖北省武汉市中考题第24题:
已知:线段OA⊥OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点.连结AC,BD交于点P.
(1)如图1,当OA=OB,且D为OA中点时,求
(2)如图2,当OA=OB,且
(3)如图3,当AD∶AO∶OB=1∶n∶
图1 图2 图3
分析:(1)要求
图4 图5 图6 图7
图8 图9 图10
图11 图12 图13
思路一:构造中位线
解法1:连结AB、CD,如图4,则CD是△AOB的中位线.
∴CD∥AB,且CD=
∴
思路二:构造平行线
解法2:过点C作CM∥BD交AO于M,如图5.
∵C为OB中点,由平行线分线段成比例定理,得DM=MO,
∵D为OA中点,且DM=MO,∴AD=2DM,即
解法3:过点C作CM∥AO交BD于M,如图6.
解法4:过点D作DM∥BO交AC于M,如图7.
解法5:过点D作DM∥AC交BO于M,如图8.
解法6:过点O作OM∥BD交AC的延长线于M,如图9.
解法7:过点O作OM∥AC交BD的延长线于M,如图10.
解法8:过点A作AM∥BO交BD的延长线于M,如图11.
解法9:过点B作BM∥AO交AC的延长线于M,如图12.
(解法3至解法9的过程留给同学们自己完成)
思路三:利用面积
解法10:连结OP,如图13.
∵点C为OB中点,D为OA中点,∴S△BCP=S△OCP,S△ADP=S△ODP.
∵OA=OB,OA⊥OB,∴S△AOC=S△BOD.
∴S△AOC-S四边形ODPC=S△BOD-S四边形ODPC,即S△BCP=S△ADP.
∴S△BCP=S△OCP=S△ADP=S△ODP.
∴
(2)要求tan∠BPC的值,注意到∠BPC及其对顶角所在的三角形不是直角三角形,且在两个直角三角形中也无法找到与∠BPC相等的角,因此需要以∠BPC为内角构造直角三角形.另外,为了找出所构造的直角三角形中两直角边的关系,仍然需要作出问题(1)中的辅助线.
解法1:过点C作CE⊥BD于E,过点D作DM∥BO交AC于M,如图14,则
设AD=k(k>0),则AO=4k=OB,DO=AO-AD=4k-k=3k.
∵C为OB中点,∴BC=CO=2k.
在Rt△BOD中,由勾股定理,得BD=
∵DM∥BO,∴
易证△BEC∽△BOD,∴
图14
∴CE=1.2k,BE=1.6k.∴EP=BP-BE=4k-1.6k=2.4k.
∴tan∠BPC=
事实上,过点C作CE⊥BD于E后,再作一条与图5~图12中的任何一个图形一样的辅助线,都可以得到一种解法,这样我们就可以得到8种解法.而且在解题过程中,我们又发现了一种比较简捷的方法.
如解法1中,由BD=5k,
因此我们也可以只作一条辅助线,辅助线的作法同图5~图12中的任何一个图形的辅助线作法一样,于是我们又得到问题(2)的8种求法.
(3)当AD∶AO∶OB=1∶n∶
评注:本题是一道考查平行线分线段成比例、三角形相似、勾股定理及三角函数的综合题,由三个小题组成,这三个小题的难度呈梯度上升,是一道典型的“递进型”中考题.
其中问题(1)中的解法1是根据已知条件中有两个中点,从而想到三角形的中位线定理而作的辅助线,是问题(1)的最简捷解法.解法10也是根据中点想到的辅助线作法.而解法2至解法9是为了利用平行线分线段成比例或构造相似三角形而作的辅助线,其中图5、图6、图7和图8(所作的辅助线没有与已知线段的延长线相交)解答问题(1)常见的辅助线作法.
在解答问题(2)时,因为∠BPC及其对顶角所在的三角形都是非直角三角形,而且从已知条件中我们无法再找出与∠BPC相等的角,为了求出tan∠BPC的值,我们应该首当其充地构造∠BPC所在的直角三角形,于是过点C作CE⊥BD于E,至于过其它点作另一条辅助线,一是为了求出线段PD、BP的比值,从而顺利找出所构造的直角三角形中两直角边的关系,另外这也是由“递进型”中考题的特点(下一题要充分用到上一题的结论或解题思路)决定的.在求解过程中,我们发现PD=AD,于是∠BPC=∠APD=∠A,而∠A在直角三角形中,且正切值容易求出,于是把求tan∠BPC转化为tanA,因此解答问题(2)只需作出与问题(1)类似的辅助线,而无需构造直角三角形,这也是我们在按照正常思路求tan∠BPC的过程中发现的巧妙解法.
问题(3)的设置比较巧妙,解答时要注意让条件“AD∶AO∶OB=1∶n∶
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