关于陀螺运动及其研究方法的探讨(1)

【编辑按】：本文是将我的《关于陀螺运动及其研究方法的探讨—陀螺运动中的转动量、转动能守恒之分析》论文以拆分形式发表出来的，因「今日头条」目前暂不支持过长文章发表格式；在此，希望爱好陀螺运动探索的朋友们能够耐心地去读[待续]篇章，这样才能够看出本文对陀螺运动思考、研究的要旨，并依此抛砖引玉，以期与朋友们共同探索陀螺运动的奥秘！

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关于陀螺运动及其研究方法的探讨

——陀螺运动中的转动量、转动能守恒之分析

司 今

（广州毅昌科技研究院 广州 510663 E-mail:[e-mail]）

摘 要 ：陀螺运动研究是一个既古老又新颖、既复杂又简单的课题，仔细研读、分析关于这方面的理论可以发现，我们对陀螺运动研究存在误区：（1）没有把陀螺运动当做真正意义上的质点运动来对待；（2）没有体现陀螺运动变化中应遵循某些守恒规律；（3）只关注陀螺定点进动情况，对陀螺其他形式的进动及运动等研究较少。

本文正是通过对陀螺研究方法及其它形式陀螺运动的讨论来阐述陀螺运动所应遵循的基本规律——转动量、转动能守恒规律；在此基础上推导出新的陀螺运动方程，并对新陀螺运动方程的物理意义作深了入深剖析、讨论；同时，又探讨了陀螺的其他几种进动与运动形式及其形成的物理机制。

关键词：质点 陀螺 陀螺进动方程 转动量、转动能守恒

中图分类号： 0441 文献标识码：A

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0、引言

关于陀螺运动的研究是一个既古老又新颖、既复杂又简单的课题；说它古老，上可以追溯到200多年前欧拉、拉格朗日等人的理论研究；说它新颖，下可以在太阳系行星运动、量子力学拉莫尔进动中看到它的踪影；说它复杂，可以从欧拉刚体力学方程组中看出端倪；说它简单，可以用力矩、惯性矩原理来推导出它的运动规律方程。

图-1

欧拉是开拓陀螺运动理论研究的先驱，他在研究陀螺运动时引入了进动角ψ、章动角θ，自旋角φ、力矩M四个物理量，然后建立他的刚体运动学，如图-1所示，他所给出的刚体力学方程组复杂且难以求解。

欧拉刚体的运动学方程组是：

欧拉刚体的动力学方程组是：

运用这二个方程组，通过数学简化和物理取舍，最后可以得出自旋陀螺在理想状态下的进动方程为：

现在众多教科书抛弃了欧拉这种复杂的旋转坐标理论来研究陀螺运动，而用如图-2所示的“矢量叉积”法来推导陀螺运动方程；

图-2

运用陀螺重力矩（τ=R×Mg）与其自旋角动量变化率（τ=dL/dt=Ω×L）相等来推出陀螺进动方程为：

纵观陀螺进动方程研究的历史，我们不难发现：

不论是欧拉的旋转坐标法还是矢量叉积法，它们运用的共同物理理论都是刚体力学中力矩、角动量、惯性矩等概念与原理，即M=F.r、M=dJ/dt、J=Iω等；特别是“矢量叉积”法，它本身就来源于对陀螺进动现象的提炼与总结，然后再返回来用这个规则去解释陀螺进动，这就犯了“循环印证”的逻辑大忌。因此，它不可能从陀螺进动形成的物理机制上告诉我们“陀螺进动为什么不到？”。

仔细研读、分析还可以发现，目前对陀螺运动研究存在的主要误区是：

(1).没有把陀螺运动当做真正意义上的自旋质点来对待，因力矩、转动惯量与角动量概念都是与空间有关的量，这本身就与质点概念存在冲突。

(2).没有真正阐明陀螺自旋轴端受力对它运动变化会产生什么影响。

(3).没有运用陀螺运动变化中须遵守类似于“动量、动能”这样的守恒规律来研究。

1、质点思想在陀螺运动中的作用

质点^[3]是一种理想化的模型。在研究机械运动时，若物体形状和大小对运动的影响可以忽略，我们就可以把它看作是一个具有一定质量的几何点，称为质点。实际上，牛顿运动定律就是针对质点而言的，牛顿力学方程的加速度就是欧几里得几何中一个点的加速度。

能否将物体看作质点处理需要满足以下条件的其中之一：

（1）物体各个部分的运动情况相同，即具有刚体性，它的任何一点的运动都可以代表整个物体的运动。

（2）物体的大小和形状对研究问题影响很小，可以把它看作一个质点。

（3）转动的物体，只要不研究其转动且符合第2条，也可看成质点。

可见，质点是对实际物体在一定条件下的科学抽象概念，但我们一定要注意“质点只具有质量大小，没有空间大小或空间大小不考虑”这个约定概念的真正含义，只有这样才可能看清目前在陀螺研究中出现混乱和缺陷的根源所在。

牛顿力学的万有引力定律、惠更斯圆周运动公式以及后来的库伦电、磁荷定律等也都是关于质点的力学理论；同时，物理学所建立的动量、动能、角动量等运动守恒规律也都是从质点概念出发得来的。

这里，要阐明一点：牛顿力学体系中对动量守恒与动能守恒的阐述存在分裂性，因为对于一个动量p=mv的守恒系统，其动能E=mv²/2可能不守恒，这是因为p=mv可以表示一个质点作闭合或开放运动，而E=mv²/2是建立在一个开放空间下的概念，它描述的是一个质点在作半闭合路径下运动的动能，这对作闭合圆周运动的质点动能描述是不适合的，必须做以修订，修订的结果应是E=mv²；这一结果在相对论和量子力学中可以体现出来，如爱因斯坦的质能方程E=mc²、量子力学中普朗克量子能量hγ=mv²等都是对目前动能定义为E=mv²/2的隐形修正，关于这方面论述请参阅司今《动能定义分析及圆周运动动能修正初议》一文。

陀螺运动涉及陀螺受力后的平动、自旋、进动等问题，因此我们对陀螺运动的研究要想建立在质点概念之上，首先就须撇开空间r的纠缠，这就注定了它与一般刚体运动研究在方法、思路上是有区别的，因此，不能照搬一般刚体运动研究的思路与方法，因为它们不但不能为陀螺运动研究带来方便，还会将陀螺运动研究引入复杂、模糊化的境地。

对于自旋陀螺而言，陀螺体与自旋轴构成一个密不可分的整体系统，当我们把自旋陀螺体看作是一个质点时，这个质点是有自旋性，而它的自旋轴则必须脱离质点概念而独立存在，因为轴是线性概念，线是无法看做质点的；这时，探讨陀螺运动变化就必须考虑自旋轴受力、倾斜等变化对陀螺体运动的影响，可目前关于陀螺运动的力学在这方面考虑得还是不够深入的，具体分析请看以下章节。

(待续)