平面镶嵌知识简介

湖北省沙洋县长林中学 刘黎明

　　用若干类全等形(能够完全重合的图形叫做全等形)无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌(覆盖、铺砌)平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°．最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌平面．以下对平面镶嵌问题从三个方面略作介绍．

 

　　一、用一种任意多边形镶嵌

 

　　1．全等的任意三角形能镶嵌平面

 

把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面．如图1．

 

 

 

　　用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2．

 

　　2．全等的任意四边形能镶嵌平面

 

　　仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面．如图3．其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌．如图4．

 

　　　　　　　　

         

 

　　3．全等的特殊五边形可镶嵌平面

 

　　圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论．1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠C＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究．

 

　　　　　　　　

  

     

 

　　4．全等的特殊六边形可镶嵌平面

 

　　1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面．图7是其中之一．在图7的六边形ABCDEF中，∠A＋∠B＋∠C=360°，a=d．

 

　　5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面．

 

　　二、用同一种正多边形镶嵌

 

　　只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面．

 

　　三、用多种正多边形镶嵌

 

　　例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角．由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°．所以有

 

　　    m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6．

 

　　这个方程的正整数解是

或

 

　　可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形．如图8、图9．

 

　　 　　　　  

    

 

　　读者可探究用其它两种正多边形或两种以上的正多边形进行镶嵌的问题．

 

　　参考文献：

 

　　《初等数学研究的问题与课题》  杨之（即杨世明先生）  湖南教育出版社  1993年5月版