初高中衔接知识专题（三） 二次函数与一元二次不等式

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来考察一下二次函数y=x2-x-6， 我们把这个函数的图象画出来：

现在我们从两个角度来观察这个图象：

一个是以x轴为分界线， 观察这个图象在x轴上方的部分， x轴下方的部分和与x轴的交点.

另一个是这三个部分对应的y值的正负和x值的取值范围.

通过观察我们会发现:

x轴上方部分. 对应的y值都是正的， 即y>0， 而对应的x的值则有两部分： 一部分在-2的左边， 一部分在3的右边. 即： x<-2或者x>3.

而在y轴下方部分， y<0， -2<x<3.

函数图象与x轴的交点， y=0， x=-2或x=3.

通过以上分析， 我们得出以下结论：

当y=x2-x-6>0时， x<-2或者x>3.

当y=x2-x-6<0时，-2<x<3.

当y=x2-x-6=0时， x=-2或x=3.

同时我们还发现

与y的范围对应的x的取值范围都与-2和3有关， 这两个点起到区分作用.

而-2和3就是方程x2-x-6=0的根. 而对应的， 两个不等式：

x2-x-6>0中的x满足：x<-2或x>3.

x2-x-6<0中的x满足：-2<x<3.

上面这两个不等式就称为一元二次不等式， 它们对应的x的取值范围， 就是它们的解集.

例 解不等式： x2-2x-15>0.

解：从上面的讨论我们可以知道， 要先解方程 x2-2x-15=0， 得

x=-3或x=5.

画出函数y=x2-2x-15的草图（以后熟悉了可以不画）：

可以看出当x<-2或x>5时，y=x2-2x-15>0.

∴x2-2x-15>0的解集为

x<-2或x>5.

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