一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理。韦达定理在解决与一元二次方程有关的实际问题中有着广泛的应用。但在应用韦达定理时,很多同学往往忽视一个重要制约条件,这就是要先保证该一元二次方程有实数根(满足根的判别式),如果一元二次方程没有实数根,则也不存在根与系数的关系。因此,我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件。
例1 已知x、x是方程2x-2x+1-3m=0的两个实数根,且xx+2( x+x)>0,那么实数m的取值范围是 。
解析:⑴方程有两个实数根,则(-2)-4×2(1-3m)≥0,∴m≥
⑵由韦达定理x+x=1,xx= ,又xx+2( x+x)>0
即有+2>0 ∴m< ∴实数m的取值范围是≤m≤
点拨:应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根。
例2 若关于x的一元二次方程3x+3(a+b)x+4ab=0的两个实数根x、x满足关系式x( x+1)+ x(x+1)=(x+1)(x+1),判断(a+b)≤4是否正确?若正确,请加以证明;若不正确,请举一反例。
解析:⑴由x( x+1)+ x(x+1)=(x+1)(x+1), 变形得:
(x+x)-3 xx-1=0 由韦达定理有x+x=-(a+b),xx=ab
即有(a+b)-4ab-1=0 ∴(a+b)=4ab+1
⑵方程有两个实数根,由根的判别式9(a+b)-48ab≥0,∴(a+b)≥ab
∴4ab+1≥ab,可得4ab≤3 ∴(a+b)=4ab+1≤4。
点拨:由根的判别式作中间条件推导出4ab≤3是本题的解题关键。
例3 设x、x是方程2x-4mx+2m+3m-2=0的两个实数根,当m为何值时x+x有最小值?并求出这个最小值。
解析:⑴由根的判别式16 m-8(2m+3m-2)≥0, ∴m≤
⑵由韦达定理有x+x=2m,xx=
设y= x+x=(x+x)-2 xx=4 m-(2m+3m-2)
=2 m-3m+2=2(m-)+
y关于m的二次函数对称轴m=,m≤<时,y随m的增大而减小
∴m=时,y有最小值,即x+x有最小值。最小值为:2(-)+=
点拨:由根的判别式确定m的取值范围,从而正确地确定二次函数区间上的最小值。
练习:
1.若关于x的方程2x-2x+3m-1=0有两个实数根x、x,且xx>x+x-4,则实数m的取值范围是( )。
A.m>; B。m≤; C。m<; D。<m≤
2.△ABC的一边长为5,另两边长恰为方程2x-12x+m=0的两根,则m的取值范围是 。
(1.参考答案:B;2.点拨:由方程两根之差小于第三边,结合韦达定理、判别式可求得<m≤18)
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