样条插值

  问题的背景高次插值函数的计算量大, 有剧烈振荡,数值稳定性差;而分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑(导数不连续)。样条函数可以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数。

1. 样条函数
   在[a,b]上取n+1个插值结点a=x₀<x₁<…<x_n =b,已知函数f(x)在这n+1个点的函数值为y_k=f(x_k ), 则在[a,b]上函数y=f(x)的m次样条插值函数S(x)满足:
    (1)S(x) 在(a,b)上直到m-1阶导数连续;
    (2)S(x_k)=y_k,(k=0,1,…,n) ;
    (3)在区间[x_k ,x_k+1](k=0,1,…,n-1)上,S(x)是m次多项式。

2. 三次样条函数
   在[a,b]上函数y=f(x)的三次样条插值函数S(x)满足:
    (1)在(a,b)上0、1、2阶导数连续; 即: 

        s^'(x_k-0)=s^'(x_k+0),s^″(x_k-0)=s^″(x_k+0),(k=0,1,…,n-1) 

    (2) S(x_k)=y_k,(k=0,1,…,n) ;

    (3)在区间[x_k ,x_k+1](k=0,1,…,n-1)上,S(x)是三次多项式。

3. 三次样条函数的计算 
   由二阶导数连续,设

是未知待定的数。因S(x)是分段三次多项式, 则在每个区间[x_k ,x_k+1 ]内，S^″(x)是分段一次多项式, 记h_k=x_k+1 -x_k ,则:
         

将上式在区间[x_k ,x_k+1]上积分两次,并且由S(x_k)=y_k ,S(x_k+1 )=y_k+1来确定两个积分常数。当x∈[x_k,x_k+1 ]时, 
         

利用S(x)一阶导数连续的性质,对上式求导,得:
         

在上式中,令x=x_k ,得:
         

将上式中的k换成k-1,得: s^'(x)在[x_k-1 ,x_k]上的表达式,将x=x_k 代入，
         

而s^'(x_k+0)=s^'(x_k-0), 联立上述两式,得到关于m 的方程:
    

两边乘以 

, 得:
    

上式中，等式左边含未知量m_k-1,m_k ,m_k+1 ,等式右边y_k-1 ,y_k ,y_k+1是已知的,令
         

则得:
         λ_km_k-1 +2m_k+μ_k m_k+1 = C_k,(k=1,2,…,n-1). 

这是含有n+1个未知量m₀ ,m₁ ,…,m_n,共有n-1个方程组成的线性方程组。欲确定方程的解,尚缺2个方程,因此求三次样条函数还要2个附加条件。

常用的问题有下面两种提法: 

   第一类问题:附加条件为s″(x₀)=m₀,s″(x_n)=m_n 。

则方程组为:
     

其系数矩阵为: 
      

　　 
这是一个三对角矩阵,由于λ_k+μ_k =1<2,因而它是严格对角占优的。原方程组是个三对角方程组,可以用追赶法求解。 

   第二类问题:给出边界端点的一阶导数值:
       

利用前面已推导的公式:当x∈[x_k,x_k+1 ]时,
       

取k=0,x=x₀,得: 
       

取k=n-1,x=x_n,得: 
       

移项,得：
       

于是, 我们可以建立如下方程组:
       

其系数矩阵是严格对角占优的三对角矩阵: 
       

从而可以解出m₀ ,m₁,…,m_n , 解出后可以得到三次样条函数的分段表达式,即当x∈[x_k ,x_k+1]时,
       

 例 已知y=f(x)的函数值为: