基础矩阵估计综合算法的几何意义及分析* 沈沛意 王 伟 吴成柯 Long Quan Roger Mohr 摘要 研究了基础矩阵参数的几何意义,提出了新的估计基础矩阵的约束条件. 首先用给出的约束求出F阵的4个参数,而这2个参数正好是2个对极点的仿射坐标. 然后通过解线性方程组获得其余4个参数,而这4个参数表示了对极线束间的对应关系. 最后,经过对真实图像和合成数据的测试表明本方法有明显的几何意义,可获得几何特性稳定的F阵. 1 F阵的估计
其中m和m′是三维点M的投影,其齐次坐标分别为(x y 1)T和(x′ y′ 1)\+T,而e(α,β)和e′()是图像1和图像2的对极点,基础矩阵F12是一个3×3 矩阵,其作用是将图像1中的点m映射到图像2中的对极线F12m. 基础矩阵F12可由对极点e(α,β)表示为[6] 由对极几何的对称性,将F21也用另1个对极点表示. 由(2)和(3)式知F21阵的3个列向量b1, b2,和b3是线性相关的. 也就是说其中1个可以由另外2个向量线性表出,不失一般性,假设 简化后为 将F21的列向量代入(8)式,则得 因此基础矩阵可由2个对极点的4个参数表示. 由于y∞,y′∞同在无穷远线上,则其坐标分量τ1,τ2可表示为[5]
鉴于对极点的多解性,就可以利用推导出的2个对极线束间映射关系参数的约束关系(21)式作为基础矩阵求解的一个约束条件. 这里N是匹配点数,N应不小于4,这里不妨先取N=4,则B为4×4的矩阵,由(2)式知f1 f2 f4 f5不全为零,因此,要使方程 (22) 有非零解,则其系数矩阵的行列式必为零,即 将(24)式展开,即有一个关于α,β,α′,β′的函数,并有形式 (d1iβ′2+d2iβ′+d3i)=0,(25) 其中Ki, aji, bji, cji, dji, j=1,2,3,是一些与点坐标有关的标量. Bi(α,β,α′,β′)= 其中[ijkl]是整数序列的[1 2...N]的一个线性组合,并且共有个组合数. 因此,可以通过求解如下的一个非线性最小化问题来估计对极点: 则方程组(29)的解就是矩阵D中对应于矩阵V的最小奇异值的那个列向量. 其中i为E阵的行数,即实际计算中采用的约束方程的个数,i=1,...,N. 至此得到了F阵的估计,由于非线性问题(25)式的多解性,导致了F阵的解不唯一,因此我们定义一个余差rest为最优准则,并认为对应于最小的rest值的F阵即为全局最优解[6]. 2 实验结果 |
图1 改进8点算法,真实图像数据 |
图2 6点综合算法,真实图像数据 说明同图1 据计算出的结果. 图4~6为上述3种算法分别用人工合成数据计算出的结果. 图7~9为上述3种算法分别用加噪人工合成数据计算出的结果. 其中图(a)为计算出的平均余差和平均距离. 图(b)为38个左对极点,图(c)为38个右对极点. 平均余差rest(ave)代表的绝对值,平均距离distance(ave)代表由当前计算出的基础阵计算出匹配点到其对应的对极线间的距离 |
图3 双对极点约束综合算法,真实图像数据 |
图4 改进8点算法,无噪合成数据 |
图5 6点综合算法,无噪合成数据 |
图6 双对极点约束综合算法,无噪合成数据 |
图7 改进8点算法,加噪合成数据 |
图8 6点综合算法,加噪合成数据 |
图9 双对极点约束综合算法,加噪合成数据 从平均余差的大小来看,6点综合算法略逊于8点算法,双对极点约束法略逊于6点综合算法. 究其原因是由于:(ⅰ)新约束的加入限制了可行解的范围;(ⅱ)8点算法完全是一个线性化的最小二乘过程,视最小为最优,而不管其是否满足应有的几何条件. 从平均余差和平均距离的稳定性上可以看出,利用双对极点约束算法估计出的基础矩阵有很好的稳定性. 4 结论 *国家自然科学基金资助项目(批准号:69605002)和中法先进研究计划资助项目 作者单位:沈沛意 王 伟 吴成柯 西安电子科技大学信息工程系,综合业务网国家重点实验室,西安710071;Long Quan Roger Mohr Lifia-CNRS-INRIA, 46Avenue Felix Viallet, 38031 Grenoble Cedex, France 参考文献 [1] Faugeras O D. Three-Dimensional Computer Vision: A Geometric Viewpoint. Beckeley: MIT Press, 1993 |
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