高考数学中的“米勒问题”

文：齐龙新（责编：许兴华数学）

米勒(Johannes Miiller 1436-1476),德国数学家,对三角学做出了巨大贡献,是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家.米勒1533年发表的名著《三角全书》是使三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作.该书共分五册,前两册讲平面三角,后三册讲球面三角.此外,他还讨论到一个新颖的极值问题——张角最大问题。

米勒在1471年向诺德尔教授提出如下的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？

最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中的第一个，特别引人注目，因为米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：

（龙新数学）

【文化背景】

本题是从米勒定理改造而来。也是求角的最大值。生活背景“从山坡上观察电视塔”是生活中非常常见的问题，让学生感到熟悉亲切，能激发学生的数学应用意识。

【知识要素】

与解析几何坐标思想结合起来，考察了直线方程、到角公式、均值不等式以及反三角知识；同时考查了利用函数求解最值的思想。

【解法探究】

法一：在坐标系中，直线CD方程易于求出，这就给用一个变量表示点P提供了条件，那么直线AP，BP的斜率就可以表示出来，那么利用到角公式就可以用一个变量（P的横坐标）表示出tan∠APB,就可以把该角求出来。法一是应用函数思想来解决最值问题。

法二：是利用米勒定理，首先判断出取得最值的最佳时机，然后利用平面几何知识分析完成。

两法比较而言，法二简洁明了，凸显了解法的简洁之美。

【来源】公众号：龙新数学。（配图为许兴华数学图片）