习题1
１．你认为数学教育学研究的对象是什么？它与中学数学教育学有何区别？
答：中学数学教育学研究的对象是中学数学教学．具体可以分为：教学目的（为什么教）、教学对象（教谁）、教学内容（教什么）、学法（如何学）、教法（如何教）、学习效果（学得如何）．
而中学数学教育学是研究中学教育系统中的数学教育现象、揭示数学教育规律的一门科学．
２．中学数学教育学有何特点？
答：首先，数学教育学是一门边缘性学科．它处于数学、教育学、逻辑学和心理学等学科的“交界”处．在数学教学过程和科学研究中，它针对自身研究的对象和需要解决的问题，综合运用相邻学科的有关原理和方法，总结出数学教学，数学学习的具体规律，从而归纳创造出数学教育学的理论体系．那种认为数学教育学仅是教育学添加上一些数学实例的观点是片面的．
其次，数学教育学是一门实践性很强的理论学科．数学教育学的理论知识，是由中学数学教学实践的需要而产生发展得来的．这种理论的意义在于指导教学实践，运用数学教学的基本原理总结出在教学实践中具体可行的教学方式、方法和手段，并受教学实践的检验．
再次，数学教育学是一门发展中的理论学科．由于社会的不断发展，社会对基础教育不断提出新的要求，数学教学的目的、内容及教学方法也需不断改进．认为“数学教育学不能成为一门科学”的观点是不正确的．同样，对数学教育学持教条主义观点也是不正确的．
３．学习中学数学教育学有何意义？
答：（1）科学的数学教学过程是数学教育学的基本原理的具体表现．任何工作要取得好的效果都要顺乎其有关规律，讲究工作方法和艺术．而且工作过程越复杂，就越要有反映客观规律的理论指导和行之有效的工作方法．数学教学过程是在一定的社会、学校环境内，在一定的教育方针和政策指导下，在一定的教育工作系统中进行的．数学教学工作质量的好坏又直接受到教材、学生、教师、教法、学法等因素的影响，可见数学教学工作过程是一种多层次、多因素的比较复杂的工作过程．因而特别需要数学教育学的基本原理作指导，并讲究工作方法和艺术才能保证教学质量．
（2）数学教育学对新教师具有特殊的意义．对未来的数学教师或者新教师来说，学习和研究数学教育学更有它特殊的重要的意义．
首先，我国的现代化建设对中学教育和数学教育提出了新的任务．为了完成新的任务，中学数学教育思想、教育理论和教材教法都在不断地变化．对此，即使是有经验的数学教师也必须不断学习和研究，才能适应变化的新形势，更何况是新从事数学教育的教师呢？对新数学教师来说，为了提高教育质量，必须学习和研究数学教育学的基本原理，以求对中学数学教材有正确的、深刻的理解，更有效地结合学生情况使用课本．其次，数学教学工作是多层次、多因素的工作．在教学过程中不仅要考虑教师本身的教学活动和思维活动，还要考虑到学生的学习情况和教学环境、教学条件等因素．总之，一个新教师要想胜任如此复杂的、高度艺术的数学教学工作，成为一个合格的数学教师，不仅要努力学习数学专业知识，提高数学能力，还必须学习和研究数学教育学，提高教学能力和理论水平．
（3）数学教育学的现实意义
数学教育学是一门发展中的理论学科．在当前改革的大潮中，数学教育学在理论和实践方面均面临着许多需要研究解决的重大课题．目前，我国中学数学教学与四化建设的需要很不相称，教学质量和水平很不理想，数学教学存在很多问题．诸如数学能力培养问题，中学数学教学内容和体系的改革等等．要解决这些问题，关键在于教师必须具备数学教育学的基本理论知识及先进有效的教学经验，自觉地按照数学教学规律办事．所以，在这方面数学教育学又有它的现实意义．
４．简述我国古代数学教育发展的概况．
答：据史书记载和考古资料知，至少在距今五千年左右，我们的祖先即有了记数思想和几何观念．从那时起，有关数学的知识可以说就代代相传并逐步发展．不过那时的数学教育还没有从生产和生活中分离出来．
周代，数学教育已从生产和生活中分离出来了，数学已成为当时初型学校的必读学科之一．
隋朝统一中国后，在全国颁布了科举考试制度．这是我国科举制度的开始．在数学教育方面，首次在国子监（相当于国立大学）内，设“算学科”（相当于数学专业）．
到唐太宗时，科举考试已固定下来．在我国数学教育史上，首次由最高统治者将著名的《算经十书》颁行为数学教科书．在国子监内的算学科，在学生入学条件、招生办法、数学科目的确定，教科书体系的形成，分班教学组织形式，数学专业的学制、考试的办法和毕业分配等方面，均制定了一套比较完善的数学教育制度．
北宋时，我国古代数学教育有了新的发展，首次印刷了数学教科书，这是我国也是世界数学教育史上；还颁布了“算学条例”，这是我国由政府颁布的第一部关于数学制度的重要文献．这对我国后世数学和数学教育的发展起了一定的推动作用．在北宋时，国子监算学科的教学和管理较之唐朝也有了新的发展．
宋元时，民间数学教育发达，在扬州、杭州、河北、山西等地区，形成了几个数学教育中心．
在元朝时期，我国在已有筹算的基础上，改进了计算工具而发明了珠算，这对数学教育的普及起到了一定的作用．
总之，这一阶段可以说是中国古代数学教育的鼎盛阶段．
自明朝到清朝初年，由于封建统治阶级的腐败堕落，严重阻碍了数学和数学教育的发展．
明末清初时，伴随着西方传教士的来华，西方数学开始传入中国．这时以梅文鼎为首的安徽数学学派在江淮大地上掀起了声势浩大的中国数学和天文学的复兴运动，对中国的数学教育产生了一定的积极影响．但是从清雍正元年（1723年）以后，实行闭关锁国的政策，除在钦天监供职的西方传教士外，其余外国人一律驱逐到澳门，不许擅入内陆，这又阻碍了我国数学及其教育的发展．
在这个阶段中，由于中国长期处于封建社会之中等各种因素的影响，中国的数学教育的发展是缓慢的，有时甚至是停滞或是倒退的，与西方数学及其教育的发展速度和水平相比，我们是落后的．
５．简述我国近代数学教育发展的概况．
答：这一时期，主要是指我国半封建半殖民地社会的数学教育时期．
在此阶段中，我国民间还有一种独创的数学教育形式，就是“算学课艺”。这说明我国近代民间数学教育较之古代民间数学教育已有了新的发展．
值得一提的是清末数学教育家华蘅芳（1833年－1902年），他的数学教育思想，在今天仍有一定的现实意义．
在此阶段中，我国早期数学杂志也随之陆续出现．这些早期数学杂志的出现，促进了我国近代数学教育的普及和发展．
在初等数学教育方面，中学数学教材除翻译的或直接采用欧美的教本外，自编教材有了起色．当时的教育部为了“整齐毕业程度”，“增进教学效率”，1933年上半年决定了中小学进行毕业会考．还于1939年全国大体实行统一高考．另外，1935年成立了中国数学会，第二年就出版了我国自编的数学教学法书籍．
在高等数学教育方面，最早是北京大学在1912年成立了数学系，接着，北京师大、南开大学、南京大学、清华大学也先后创办了数学系．为我国培养了一批著名数学家．大约从本世纪二十年代起，我国已能培养出较高水平的数学人才．
在此阶段中，我国出现了不少数学教育家，如姜立夫、程廷熙、傅仲孙等．
６．试述我国50年代以来数学教育发展的概况．你认为当前开展数学教学改革应注意哪些问题？
答：新中国成立之后，我国的数学教育迅速发展，取得了巨大成就，但其间走过的道路是曲折的．
建国初期，1952年至1957年全面学习苏联，先后颁布了三个中学数学教学大纲，在大纲、教材和教学法上成就斐然，较之解放前取得了翻天覆地的变化，把半殖民地、半封建性质的数学教育改造为新式的社会主义性质的数学教育．但是在学习苏联的过程中，也存在脱离我国实际的现象．例如把苏联十年制学校的数学课程盲目照搬，安排在我国十二年制的学校中，不仅延长了学习时间，而且还取消了高中解析几何课的学习，造成了我国十二年制学校中、小学生数学水平的下降．
从1958年到1960年的数学教育，其特点是掀起了教育革命高潮，进行了各种数学教学改革试验．广大数学工作者和师生进一步探索和研究了我国的数学教育体系，提出数学教学内容现代化的主张是正确的，也符合当时在国际上兴起的数学教育现代化运动的潮流．但由于对教材不适当地大砍大改，尤其是几何，削弱了知识的科学性和系统性，使数学教学质量受到了一定影响．
从1961年至1965年的数学教育，其特点是贯彻了党的“调整、巩固、充实、提高”的方针，总结了全面学习苏联和群众性数学教育革命的经验教训，使数学教学质量稳步提高．这阶段中，由于加强了学校教育的领导，学校教学秩序趋于正规，大纲、教材编写得比较科学，有利于加强数学教学研究和教学经验的积累．因此，大、中、小学数学教学质量稳步提高，逐步缩短了和世界先进国家数学教育的差距．
1966年到1976年，中国处于“文化大革命”的动乱中，数学教育遭到了空前的浩动，使数学教育质量大大下降，和世界先进国家数学教育的差距增大了．
从1977年到现在，我国为适应四化建设新时期的需要，拨乱反正，复兴改革，开创了社会主义数学教育现代化的历史新阶段．其间，多次对数学教学大纲进行修改，并在世纪之交又掀起了新一轮的基础教育课程改革．沿用半个世纪的数学教学大纲将悄然隐退，取而代之的是国家数学课程标准．数学课程标准是数学教学大纲的继承与发展．数学课程标准无论从内容、要求还是结构、体例上都蕴含着素质教育的理念，体现着鲜明的时代气息．
当前在世界范围内展开的数学教育改革应该是正在寻求东西方数学教育的平衡，西方国家学生的创造性比较强，而东方国家学生的基础比较扎实．我国在加强与国际数学界的交流，借鉴他国的数学教育经验时应注意不要丢失自身的特色．另外，在数学教育改革过程中也出现了诸如评价体系改革滞后等不少问题，都有待逐步解决．
７．为什么会出现“新数学”运动？运动存在的问题是什么？
答：“新数学”运动的产生是历史的必然．它是20世纪克莱因—贝利运动的继续和发展．二战后，一些工业先进国家先后转入了经济恢复时期，各国普遍实行9—12年的义务教育制度．由于生产科学技术数学科学自身发展的需要，使得中学数学教育再也不能保持传统的教学内容和方法．1957年，苏联的人造卫星早于美国上天，美国朝野震惊，由此引发了风靡全球的数学教育改革运动．这场改革运动的主要特征是在中学引进了现代数学的概念，使整个数学课程结构化．存在的问题主要有：
（1）增加现代数学内容份量过重，内容十分抽象、庞杂，致使教学时间不足，学生负担过重．
（2）强调理解，忽视基本技能训练；强调抽象理论，忽视实际应用．
（3）只面向优等生，忽视了不同程度学生的需要，特别是学习困难的学生．
（4）对教师的培训工作没有跟上，使得不少教师不能胜任新课程的教学．
不过，不管后人如何褒贬，这次改革必将以其在社会上的深远影响永远载入数学史册．
８．数学教育现代化运动取得的成果是什么？对我们的数学教育改革有何启示？
答：数学教育现代化运动取得的成果有：（1）出现了一些对数学和数学教育有远见、有洞察力、有影响的数学教育工作者，在一些国家里建立了合作机构来研究课程的发展．
（2）大多数国家的中学数学课程形成了一个统一的整体，强调结构和原理．
（3）在国际上，数学教育工作者活动的联络网已形成．四年一届的国际数学教育会议使数学家、数学教育家、数学工作者之间的活动日趋活跃．
（4）数学教育的大改革使得教师更加集中注意教育的成果．使教师经常研究教什么、如何教、如何学三者之间的关系和一些问题．
当然，数学教育现代化运动中提出的许多有价值的实质性的问题，诸如“结构思想”、“早期教育思想”、“数学教学要重视培养发现能力的思想”、“要激发学生学习数学的兴趣，教材要有趣味性的思想”，又如把中学数学组成“统一数学”的观点、“欧几里得滚蛋”、“回到基础”的观点等都值得我们作深入的探索和研究．
习题２
１．确定中学数学教学目的的依据是什么？
答：中学数学教学目的是依据党和国家对现阶段培养人才提出的总目标，中学教育的性质、任务、数学自身的特点及其在培养人才中所起的作用，以及中学生的学习基础，年龄特征来确定的．
２．现行中学数学教学大纲规定的教学目的是什么？包括哪几个方面？如何理解？
答：现行九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）中提出的数学教学目的是：“使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养运算能力和空间观念，使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题，并逐步形成数学创新意识．培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点．”现行全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）中提出的中学数学教学目的是：“使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点．”总的说来，中学数学教学目的主要有三方面的内容：一是掌握基础知识和基本技能；二是培养数学能力；三是形成正确的思想观点和良好的个性品质．
（１）关于数学基础知识和基本技能
中学数学基础知识和基本技能，一般是指学习后继课程与就业所需的那些数学知识和技能．在教学工作中，要具体、恰当地确定基础知识和基本技能的广度和深度，才能使学生切实学好基础知识和基本技能．
对于中学数学的基础知识和基本技能的范围，一般是通过制订中学数学教学大纲、数学课程标准或国家统一的考试大纲的形式说明的．至于哪些数学概念、公式、定理、法则、方法、思想，哪些类型的数学问题以及其他知识属于基础知识和基本技能，就要看中学数学教材列入的具体内容．因此，在教学实践中，应以中学数学教学大纲、数学课程标准为指导，以中学数学教材为依据来具体确定基础知识和基本技能的深、广度．
数学知识的基本表现形式为概念、性质、法则、公式、定理等，采用演绎的方式叙述，具有逻辑的严密性．数学思想（如函数的思想，数形结合的思想，集合的思想，结构的思想等）和数学方法（如消元法、降次法、换元法、配方法、待定系数法、综合除法等）以及逻辑方法（如分析法、综合法、同一法、反证法等）也应当属于数学基础知识．
基本技能是指：按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算器）、简单的推理、画图以及绘制图表等技能．
（2）关于数学能力
数学能力是在学习数学知识和技能的活动中形成和发展起来的，并且主要是在学习数学活动和运用数学知识活动中表现出来的一种特殊能力．中学数学教学大纲中提出了培养运算能力、思维能力和空间想象能力，以及运用数学知识来分析和解决问题的能力等几种数学能力．
数学教学中要培养学生的这些能力，完全是由数学所研究的对象和它的特点所决定的．因此，这些数学能力完全可以通过数学知识的学习及其数学思想、方法的训练而形成和发展，反过来数学能力又为学习数学知识、提高效率创造十分有利的条件．可见，数学知识的学习与数学能力的培养是相互促进的，辩证统一的，教学时应有机地结合．
(3)关于思想品德的教育
思想品德的教育是教育工作的灵魂．在各科教学中进行思想政治和道德品质教育是教育事业应当遵循的规律．《心理学》中的“同时学习原理”和《教育学》中的“教学的教育性原则”都反映了这条规律．因此，在进行中学数学基础知识教学和培养能力的同时，必须向学生进行思想政治和道德品质教育，使他们不仅在知识、能力上并且在思想品质上都得到提高和发展．当然，数学教学中的思想品德教育，应该根据数学的特点，与教学内容有机结合进行．中学数学教学中加强思想品德的教育，一般有如下几个方面：
①激励学生为四化建设而努力学习的热情
在中学数学教学中，要不断地向学生阐明数学的重要性，启发学习数学的自觉性，调动学习数学的积极性。
②培养学生的辩证唯物主义观点
青少年是人生观和世界观形成的重要时期，我们要通过数学教学，逐步培养学生的辩证唯物主义观点，为形成科学的世界观和人生观打好基础．
③培养爱国主义思想
在当前，对青少年进行爱国主义和民族自尊心的教育，具有重要的现实意义．
④进行思想品质的教育
培养学生的创新意识和良好的个性品质是进行思想品德教育的一个重要方面．
在数学教学中，要培养学生对自然界和社会中的数学现象的好奇心，使学生不断追求新知，独立思考，会以数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究，具有鲜明的创新意识．
良好的个性品质主要是指：正确的学习目的，学习数学的兴趣、信心和毅力，实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，欣赏数学的美学价值．毫无疑义，学生良好的个性品质的形成会促进数学的学习．
总之，在数学教学过程中要循循善诱，不仅教给学生数学知识，也给予思想上的点拨和启迪，逐步培养学生的科学态度和良好的个性品质，树立良好的思想作风和高尚的道德品质．
３．教学内容的安排体系有哪几种？各有什么优缺点？
答：目前，在世界各国的中学数学教材的编排体系中，有以下几种不同类型：
（1）以逻辑系统为主来安排内容
这种类型是用公理、定义、定理、推论等形式把教学内容编排成比较严谨的演绎体系（如欧几里德的几何体系）．这种体系有利于学生掌握系统的数学知识，有利于培养学生的逻辑思维能力．但是，由于比较单纯地采用演绎推理，论述问题的方法和结果都是唯一的，这样的思维过程对于学生的思维能力是有局限的．
（2）以学生掌握实际知识为主来安排内容
这种类型是从学生的生活经验来引入新知识的．学习新内容，侧重新旧知识的联系和生活实际知识的学习，甚至以实际的数学问题来组成教学内容．这种体系有利于加强学生与生活的联系，有利于学生掌握实际数学知识的应用，但不利于学习系统的知识，不利于发展思维能力．
（3）以数学知识的结构为主来安排内容
这种类型侧重教学内容的内在联系，主要考虑数学知识的安排程序问题，有的采用直线式排列程序，有的采用螺旋式排列程序．
直线式排列程序是各个教学内容不重复，每一阶段所学习的都是新知识，这种方式“毕其功于一役”，对于思维强的学生尚可适用，可以提高学生的学习兴趣，加快学习．但是容易造成理解不深、知识不牢、技巧不熟的现象．螺旋式排列程序是把同一课程的教学内容随着学生年龄的增长、年级的增高、理解深度的加深，逐步扩大教材的广度、增加教材的深度，按螺旋式不断上升而编排．这种编排程序比较符合学生认识能力的发展规律，易于理解、掌握并巩固所学知识．但是不能重复过多，否则会浪费时间降低学生学习数学的兴趣．
总的说来，上述各种安排教学内容的体系，各有利弊，因此安排教学内容时要处理好学生的思维特点、认识规律、数学知识结构的逻辑系统之间的关系，并吸取上述各种安排体系的长处，避免不利因素．
４．现行中学数学教学大纲对教学内容的安排是怎样的？具体包括哪些内容？
答：我国现行的中学数学课程的设置，初中主要学习代数、平面几何和概率统计三科中的内容；高中主要学习代数、立体几何、平面解析几何、微积分初步和概率与统计五科中的内容．数学建模、数学探究、数学文化贯穿于五科内容之中．具体的教学内容简述如下：
代数部分包括：数及其运算；式及其恒等变形；方程和不等式；集合与函数；排列、组合和概论统计的初步知识；数列、极限；行列式与线性方程组的有关知识．
平面几何部分，初中阶段学习平面几何，主要学习直线形，圆的概念和性质及其有关论证的基本方法．直线形部分包括有关几何图形的基本概念和性质，相交线与平行线、三角形、四边形、多边形的面积，勾股定理、相似形．圆的部分主要有点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系以及与圆有关的角，圆中的比例线段、正多边形、圆周长、弧长；圆、弓形、扇形的面积，基本轨迹等．还选取了同生产实际密切联系的简单的视图知识作为选修内容．
立体几何的主要内容有两部分：
（1）平面的基本性质和平面图形的画法，直线和直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，判定方法及其性质．
（2）多面体（棱柱、棱锥、棱台），旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球、球冠）的概念，性质、画法及其面积和体积．
关于多面角、正多面体则作为选修内容．
平面解析几何的主要内容有直线和圆的方程；椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程、性质、画法；利用坐标轴的平移和旋转化一般二次方程为标准方程；参数方程和极坐标方程等．另外，还有微积分初步知识．
最后，我们指出中学数学教学内容包括概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由此内容所反映出来的数学思想和方法．这些数学思想和方法与它们的内容一样，在数学、自然科学、社会科学的学习研究与应用中都有重大作用．
统计初步与简单视图等，在现代化生产中常应用，把它们列入必修或选修内容是理所当然的．
随着科学技术的发展和生产日益现代化，计算器作为计算工具，已引入初中数学教学之中；电子计算机的初步知识（包括操作与程序设计）列入中学数学教学内容也成为现实．事实上，目前我国高级中学已把信息技术列为教学科目，作为必修课开设，较为系统地讲授电子计算机的有关知识．
习题习题习题习题3
1．何谓课程？谈谈你对数学课程的理解？
答：从“课程”一词的出现到今天，在教育实践中由于着力点不同而形成了“课程”涵义的种种不同解释．概括起来大致有以下三类：（1），作为学科,认为课程是所有学科的总和（一门学科），或学生在教师指导下各种活动的总和（一类活动）；（2）作为目标或计划把课程看作是教学所要达到的目标，教学的预期结果或教学计划；（3）作为学习者的经验把课程看作是学生在教师指导下所获得的经验或体验，以及学习者自发获得的经验或体验．
随着教育的社会功能的多样化和课程研究的进展，“课程”这一概念它的外延已超越了学科和教学目标或计划，也不再仅指学习者获得的现实经验，它既包括学校教育中根据国家或地方教育行政部门颁布的教学计划和教学大纲有计划、有组织地实施的“显性课程”，也包括学生在学习环境（包括物质环境、社会环境和文化体系）中学习到的非计划性的“隐性课程”；既包括学校课程体系中实实在在的“实际课程”，也包括被学校和社会在课程变革过程中有意或无意排除于学校课程体系之外的“空无课程”；既包括学校里的校内课程，也包括校外广阔的富有教育意义的“校外课程”．
在此意义下，作为教学科目的数学，由于是课程的一个组成部分，我们应对数学课程作同样广义的理解．
2．数学课程设计的理论基础是什么？谈谈自己的见解．
答：数学课程设计的理论基础也就是数学课程设计所要遵循的总的原则或根本原则，它们包含以下三方面：（1）社会．社会的需要，是科学技术发展的强大动力，它制约着数学课程发展的速度和方向．在古代，生产力不发达，社会对数学的需要极为有限．，数学课程处于极其次要的位置．随着科学技术的发展和社会生产力水平的逐渐提高，数学渗入到日常生活的各个领域中，数学课程也随之发生了很大的变化．另一方面，数学课程的目标、内容、体系服从于办学宗旨、教学方针、培养目标，而这些又取决于社会的需要．（2）数学．数学科学和数学课程有着密切的联系，数学科学的发展对数学课程有着直接的影响．具体可以概括为两个方面：一方面，数学课程的内容大多取自数学科学的各个分支的片段．另一方面，随着数学的发展，产生和发展了数学思想和数学方法．（3）教育发展对数学课程有着直接的制约作用，主要表现在教育科学理论的制约．数学课程的每一次重大变革，数学课程处理的每一种方法，都是以一定的教育科学理论为基础的，是伴随着新的课程理论的产生而建立、发展的．此外，由于数学课程的直接服务对象是学生，学生是通过数学课程获取数学知识、培养数学能力的，因此，学生的身心发展也是直接影响和制约数学课程的一个重要因素．
总之,任何时候的数学课程设计都不能忽视上述三方面中任何一个方面发展的要求，我国新近推行的新一轮数学课程改革就是为了寻求这三方面发展要求的最好统一．
3．数学课程设计的原则有哪些?你是如何理解的?
答: 数学教育家和数学课程专家在对数学课程设计研究及其实践的过程中，根据他们对于数学课程设计过程的规律性的认识，总结归纳出一些指导数学课程设计的基本要求，称为数学课程设计的原则，它们有：(1)整体化原则．所谓“整体化原则”是指在设计数学课程时一方面必须考虑数学作为一门学校课程，应与其他的学校课程一起组成一个整体的学校课程，发挥学校课程育人的整体功能；另一方面，又必须考虑数学课程作为一门独立的课程，应发挥它在学校教育中一门课程的整体功能．(2)统一化与区别化相结合原则．作为一国家或一个社会、一个学校，为实现其教育目的和育人目标，对学校数学课程必须有一个统一的要求，必须规定学生学习应达到的基本要求或基本标准．但是，在一个国家，特别是发展中国家，各个地区的生产、经济、文化的发展是相当不平衡的，对数学的客观需求也是有区别的，因此，在设计数学课程时，还要从不同地区的客观实际出发，适当照顾不同地区的差别，使设计的数学课程能适应不同地区的生产和经济发展水平，这就是说，统一化应与区别化相结合．(3) 逻辑顺序与认知程序统一原则．数学是有严密逻辑性的学科，逻辑系统是数学科学本身的系统；学生是课程实施过程中的主体，学生学习符合一定的认知程序，即心理系统．设计数学课程时自然既不能违背逻辑顺序，也不应违背认知程序，无论是课程目标的确定、课程内容的选择，还是课程实施活动方式与评价的安排，都要贯彻逻辑顺序与认知程序统一的原则．(4)应用性原则．学校教育目标的一个重要方面是要求学生将所学得的知识 “理论联系实际”、“学以致用”．因而，学校为实现育人目标的这一要求，设计的学校诸课程的目标也应包括这一重要方面，作为学校重要必修课程的数学当然也不能例外，其课程目标也应该包括数学知识的实用性．设计数学课程时，必须强调数学知识的实用性，必须重视数学知识在实际问题中的应用以及对其他学科发展的影响．
4．何谓数学课程评价?数学课程评价有哪些方法?
答: 程评价的定义是一个有争议的问题，这主要与评价发展的不同时期人们对于评价的理解不同有关．但大多数专家还是比较倾向于把课程评价看成是一个客观的判断过程，是用科学的工具来确认和解释教与学的内容及其教学效果，衡量它们的有效程度，并为课程的改进作出有根据的决策的过程．在此意义上的“数学课程评价”的定义就是以一定的方法途径对数学课程计划、数学活动以及结果等有关问题的价值或特点作出判断的过程．
数学课程评价的方法，大致可以分为两类：量化评价法和质性评价法．
5．以某一先进国家为例,评价其中小学数学课程设计．
答: 我们以美国为例谈谈美国的中小学数学课程设计
美国是由51个州所组成的一个联邦国家，各州的教育计划和程序，完全由各州自行管理，大多数州常由州政府将其管理的权利，托付于地方政府，因此，数学课程标准的制订和教材的选用具有相对的独立性．而它的数学课程也一直处于变革之中，不同的时候提出了不同的数学课程观点并构建了许多数学课程方案．
美国20世纪30、40年代是美国数学教育上的“进步时期”．其代表人物是约翰·杜威（John-Dewey，1859—1952），他认为学校里的学习应该是“从做中学”，“在经验中学”．他主张根据现实目的来设计教学科目，反对把学习内容分成彼此独立的学科，他认为这样做既有悖于儿童天性，又违反了现实，因而，数学课程不是被强调作为一个独立的分科．但是二战后，行为主义方法得以在数学课程中广泛应用，这被用来克服自由主义—实用主义的教育，导致了学生应用数学法则的能力以及计算技能的欠缺．在行为主义方案盛行的同时，一种强调数学内容更新的“新数学课程方案”也在兴起．1951年，伊利诺斯大学学校数学委员会（UICSM）建立了一个方案．该方案旨在改进即将进入大学的学生的数学教学，以适合大学的要求，帮助缩短中学数学与大学数学的距离，确保造就新一代质量较高的数学新人．方案重新安排数学课程内容，重新组织体系，提法更为精确，服从于公理发展原则．1958年，耶鲁大学学校数学研究小组（SMSG）提出“新数学”课程方案，并成为美国最大和最著名的数学课程研究小组，对实现“新数学”革命起了很大的作用．1965年哥伦比亚大学学校数学课程改革研究小组（SSMCIS）编制了专门为20%学习能力居上的学生设计的数学课程．其特点是把中学数学各门课程完全统一起来．讲课过程中通过基本概念（集合、函数、运算等）和结构（群、环、域、向量空间等）把数学各分支统一起来．大纲中还包括有统计学、概率、计算机科学和线性代数等科目．
70年代“新数学”运动走到了极端，忽略了学生的接受能力和认知水平，也超越了社会对一般公民的数学需求．美国数学教育界又掀起了“回到基础”的运动．
80年代开始，美国朝野各种团体先后发表了多份报告，提出了“大众数学”的教育思想，强调在学校数学教学中，要教会学生都要学好数学，不仅要学生掌握未来社会所需要的基本数学知识，而且要促使学生有效地学习更多的数学．1989年3月NCTM（全美数学教师协会）建立了《中小学数学课程标准与评估标准》以后，情况发生了惊人的变化．有半数以上的州都按照“标准”的精神修订它的课程计划和测试方法；出版商都以他们的书符合“标准”的要求进行宣传；各个测试中心都按照“标准”修订它们的试卷；成千上万的数学教师依照“标准”的姊妹篇“Professional Teaching Standards”（数学教师职业标准）的精神改变自己的教学方法；国家科学基金会资助了13项跨年度的课程研究计划以促进“标准”的实施．由此可见，该文件在美国数学教育历史上是一个非常重要的转折点．
在众多的数学课程方案中，尤为引起关注的是芝加哥大学的学校数学方案（The University of Chicago School Mathematics Project），这个方案开始于1983年，历经了8年，反复进行了试验，几易其稿，1991年教材的第一版终于最后定稿，正式出版发行．UCSMP数学课程的建立，目的在于改变美国数学教育内容方法落后、严重脱离社会现实的现状，反映数学课程的现代要求和思想．它的最基本的特征是帮助学生增强学习数学的信心，提供丰富的数学源泉，特别强调提高一般程度的学生的数学知识与能力水平．他们对中学数学教育的现实作了大量的调查研究，总结了历次数学课程改革的经验教训，提出了下列信念，作为UCSMP这一新型数学课程的思想基础．
数学对一般公民都有价值；
几乎所有的人都能学会大量的数学；
很大一部分的学生对其日后各种活动所必需的数学准备不足；
我们可以向其他国家学习；
问题的主要根源在于课程；
现行课程的主要缺陷在于浪费时间，它低估了学生的程度，不必要地重复已学过的内容；
计算器、计算机的运用使某些教学内容显得过时，又使另一些内容显得更为重要，同时它也改变了传统的教学方法，为教学提供了新的条件与手段；
学校数学不仅限于算术、代数、几何和微积分，在各个阶段都应扩充内容；
课堂不应脱离现实世界；
教师应提高对数学教学的责任心；
学校的任何重大变革，都需要教师与行政领导的通力合作．
与此同时，他们还以美国数学科学教育委员会（MESB，1990）提出的六条作为UCSMP这一新型数学课程的原则：
数学教育必须强调数学能力的培养；
计算器、计算机的使用应贯穿于整个数学课程之中；
有关的应用应成为课程的有机组成部分；
课程的每一部分都应根据其自身的特点来证明其价值；
课程的选择应与学校数学的现行《标准》相一致；
数学教学应鼓励各种程度的学生都积极参与．
与之相对应的UCSMP教材则独辟蹊径，开创了以应用和模型化为主线但也结合纯数学体系的新型课程的先例．在现代课程开发的实践领域作了大胆的尝试与突破．UCSMP教材在教学内容、教学目的、教学方法指导以及教学技术渗透运用等诸多方面都具有特色，尤其是它的“面向现实、面向未来、面向现代化”三大特点．
从1996年起，NCTM的标准委员会就开始收集不同的看法，举行讨论会收集反馈意见，在网上展开讨论，在各地区的主要专业杂志上也不断地刊登有关讨论，并在此基础上于2000年春季出台了新标准，该标准的正式名称是《学校数学的原理与标准》．美国2000年国家数学标准有以下几个特点：
以数学教育的基本原理作为基础，这些原理包括：平等机会、教学和教学大纲以及科技在数学教育中的作用等，这些原理成为新一轮数学课程改革的基础；
设置了幼儿园到二年级、三年级到五年级、六年级到八年级、九年级到十二年级四个学段，体现了从幼儿园到高中一贯的基本思想；
强化了对教师的指导，提出了数学教育观念问题，帮助教师、家长、管理人员如何用新的数学教育观念进行工作；
强调科学技术在数学课程中的重要地位，强调科学技术与数学教学过程相结合，并使用大量的形象化电子版中的数学例子，使得教师懂得怎样在教学实践中去运用信息科技．
美国2000年国家数学标准是美国数学教育十年改革的实践经验的总结，也是美国近期数学课程改革的基本路向．从NCTM标准到2000年标准，表明了美国数学教育界在以下多个方面进一步达到了共识，这些共识成为新一轮数学课程改革的基础．第一，教师是第一线主力军，数学教学成功与否取决于教师的专业能力及对学生的态度．新的标准要让真正关心它的教师运用方便．要让教师知道怎样从他们目前的课堂教学达到标准的目标．帮助教师在标准的基础上进行专业进修是提高教学能力的重要一环；第二，数学教育应当促进所有的学生学习数学．强调每个学生都有平等机会去学数学，在美国这个多民族的社会是非常重要的．特别是在发展课堂应用科学技术时，要保证所有学生都有机会在数学课上用到计算机等科技；第三，在新的标准中应明确、清楚地阐述发展基本技能的观点．这些基础的意义在于为学生进一步学习数学技能、概念、过程、思维方法、解决实际问题做准备；第四，只有在课程、教学与评价相结合的教育系统中，学生学习才能取得成功，这三者是紧密相连的；第五，改进教和学是长时间的工作．数学课程标准的制定应建基于最好的实践经验及研究成果，应该继续让社会大众参与，社会的支持对于标准的修改是非常重要的．
6．简述我国数学课程的历史变迁．
答：参看数学教育的发展史．
７．世界范围内数学课程改革的发展趋势是怎样的？
习题4习题从多数国家尤其是发达国家的数学课程改革状况来看，国际数学课程改革将呈现如下发展趋势．
1、越来越强调数学的应用性与实践性
目前，弗赖登塔尔所提出的“现实数学”的观点已经得到国际数学教育界的普遍认同，也为广大的数学教师所接受．在此观点下的学校数学就应具有现实的性质，既来源于现实生活，又要运用到现实生活中去．另外，学生应该用现实的方法来学习数学，即通过熟悉的现实生活自己逐步发现和得出数学结论．
重视数学知识的应用性和实践性已经成为世界上许多国家数学课程改革的一个基本趋势．
2、越来越强调学生主体的活动性
重视学生的主体活动是国际数学课程改革的热点．如英国的数学教育具有活动性的特点，以课题覆盖课程是英国数学教学的一种重要策略．教师以教学目标的某一项及学习大纲的某个水平为出发点（英国国家数学课程是由学习大纲和教学目标两部分组成），组织学生进行学习活动．教师还可以提出多个教学目标，涉及多个学习水平，对学生的学习情况进行记录，以评价学生解决问题的策略和水平．强调学生的主体活动更是许多东亚国家和地区数学教育改革的切入口，数学经验活动是不少国家和地区数学课程的基本内容．如我国的台湾地区数学教育改革的一个基本理念是强调以学生为主体来加以安排，认为只有在学生主动参与教学活动下，学习才会发生．日本新一轮的数学课程改革也改变了以往忽视学生主体活动的教学模式，提倡数学教育的个性化、活动化和实践性．
3、计算机与数学教育的联系越来越紧密
日本数学教育中的课题综合学习体现了数学教育综合化的趋势，它通过学生综合数学知识或者数学知识与其他知识的综合来解决一个研究课题．
荷兰的数学课程标准提出了跨学科目标的概念，反映了课程综合的基本的理念．荷兰新的课程标准目标分为学科目标和跨学科目标（Cross—Curricular Attainment Targets），学科目标包括了一般性目标和具体课程目标．跨学科目标在课程标准中具有较高地位，反映出荷兰数学教育的一个特色．跨学科目标是任何一门课程都应当指向的目标．跨学科目标与一般性目标紧密关联，它是整个课程目标的核心．
总之，国际数学课程改革的上述趋势给我们的启示是多方面的．我们可以看到，在当前的国际数学课程的改革中充分体现了民族和文化的特点．如英美等自由化程度比较高的国家，数学课程改革逐步走向一定程度的统一，都出现了国家的数学课程，而东方文化的国家中，数学课程改革则走向多元化的开发，日本数学教育个性化、活动化和实践性，注重学生的个人感受；我国正在提倡的差别化数学教育，都体现了这方面的努力．
答：从多数国家尤其是发达国家的数学课程改革状况来看，国际数学课程改革将呈现如下发展趋势．
1、越来越强调数学的应用性与实践性
目前，弗赖登塔尔所提出的“现实数学”的观点已经得到国际数学教育界的普遍认同，也为广大的数学教师所接受．在此观点下的学校数学就应具有现实的性质，既来源于现实生活，又要运用到现实生活中去．另外，学生应该用现实的方法来学习数学，即通过熟悉的现实生活自己逐步发现和得出数学结论．
重视数学知识的应用性和实践性已经成为世界上许多国家数学课程改革的一个基本趋势．
2、越来越强调学生主体的活动性
重视学生的主体活动是国际数学课程改革的热点．如英国的数学教育具有活动性的特点，以课题覆盖课程是英国数学教学的一种重要策略．教师以教学目标的某一项及学习大纲的某个水平为出发点（英国国家数学课程是由学习大纲和教学目标两部分组成），组织学生进行学习活动．教师还可以提出多个教学目标，涉及多个学习水平，对学生的学习情况进行记录，以评价学生解决问题的策略和水平．强调学生的主体活动更是许多东亚国家和地区数学教育改革的切入口，数学经验活动是不少国家和地区数学课程的基本内容．如我国的台湾地区数学教育改革的一个基本理念是强调以学生为主体来加以安排，认为只有在学生主动参与教学活动下，学习才会发生．日本新一轮的数学课程改革也改变了以往忽视学生主体活动的教学模式，提倡数学教育的个性化、活动化和实践性．
3、计算机与数学教育的联系越来越紧密
日本数学教育中的课题综合学习体现了数学教育综合化的趋势，它通过学生综合数学知识或者数学知识与其他知识的综合来解决一个研究课题．
荷兰的数学课程标准提出了跨学科目标的概念，反映了课程综合的基本的理念．荷兰新的课程标准目标分为学科目标和跨学科目标（Cross—Curricular Attainment Targets），学科目标包括了一般性目标和具体课程目标．跨学科目标在课程标准中具有较高地位，反映出荷兰数学教育的一个特色．跨学科目标是任何一门课程都应当指向的目标．跨学科目标与一般性目标紧密关联，它是整个课程目标的核心．
总之，国际数学课程改革的上述趋势给我们的启示是多方面的．我们可以看到，在当前的国际数学课程的改革中充分体现了民族和文化的特点．如英美等自由化程度比较高的国家，数学课程改革逐步走向一定程度的统一，都出现了国家的数学课程，而东方文化的国家中，数学课程改革则走向多元化的开发，日本数学教育个性化、活动化和实践性，注重学生的个人感受；我国正在提倡的差别化数学教育，都体现了这方面的努力．
世界数学课程改革的这些趋势也告诉我们，数学课程改革在吸收国际经验的同时，必须从自己的实际情况出发．例如，我国儿童识字时写的方块字中存在着许多几何图形，小学的乘法口诀、古代的数学蕴涵了丰富的思想和方法，都体现了我国数学的民族特色，我们应该在吸收国际数学课程改革的有益经验的同时，充分考虑我国的民族文化特点，这对于构建具有时代特点和中国特色的数学课程体系是非常重要的．
1．何谓数学教学媒体？谈谈自己的见解．
答：数学教学媒体是指在数学教学过程中揭示数学事实和现象时的一切技术、物质手段和形式．它既是贮存和传递教学信息的载体，又是教学过程中教师与学生间的媒介．它既包括数学教科书、教学仪器和教具，也包括现代化教学设备，如电视、磁带录音机、闭路电视和电子计算机等．数学教学媒体和手段已从中世纪以来采用的粉笔加黑板，以及文艺复兴时期以来大量采用的书籍和各种刊物，发展到各种教学媒体所提供的生动活泼、丰富多彩的视频信息和音频信息．
现代数学教学媒体主要是指电化教学媒体，包括电声媒体、光电投影媒体、电视媒体和计算机媒体等．它们具有教学示范功能、教学训练功能、创设教学情景功能和帮助自学功能等．将计算机技术应用于数学教学领域是实现数学教学手段现代化的重要手段之一．它主要是利用以电子计算机辅助教学（简称CAI）和电子计算机管理教学为中心的信息科学技术，藉以提高数学教学效率的一种现代化教学手段．
2．在数学教学中如何使用数学教学资料？
答：数学资料品种繁多，主要有数学教学大纲或数学课程标准、数学教科书、数学教学专著、数学教学辞典、数学教学期刊、数学会议资料等．它们正以极高的速度在剧增．
在纷繁复杂的数学教学资料中，要做到恰当地使用这些资料首先要科学地将资料进行归纳整理，提高资料的利用率．
其次，在使用时要有针对性．数学教学大纲或数学课程标准是数学教学的指导性文件，数学教师必须仔细阅读、钻研大纲或课程标准，弄清大纲或课程标准对中学数学教学的具体要求，在教学上参照施行；数学教科书是教师教学和学生学习的主要根据，其中对基本概念、基础知识、数学思想方法、技能技巧等一般都叙述得十分精练，数学教师应反复钻研教材，弄清教材的基本要求，明确教材的系统，掌握教材的重点、难点和关键；数学教学辞典是数学教学的工具书；其他资料诸如数学教学专著、数学教学期刊、数学会议资料等可以及时提供数学教学的新思想、新方法、新经验和新成果，这对于我们数学教师，特别是青年教师有很大的启示作用，我们直接可以从上述这些资料中吸取营养加以创新．
再次，在使用数学教学资料时要有选择性，不能借助教学资料随意将教学内容增多、拔高．
最后，“充分利用教学资料并不是过分依赖资料、全盘照搬资料”，那种照本宣科的教学是要不得的．教师应该在领会和理解教学大纲和课程标准精神的前提下，广泛查阅大量资料，作全面深入的分析之后选择那些典型的，有利于培养学生数学能力的内容．
3．在数学教学中，使用直观教具要注意哪些问题？
答：数学直观教具的运用是为数学教学服务的，是为学生学习服务的，在运用中应注意如下几点：
（1）启发性．通过直观教具的演示，注意启发学生的思维．
（2）科学性．即要与科学知识本身一致．如果演示的媒体并非有助于对科学知识的理解，甚至与教学内容相抵触，那么这种演示是不科学的、有害的．
（3）实践性．直观教具的演示应与实践保持一致．教师利用教具进行直观生动的演示的目的不仅仅是为了使学生从对直观教具的感性认识上升到对它们所揭示的抽象的数学结论的理性认识，从具体上升到抽象，更重要的是使学生认识到这些数学知识的重要性，那就是可以用于解决实际问题，从而培养他们用数学的思想．
总之，从具体到抽象，再到更加广泛的具体是认识论的一个重要方面，运用直观教具是贯彻抽象与具体相结合原则的一个重要手段．数学教学中一方面不能忽视直观教具的作用，另一方面在教学实践中也需注意不能为了直观而直观，要在学生接触了直观、具体的基础上引导他们形成抽象的结论．
4．幻灯、投影教学有何优点？举例说明它们在数学教学中的应用．
答：幻灯和投影教学是常用的教学手段．随着幻灯、投影教材的制作手段、应用材料、教材种类和投影设备的发展与完善，幻灯、投影手段会进一步方便课堂教学，促进教学水平的提高，将教学内容更加生动形象、直观地显示在学生面前．
幻灯和投影教学的优点有：
（1）图像清晰、形象逼真、色彩鲜艳，能客观反映事物的真实形态，有利于激发学生的学习兴趣；
（2）表现方法多种多样，既能演示静态图像，替代图表、挂图、板书，又能模拟一些动作过程，投影真实物体，使教学内容形象生动；
（3）设备简单，制作方便，制作周期短，成本低廉，易于普及；
（4）使用方便灵活，放映过程容易控制，显示停留时间随需要而定，教学随机性强，便于学生观察和教师讲解，教学内容可增可减可重复．
幻灯和投影教学的优点决定了它在数学教学中广泛应用的可能性．
举例略．
5．幻灯片、投影片设计和制作的原则有哪些？
答：由于我国电教部门根据数学教学内容设计的成套片源还不多．在教学过程中，自然少不了教师自己动手制作灯片．一般来说，在设计和制作时要遵循以下几个原则：
（1）整体性原则
首先，深入钻研数学教学大纲、课程标准和教材，根据教学内容的重点和难点或实际需要收集有关资料，整理分析，决定灯片的整体布局，设计画面，选择适当的表现方法，用静片还是动片或复合片也必须认真加以考虑．幻灯片的整体效果的好坏，取决于幻灯片制作的系统性，幻灯片文字的艺术效果处理，以及彩色幻灯片色彩的配置等等．幻灯片文件一般是以提纲的形式出现，最忌讳的做法是将所有授课内容全部写在几张幻灯片上．制作幻灯片时要将文字提炼处理，起到要点强化，重点突出的效果．对于要使用的较多数据可制成图表穿插于文字之中，使整套幻灯片既生动活泼、可视性强，又有论有据、科学严谨、说服力强．
（2）主题性原则
在设计幻灯片时，要做到整套幻灯片有中心，每张幻灯片有主题，主题明确，重点突出．通过合理的布局有效地表现教学内容，在每张幻灯片内都应注意构图的合理性，可使用黄金分割法构图，使幻灯画面尽量做到均衡与对称．从可视性方面考虑，还应当做到视点明确（视点就是每张幻灯片的主题所在）．利用多种对比方法来为主题服务．例如黑白灰对比，互补色对比（红和青、蓝和黄），色彩的深浅对比，文字的大小对比等等，以及各种对比方法的综合使用．
总之，尽量使幻灯片画面具有感染力和鲜明的主题．这里应注意的是，在彩色幻灯片中，用色尽量少一些．用色多则乱，用色繁则花，“用色不过三”就是一条常用的法则．虽然人们喜欢看色彩丰富鲜艳的东西，但如果用色太多和过繁极易造成喧宾夺主干扰画面主题，导致幻灯片的主题不突出和整体效果不佳．因此，切记用色不要滥．
（3）规范性原则
幻灯片的制作要规范，特别是在文字的处理上，力求使字数、字体、字色的搭配做到合理、美观，135幻灯片的规格是
需要指出的是，随着计算机技术的发展，计算机幻灯片已成为现代教育技术中重要的媒体之一，在教学研究、学术交流中得到广泛应用．如我们通常使用由微软公司开发的Microsoft PowerPoint幻灯制作软件来编辑幻灯片，设置动画、切换后，利用PowerPoint软件特有的屏幕放映功能，用计算机直接放映．这种方法具有携带方便，多媒体动态交互演示，视觉效果好等优点．
6．电影、电视教学媒体在数学教学中有何作用？
答：电影、电视教学媒体在现代数学教学中有着十分重要的作用内，主要表现在以下几个方面．
（1）运用电影、电视教学可以改革数学教学方法
电影、电视在表现形式上的多样性和应用上的灵活性，可以改变传统的教学模式，有利于优化教学全过程，使抽象的数学内容形象化，微观的内容直观化；有助
（2）运用电影电视教学可以提高学习效果，减少教学时数
现代脑生理研究表明，人脑的两个半球各有分工，右半球侧重于本能的形象思维，而左半球侧重于语言和理性，即以符号为主的逻辑思维．在数学教学中，要使学生大脑两个半球都处于积极的、兴奋的活动状态，那么就能获得最佳的学习效果．在放映电影、电视过程中，屏幕上的图画、色彩、解说、音响及其变化，会在学生的大脑皮层的一定部位上引起兴奋，使得学生视听两个信号系统协同活动，大脑左右两个半球同时工作，从而挖掘了左、右脑的潜力．因此，学生对于所学知识不但理解得快，而且理解得深．既提高了学习效果，又节省了教学时数．
（3）运用电影、电视教学可以提高学生综合素质
电影、电视教材不仅具有很强的科学性和思想性，而且还有较高的艺术性，具有一定的美学价值，不但培养学生的形象思维、逻辑思维，而且还能培养学生的审美能力，使学生在数学学习的过程中陶冶情操，提高学生的数学能力和综合素质．
7．何谓多媒体？
答：“多媒体”这个术语是20世纪60年代开始使用的，最初的含义是指把两个以上的媒体组合，使之成为单一的产品或是呈现系统，并通过多种感官通道来交流信息．简单地说，就是利用多种媒介手段来存储、传播和处理信息．近年来，随着多媒体和计算机技术的紧密结合，多媒体这个概念被赋予更深刻的含义．多媒体技术在各行各业应用越来越广泛，由于不同的人对多媒体技术应用的要求不同，对多媒体的含义的解释也不相同，但就我们着重计算机多媒体技术在教学中的应用来说，其基本含义是：多媒体技术是指以计算机为核心，交互地综合处理文本、图形、图像、动画、音频及视频等多种媒体信息，并使这些信息建立逻辑连接，以表现出更加丰富、更加复杂的信息．
8． 何谓多媒体教学？多媒体教学常用的基本形式有哪些？
答：多媒体教学是指教师将教学信息通过计算机用文本、图形、图像等方式以一定的结构形式呈现，学生通过计算机给出的提示识记教学信息，与计算机进行交流．它不同于普通的CAI．它的信息加工、获取、传递速度快、容量大、方式多样以及在知识呈现和处理方式上符合最新的认知理论模式等优点．多媒体教学的基本形式如下：
（1）课堂教学
教师在课堂中应用多媒体课件将教学内容、教材、数据、示例等呈现在大屏幕上，以辅助教师讲解．运用这种方法可以给学生多感官刺激，提高学生学习兴趣，增强学生观察问题、理解问题和分析问题的能力．同时由于计算机多媒体技术具有交互性，可进行非线性的调用，方便使用，从而达到提高教学效率的目的．目前，有些院校建立了校园教学网络系统，通过网络进行计算机多媒体辅助教学非常方便．
（2）模拟教学
多媒体课件可以把视频、音频和动画等结合起来，模拟逼真的现场环境和微观与宏观世界的事物，以帮助学生学习和理解一些抽象的原理．
随着计算机技术的发展，现在出现的一种“虚拟现实”的技术，它是通过计算机产生一种仿真的环境，在这个环境中，学生可以作为一个实际操作者进行各种学习和操作，计算机可做出反应和判断．例如，目前航空上有一种模拟学习驾驶飞机的计算机系统，学生在这个模拟系统中学习驾驶飞机，有一种身临其境的感觉．利用虚拟现实技术培训各种特殊的专业人员，既方便又经济．现在，有一些部门与单位正在研究医学上的虚拟现实系统，希望通过该系统为培养外科医生做贡献．
（3）个别化交互学习
所谓个别化交互学习，是指利用多媒体计算机网络技术，将多媒体课件的教学内容变为网上资源，由学生自主进行选择学习．个别化交互学习，可做到因材施教，学生根据自己已有的知识选择学习内容，并且可以进行双向交流式学习．目前，不少学校建立了学生学习用的计算机实验室，向学生开放，供学生进行个别化交互学习．
（4）远程教育
远程教育是近些年来兴起的一种基于计算机网络的教学系统，它是开放的、远程的、自主的教学方法．远程教育中的课堂是对外开放的，学生可以通过网络进行合作和协作学习，教师可以通过网络与其他教师进行讨论．同时，通过网络师生们可以用到更多的教学数据．通过远程教育，教师可以在全球范围内指导学生学习，而学生则可以得到更多的教师指导．随着计算机网络技术的发展，远程教育的规模正在不断地扩大，充分显示了其优越性．专家预言，由于远程教育的发展，可能导致一场教育革命．
9谈谈多媒体教学发展的前景？
答：由于多媒体教学具有信息加工、获取、传递速度快、容量大、方式多样以及在知识呈现和处理方式上符合最新的认知理论模式等优点，因此它必将大大提高教学效率，提高教学质量，也将越来越受教师和学生的欢迎．它的规模将不断地扩大，越来越显示出其优越性．但是同时我们也必须看到，计算机是由人来掌握的，它不可能完全代替传统的数学教学，而只能起辅助作用．在实际教学中，应该使传统的数学课堂教学和多媒体教学相结合，使之相辅相成；另一方面，目前，有多数学校由于条件限制，利用计算机进行数学教学还有一定困难，即使有些能够使用计算机进行数学教学的学校，教学软件的设计研制还远远跟不上需要．因此，需要教育主管部门大量的教育资金的投入．
习题5
1．数学有哪些特点？怎样理解这些特点？
答：数学的内容具有高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性．
数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象．所以它的研究对象本来是十分具体的．但是，为了在比较纯粹的状况下研究空间形式和量的关系，才不得不把客观对象的所有其它特性抛开不管，而只抽象出其空间形式和量的关系进行研究．因此数学具有十分抽象的形式．
严谨性是数学科学理论的基本特点．它要求数学结论的表述必须精练、准确，对结论的推理论证要求步步有根据，处处符合逻辑理论的要求．在数学内容的安排上要求有严格的系统性，要符合学科内在逻辑结构，既严格又周密．
数学广泛的应用性表现在它已渗入到日常生活的各个领域中，当今世界各门学科都在经历着数学化的过程．用华罗庚的一句话来形容就是：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”
2．何谓数学教学原则？中学数学教学原则有哪些？确定中学数学教学原则的依据是什么？
答：数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指导数学教学工作的一般原理．它是数学教学经验的概括总结，它来自于数学教学实践，反过来又指导数学教学实践．
目前，在中学数学教学中，主要应遵循如下基本原则：抽象与具体相结合原则；严谨性与量力性相结合原则；理论与实际相结合原则；巩固与发展相结合原则；
数学教学原则，应根据数学教学目的和数学学科特点，以及学生学习数学心理特点来确定．
3．在中学数学教学中，如何贯彻抽象与具体相结合原则？
答：首先要着重培养学生的抽象思维能力．所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象、运用概念、判断、推理等进行思维的能力．按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象和理论型抽象思维．在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题．
其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括能力．在教学中，可通过实物教具，利用数形结合，以形代数等手段．例如，讲对数函数有关性质时，可先画出图象，观察图象抽象出有关性质就是一例．
4．在中学数学教学中，如何贯彻严谨性与量力性相结合原则？
答：认真了解学生的心理特点与接受能力，是贯彻严谨性和量力性相结合的原则的前提．“备课先备学生”的经验之谈，就出于此．也就是说，只有全面地了解学生情况，才能使制订的教学计划与内容安排真正做到有的放矢、因材施教才能真正贯彻好这一原则．在教学中，对严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到立论有据．例如初学平面几何的学生，对严格论证很不适应，教学时应先由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，合情合理地提出教学要求，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明．但绝不能消极适应学生，人为地降低教材理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学．在数学教学中，注意从准确的数学基础知识和语言出发培养严谨性．这就要求教师备好教材，达到熟练准确，不出毛病．例如，把正方形说成“正正方方”的四边形，把圆定义为自行车轮子等．另外要严防忽略公式、法则、定理成立的条件．
还要注意逐步养成学生的语言精确习惯．这就要求教师有较高的教学语言素养，使自己的语言精确、简练、规范．对教学术语要求准确、得当．如“至少”、“仅当”、“只有”、“增加”、“增到”等．
在数学教学中，注意培养全面周密的思维习惯，逐步提高严谨程度．一般数学中所研究的是一类事物所具有的性质或它们元素之间的关系，而不仅仅是个别事物．于是要求我们思考问题全面周密是理所当然的．但中学生真正懂得这样做
的必要性并养成习惯，不是一件容易的事，他们常发生错误．
5．在中学数学教学中，如何贯彻理论与实际相结合原则？
答：应用理论与实践相结合的原则进行教学，一方面应提高理论水平，重视一般原理与方法的教学，充分发挥理论的指导作用，克服只注意算法，不注意算理，片面强调技巧，搞题海战术等不良现象．另一方面，应注意联系实际，注意用实例说明数学的应用，通过实例培养学生运用数学知识的能力．因此，在引入实例时，应注意例子的典型性和简明性，不断更新联系实际的内容和处理手法，密切与物理，化学等学科知识的联系．
总之，应用理论与实践相结合的原则，要求我们在数学教学中遵循实践—认识—再实践—再认识的规律，充分注意数学应用的广泛性，充分注意数学原理与数学应用的辨证关系，充分注意数学理论来源于实践又应用于实践．
6．在中学数学教学中，如何贯彻巩固与发展相结合原则？
答：首先，要认识发展与巩固相结合的意义，将学习新知识，复习巩固旧知识贯穿于教学的全过程，既要重视阶段性复习、总结性复习，更要重视日常课堂教学的复习巩固，将复习巩固作为一个重要的教学环节．
其次，要重视对学生所学知识，技能和方法进行复习巩固工作的研究．同时，在于将所学知识在实际中予以应用，通过反复阅读教材，学会推理论证方法．在教学数学的思想和方法时，要有目的、有计划地安排一定的练习，让学生通过练习来加深理解．
再次，在复习巩固过程中，要指导学生记忆，提高记忆能力，并通过适当途径予以检查，对数学中一些基本的概念、定理、公式、法则都必须在理解的基础上熟记．
习题6
1．何谓数学教学模式？数学教学模式有何特点？
答：数学教学模式实际上就是数学教学过程的“模型”．
首先，数学教学模式是连结教学理论与教学实践的桥梁．
教学模式是在教学活动中形成的相对稳定的教学格局和框架，是教学理论与教学实践的“中介”．
其次，数学教学模式可以从总体上认识和控制教学过程，为数学教学改革提供理论指导和质量保证．
现代的数学教学应该把教学的着力点放在数学教学模式上，学会运用模式来控制教学过程．通过对教学模式的选择与调整，使教学活动更加符合教学实际的需求，使教学的各环节、各方面的配合更合理，更协调．
因而，数学教学模式具有中介性、整体性、针对性、操作性和相对稳定性．
２．数学教学的基本模式有哪些？它们的实施程序各是怎样的？
答：数学教学的基本模式有：数学思想方法教学模式、启发式教学模式和教师讲授模式．数学思想方法教学模式是数学教学基本原则体现，也是贯彻“三基”性教育观念层面，实现“三基要求”的教学模式．因为数学教学过程的“基本内核”就是实现“三基要求”，所以数学思想方法模式是最基本的教学模式，是其他任何一种教学模式都应包含的基本模式．
数学思想方法教学模式的实施程序：（１）通过操作掌握基本知识；（２）教师引导或连结基本思想、方法；（３）通过操作，显现基本思想、方法；（４）教师指导，领悟基本思想、方法．这个模式可以简单表示为：操作—引导—显现—领悟．
启发式教学模式的具体操作程序：教师提出某一个学习问题，引导学生解决它，并从中获取解决问题的经验（即知识与思想方法）；然后教师再提出一些与前述问题有关的问题，进一步引导，逐步解决，从而形成整体经验。
教师讲授模式的主要实施程序为：导入新课；讲授新课；巩固新课和布置作业。
３．什么是数学教学方法？传统的数学教学方法有哪些？当前数学教学方法改革的特点是什么？
答：数学教学方法是指在教学过程中，教师的工作方法和相应的学生的学习方法，以及二者之间的有机联系．它是在哲学体系与教育思想指导下组成的一个动态体系．就其整个体系而言，是哲学体系且与教育思想有联系．就其具体的方式和手段来说，又相对独立于哲学体系和教育思想，具有较普遍的性质．
传统的数学教学法有：（１）讲授法；（２）谈话法；（３）指导作业法．
当前数学教学方法改革的特点是：传统教学法把学生的头脑仅仅看作是被动的装知识的仓库，信奉“注入式”的教学思想，着眼于培养“继承型”人才．这显然不适应当前改革的新形势要求，因此，必须进行改革．着眼于教师为主导，学生为主体，教材为主线，主要是指：强调发展学生智力、培养能力，重视学生的全面发展，重视研究教育对象，研究学生学习方法和激发其求知欲；注意学生个性的发展与因材施教；要积极开展教育科学实验，探求确有实效的新方法等．在这种思想指导下，数学教学方法的改革趋向于：加强思维方法的训练与学习方法的指导，重自学，增加学生独立阅读、思考、探究问题的内容和时间；承认个体差异，加强个别指导；节奏加快、信息量增多等．注意解决好教与学的矛盾，处理好主导与主体的关系．
４．本章中介绍的改革中教学方法各有哪些优缺点？
答：（１）问题探索法．这里的探索，是依据教师设计的学习情景，从问题的各个方面，由浅入深、由简到繁，循序渐进地组织学生积极思维，向预定目标探索前进．优点：学生在老师的指导下，充分发挥自己的聪明才智，通过独立思考，进行类比、分析、综合、归纳、概括等，逐步解决教师所提出的问题和个人发现的新问题，从而获得新的感受，形成正确概念，使学生在学习新知识的同时，培养独立思考和探索能力．缺点：教师备课难度大，对学生的自觉性要求较高．
（２）自学辅导教学法．特点：突出了学，体现学生学习的主体地位；使有效学习心理原则与某些教学原则及方法在教学实践中得到统一；加强了反馈系统的控制，教师与学生两个自我反馈系统表现了较高功能．
（３）单元教学法．特点：①有利于学生掌握知识的全貌及各部分知识的内在联系和研究的方法．可避免死记硬背；②通过自学、讨论、引导、讲解等不同形式的学习，使学生的认识逐步深化，增加了综合练习的机会．便于学生获得系统、完整的知识；③由于打乱了原来一节课教一个知识的顺序，可利用上课时间进行集体讨论，使学生思维活跃、敏捷、开阔、大胆提出自己的看法，真正体现了教学民主，增强了学习自信心，有利调动学习积极性．
（４）发现法．优点：①学生的学习主动性、积极性可得到发挥，常处于主动进取的学习状态之中；②在学习过程中，学生具有较高级的心理活动．有利于培养学生发现和探究问题的习惯，激发学习数学的兴趣，增强自信心，使学生理解知识深刻而牢固；③有利于培养学生掌握探索问题的方法与研究问题的能力，特别是自学能力．缺点：①花费时间较多，不利于学生掌握系统知识，影响数学理论体系建立；②易减少教学中数学知识容量，对差学生可能较难适应．
（５）读读，议议，讲讲，练练教学法．优点：①突出了学生的学习主体地位与教师的主导作用．每一环节既有学生提出问题，分析问题，解决问题的机会，又有教师提出的一定要求，并及时了解动态，相机指点，使教师的教和学生的学在教学过程中得到和谐统一．提高了课堂教学效率；②能调动学生学习的积极性，使他们主动地进行学习，且学生各感觉器官交替活动，不易疲劳，同时，有利于培养学生自学能力和口头表达能力以及创新精神．缺点：是教师不易控制教学进度和课堂秩序，使用这种教学方法教师应有较强的组织、应变能力．
（６）程序教学法．优点：①较好地实现教学个体化原则，学生自己动脑、动手、独立钻研，有利于调动学生学习的积极性和主动性；②学生可根据自己的能力，用最适合于自己的方式学习，较好地解决了因材施教的问题；③反馈信息快，及时纠错，及时强化，有利于巩固知识．缺点：①学生的活动约束太死，不利于培养学生的创造能力；②学生很少有机会观察所学现象和听取教师主动讲解，削弱了教学的教育性．
习题７
１．什么是数学思维？数学思维的品质有哪些？它们在数学学习中起什么作用？
答：所谓数学思维，是指数学对象“纯粹的量”的本质和数学对象之间“纯粹的量”的规律性的关系在人的头脑的反映．数学思维既是思维的一种，就不仅具有思维的一般特性，而且具有自身的特性，这种特性是由数学本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法决定的．所以又可以简单地说，数学思维是数学活动中的思维，是人脑和数学对象交互作用，并借助数学语言，以抽象和概括为特点，对客观事物的数学结构和模型的间接概括的反映．也就是说，数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动．
数学思维的品质有：
（1）数学思维的广阔性与深刻性．培养学生数学思维的广阔性和深刻性，就要不断丰富学生的知识经验，开阔学生的视野和思路．空洞的头脑是不能进行思维的，一般来说，知识越丰富，思路就越宽广．因此，要鼓励学生不仅重视课内学习，还应重视课外学习，从多方面，多渠道来吸取知识，扩大视野．（2）数学思维的独立性与批判性．在数学教育中，我们既要遵循思维独创性、批判性的一般规律，又要积极鼓励创新思维，不失时机地培养和发展学生的创新意识．（３）数学思维的逻辑性和论证性．在教学中，教师应有计划、有步骤地帮助学生掌握各种思维方法和培养发展逻辑思维能力．教学不仅重视知识的传授，更要重视各种思维能力的培养，不仅重视结果，更要重视产生这一结果的推理过程．为此，要求教师讲解要合乎逻辑，以身示范，同时要注意引导学生运用思维方法和逻辑规律去获得新知识．如引导学生掌握一个新概念时，要经过分析、综合、比较、抽象、概括等过程；学习一条新定理或新法则时要应用归纳法得出初步结论，再用演绎法进行推导；解答一道应用题应经过明确问题、分析题意、明确问题性质、解题定向以及验算、验证等步骤．（４）数学思维的灵活性与敏捷性．在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能够缩短运算环节和推理过程，而这又有赖于在正确前提下的速度训练．经过练习，从中总结经验，进而概括出规律，并通过应用而达到熟练的程度，从而产生思维的敏捷性．
２．如何培养学生的数学思维能力？
答：（１）找准数学思维能力培养的突破口．心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口．思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段．（２）教会学生思维的方法．现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学．如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题．（３）善于调动学生内在的思维能力．首先要培养兴趣，让学生迸发思维．教师要精心设计，使每节课形象、生动，并有意创造动人情境，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题．其次要分散难点，让学生乐于思维．对于较难的问题或教学内容，教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思维．最后要鼓励创新，让学生独立思维．鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质；鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展．
３．什么是数学学习？它有何特点？你是如何理解新课程标准下的数学学习的？
答：所谓数学学习是根据数学教学计划、目的要求而进行的，获得数学知识经验而引起的比较持久的行为变化过程．
学生的学习特点主要表现在以下几个方面：
①学生的学习是在人类发现基础上的再发现
②学生的学习是在教师的指导下有目的进行的
③学生的学习是依据一定的课程和教材进行的
④学生的学习主要目的是为终生学习奠定基础
４．数学学习的一般过程理论是什么？你认同那种数学学习理论？简述理由．
答：关于学习过程，存在着两种基本观点：一是以桑代克、巴甫洛夫、斯金纳为代表的刺激—反应联结观点（即行为主义观点）；另一种是以奥苏伯尔等为代表的认知观点．行为主义观点认为，学习过程就是形成刺激和反应之间的联结过程，因而，要研究学习过程，主要就是要研究刺激和反应进行的关系，以及它们之间发生了什么．认知观点认为，学习过程是学生原有的认知结构中的有关知识和新学内容相互作用（同化），形成新的认知结构的过程．
在世界范围内的数学教育改革浪潮中，认知观点逐渐深入人心．因为行为主义观点是一种比较原始、比较朴素的用来分析数学学习的方法，它强调大量、重复的操作性学习，从某种程度上来说，它就是“应试教育”的理论保护伞，虽然它曾长期占据着主导地位，而且至今还对数学的教和学产生着巨大影响，但已不能适应今天的数学教育的需要了．认知观点真正抓住数学学习的实质，从理论上给我们提供一些原理，帮助我们寻找教学途径，诊断分析学生学习中存在的问题．我们应摆脱传统教学观念的束缚，加强合理解释和指导教学的能力，从根本上改进教学方式，提高教学效率，使教学上升到行为主义理论指导下无法达到的水平，最终促进学生素质的迅速发展。
５．什么是非智力因素？它对智力发展起何作用？简述非智力因素在数学学习中的作用．
答：什么是非智力因素？从广义来说，凡智力因素以外的一切心理因素，统称为非智力因素，它是相对人的智力因素而言的．从狭义来说，非智力因素主要指动机，兴趣，情感，意志和性格．
一般来说，非智力因素在促进智力发展中的作用，主要表现在以下几个方面：
（１）始动作用；（２）指向作用；（３）维持和调节作用；（４）强化作用；（５）补偿作用．
６．什么是数学学习的记忆和迁移？如何运用记忆和迁移规律进行数学学习？
答：数学学习的记忆是学生学过的数学知识、经验在头脑中的反映，是学生通过数学学习积累数学知识、经验的功能表现．一种学习对另一种学习的作用，在心理学上称为学习的迁移．
数学记忆是有一定的规律的．在数学学习中，应该不断与遗忘作斗争，加强数学知识的保持．一般地说来，我们应该注意下面几点：（1）明确记忆的目的和任务；（2）理解所学的知识内容并概括成系统；（3）合理安排复习；（4）借助直观形象和语言的作用加强数学记忆．
迁移规律在数学学习中的应用：（1）加强新旧知识的联系；（2）注重规律，教会学生如何学习．
７．简述数学学习的一般原则与方法．你能否给出一些数学学习方法．
答：在数学学习中，一般应遵循以下几条原则：（１）动力性原则；（２）遵循渐进原则；（３）独立思考原则；（４）及时反馈原则；（５）理论联系实际的原则．
在数学学习中常用的一些方法：（１）求教与自学相结合；（２）学习与思考相结合；（３）学用结合，勤于实践；（４）博学详说，由博返约；（５）既有模仿，又有创新；（６）及时复习，增强记忆；（７）总结学习经验，评价学习结果；（８）获取反馈信息，纠正学习中的差错．
习题8
1．什么是事物的本质属性？本质属性与属性有何区别？
答：在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，则称其为这种事物的本质属性．
一个对象的某个属性，可以是其他对象也具有的，但是本质属性是它区别于其他对象的属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻划了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不一定是本质属性．
2．什么是数学概念？数学概念是怎样产生的？
答：客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物之间存在各式各样的关系，这些性质和关系都是事物的属性．事物由于性质相同或不同，形成各种不同的类，属性相同的事物形成一类，性质不同的事物就形成不同的类．在人们在实践活动中，接受客观事物的各种各样信息，形成观念，这是感性认识阶段．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，即本质属性和特征，从而形成了反映事物的本质属性的特征和各种各样的概念．而各门学科都有它自己研究的对象，各门学科的概念总是反映事物某方面的本质属性．数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系．数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式．
数学概念的产生和发展的途径是不同的．有的数学概念是从它的现实模型直接反映得来的．例如，几何中的点、线、面、体等概念都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括得来的；有些数学概念是在一些相对具体的概念的基础上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的．例如，复数的概念是在实数概念的基础上产生出来的，而实数的概念是在有理数概念的基础上产生出来的，有理数概念是在自然数概念的基础上产生出来的；另外，有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的．例如，直线的“笔直”、“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形状理想化、纯粹化得来的；还有些数学概念是从数学的内部需要产生出来的．例如，为了数的乘法通行，规定一个数乘以0的积是0．又如，为了把正整数指数幂的运算法则扩充到有理数指数幂，以至实数指数幂，在数学中产生了零指数、分数指数、无理数指数等概念；还有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的。例如，自然数集、无限远点、无理数
由此可见，数学概念的产生和发展的过程是非常复杂的，但不管数学概念的形成如何复杂，也不管其如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上或者在一定的理性认识基础上产生出来并逐步发展的．
3．什么是概念的外延和内涵？分别举出代数、几何中的几个概念，说明其外延与内涵．
答：一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延，而它所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．
例如，在自然数系中，偶数这个概念的外延是0，2，4，6，8，…，2n，…等数组成的集合，它的内涵是“能被２整除”这个性质．又如，三角形ABC的顶点这个概念的外延是指A、B、C三点的集合．它的内涵包括点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质．
4．什么是概念的定义？常用的定义方法有哪几种？举例说明．正确的定义应符合哪些要求？
答：定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性．常用的定义方法有以下几种：
（1）属概念加种差定义法．我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法．
（2）发生式定义法．不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．
（3）揭示外延定义法．有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．
（４）归纳定义法．例如用递推公式an=an-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．
给概念下定义的要求有：
（１）定义应当相称．即必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们又如，不能把“有理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2等等．已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．
（２）定义不能恶性循环．如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．
（３）定义一般不用否定形式．定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．
（４）定义中应没有多余的条件．定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．
５．什么叫概念的分类？它的作用是什么？正确的分类应符合哪些条件？两个交叉关系的概念能否同在一个概念的分类中出现？
答：把一个属概念分成若干个种概念，来揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的分类．
通过概念的分类可以揭示被分类概念的外延以及概念间的各种关系，并把概念知识系统化．在数学教学中，常常用分类方法把所学概念
正确的分类应符合下列条件：
（１）所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集．换言之，属概念反映的任一个对象只能属于一个种概念的外延，不能有重复．
（２）分类应是相称的．即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延．换言之，属概念反映的任一对象都应属于一个种概念的外延，没有遗漏．
（３）每次分类都应按照同一个依据进行．在一次分类中用不同的根据就造成了混乱．
（４）分类不应越级．应把属概念分为最邻近的种概念．
两个交叉关系的概念不能同在一个概念的分类中出现．
６．对于原始概念、用概念形成的形式引入的概念、概念同化形式引入的概念（分别对各种不同类型）、发生式定义引入的概念，在概念引入的教学中各有何注意点？结合实例加以说明．
答：（１）对于原始概念的的引入：一般通过具体事例的观察来加以描述，让学生理解．例如通过针尖刺木板的痕迹引入点的概念，并让学生领会点只表示位置，而没有形状、大小．尽管这种强调在采用公理化定义时是没有任何必要和意义的（因为原始概念的意义只由公理系统规定），但在中学数学教学中还是有必要加以强调，以使得学生能把数学概念与日常生活中的概念加以区别．
（２）对于用概念形成的形式引入的概念：一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义．例如，为了建立直线和平面垂直的概念，可让学生观察自然悬挂的电灯线与天花板的相互位置，回顾把一根杆子在地面上立直的生活经验等等，让学生尝试描述其本质属性．
（３）对于用同化形式引入的概念：①用属概念加种差定义的概念．这时，新概念是已知概念的特例，新概念可从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来．几何概念的学习大多属于此类情形．教学中要注意讲清种概念是属概念的特例，它具有属概念的一切属性，并且相对于属概念还有它自己特有的属性——种差．②由概念的推广引入的概念．概念的推广是从特殊到一般的发展过程，也体现了概念间的联系和概念的深化．例如，绝对值的概念随着数系的扩充而深化；三角函数的概念，从锐角三角函数发展为任意角三角函数；指数概念，从正整数指数扩充了零指数、负整数指数而发展到整数指数，又扩充了分数指数而发展到有理数指数（在中学数学中，只是提到无理数指数，并没有真正引入概念）．在运用概念的推广来引入新概念时，必须注意讲清三点．一是推广的目的意义，即是概念得到拓广、深化，从而有更广泛的应用；二是推广的合理性，即旧概念作为新概念的特殊情况；三是概念在推广之后，已有更广泛的含义，虽然它含旧概念作为其特殊情况，但不能再局限在原来的范围，不能再停留在旧概念上来理解新概念．讲清第三点是尤其重要的，否则对旧概念的思维定势将产生消极影响，给学生的进一步学习造成心理障碍．③采用对比方法引入新概念．当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时，可采用对比方法引入新概念，这在心理学中属于并列结合学习．例如可以对比分数来引入分式；对比等式来引入不等式；对比三角形全等来引入三角形相似等等．④根据逆反关系引入新概念．这在心理学中也属于并列结合学习．例如由多项式的乘法引入多项式的因式分解；由乘方引入开方；由指数引入对数；由三角函数引入反三角函数等等．教学中特别要注意的是讲清两者之间的逆反关系，这样，学生才能把新概念同化而纳入原认知结构．
（４）对于用发生式定义的概念：这是用对象被构造出来的过程下的定义．在教学中，如果直接给出定义，即直接给出构造的过程，在许多情况下效果不够好，可以通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然地得出构造过程，也就是揭示出定义的合理性．例如，“直线和平面所构成的角”这一概念的引入，可以让学生考虑一条直线AB和一个平面α相交，如何来衡量直线对平面的倾斜程度．
7．把新概念纳入已有概念体系的常用方法有哪些？
答：把新概念纳入已有概念体系的方法通常有：概念的形成和概念的同化．
8．什么是判断？表示全称肯定判断、全称否定判断、特称肯定判断和特称否定判断之间关系的逻辑方阵是怎样的？
答：对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做判断．
SAP 反对关系 SEP SIP 下反对关系 SOP 矛 盾 关 系 矛 盾 关 系
9．什么是数学判断？什么是数学命题？
答：关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断．
在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式．只有把内容和形式统一起来，才成为数学命题．
10．说出逻辑联结词“非”、“合取”、“析取”、“蕴涵”、“当且仅当”的意义，并分别写出定义它们的真值表．研究它们的意义何在．
答：（1）否定（非）．对于每个命题，都有一个与它意义相反的命题，这个命题称为原来命题的否定．若用P表示一个命题，它的否定，为命题“非P”，记作┐P．命题联结词“非”由下表（称为真值表）严格定义．
P | ┐P |
1 | 0 |
0 | 1 |
P | Q | P∧Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
（2）合取（与，且）．用命题联结词合取（与，且），把两个命题P和Q联结起来，构成新命题“P合取Q”，记作P∧Q．它的意义是，只有在P、Q都真时，P∧Q才为真．命题联结词“合取”由以下真值表严格定义．
（３）析取（或）．把两个命题P和Q用命题联结词“析取”联结起来，得到新命题“P析取Q”，记作P∨Q．它的意义是，只要P、Q中有一个为真时，P∨Q就为真．命题联结词“析取（或）”由下面的真值表严格定义．
P | Q | P∨Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
（4）蕴涵（如果…，则…）．把命题P、Q用“如果…，则…”联结起来，构成新命题“如果P，则Q”，记作P→Q，称为蕴涵式．它的含义是，只有在P真且Q假时，P→Q方为假．其中的P称为前件，Q为后件．命题联结词“蕴涵”由下面的真值表严格定义．
P | Q | P→Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
（5）当且仅当．把命题P、Q用“当且仅当”联结起来，得到新命题“P当且仅当Q”，记作“P
P | Q | P |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
11．什么是数学中的条件命题？条件命题的四种形式间的关系如何？
答：在数学中，如果命题具有形式“P→Q”，并且P、Q都存在，P、Q之间在内容、意义上联系着，P是给出事物具有（或不具有）某种属性，则称这个命题为条件命题（或假言命题）．
条件命题的这四种形式之间的关系，显然可用下图表示．
原命题 A→B 否命题 ┐A→┐B 逆命题 B→A 逆否命题 ┐B→┐A 互逆 互逆 互 否 互 否 否 逆 为 互 互 为 逆 否
13．如何进行公理教学？
答：数学公理在命题体系中所处的地位与作用，和原始概念在概念体系中所处的地位作用相当．因此，在中学数学教学中，公理的教学类似于原始概念的教学．教学中主要是使学生理解公理的真实性，再者是记住公理的内容并与所指对象紧密联系起来．因此，公理教学，采用由学生熟知的具体事例或生活经验归纳出规律，容易收到好的效果．如果能让学生自己动手探索，则收效更佳．这样学生便对公理笃信无疑．
14．定理、公式的引入有哪些常用的较好的引入方法？
答：数学中的定理、公式是从现实世界的空间形式和数量关系中抽象出来的一般规律．定理、公式的引入方法直接关系到教学的效果．以下是几种比较好的引入方法：（1）通过对具体事物观察和实验与实践活动，作出猜想．（2）通过推理直接发现结论．（3）通过命题间的关系，由一个命题制作出它的逆命题（或偏逆命题）．
15．形式逻辑的基本规律有哪些？说明它们的名称与内容，并举例说明．
答：逻辑思维的基本规律是客观事物在人们头脑中的反映．形式逻辑是从思维的形式结构方面研究思维规律的科学．它的基本规律有四条：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律．
（１）同一律的内容包括三个方面：①在同一个思维过程中，思维的对象必须保持同一；②在同一个思维过程中，使用的概念必须保持同一；③在同一时间，从同一方面，对同一思维对象作出的判断必须保持同一．例如，数是可以比较大小的．虚数是数．所以虚数可以比较大小．结论是错误的．产生的原因是，第一句中的“数”是指实数，第二句中的“数”是指复数，偷换了概念．
（２）矛盾律的内容是，在同一时间，从同一方面，对同一思维对象不能作出有矛盾关系或反对关系的判断．例如，对于两个实数
（３）排中律的内容是，对于只有互相矛盾的两种可能的问题，必须肯定其一，两者不能同假．例如，对于一个给定的数
（４）充足理由律的内容是，任何判断都必须有充足的理由才被认为是真的．数学正确判断必须有充足的理由，否则会造成错误．例如，设
16．数学中常用的推理有哪些？各有何特点与作用？
答：数学中常用的推理有归纳推理、演绎推理和类比推理．它们各有其特点及作用．
演绎和完全归纳是必然性的推理，是严格的科学证明方法．在数学的论证推理中，演绎是最基本的、最主要的方法，因为在用完全归纳法时，在对所研究对象的一切情况进行讨论的每个具体过程中，常常都要用演绎的方法．这一点，在数学归纳法中表现得特别明显．数学归纳法属于完全归纳法，总体上是归纳，而每一步又是演绎．单纯演绎推理没有想象的成分，这使得演绎推理具有了严谨性，然而它的创造性也比较小．在一定前提下，由演绎可以获得推出知识．不完全归纳和类比只是或然性的推理，但却是猜想的重要来源，有助于发现结论，作出判断，有时也能从中得到证明方法的启示．对于数学科学，最重要的是结论及其证明，但在中学数学教学中，还应重视结论引入的方法，让学生了解和体会是如何想到这些结论的，并逐步学会运用不完全归纳和类比这两种推理．这有助于形成和发展辩证思维和创造性思维，有助于培养分析问题和解决问题的能力．这正是传统数学教学比较忽视的．当前的数学教学改革对此已给予了高度的重视．当然，由不完全归纳和类比得到的结论，还要用其它方法研究其是否正确．正确的要用演绎法或数学归纳法加以证明，不正确的，要举出反例．以上两方面在数学归纳法研究中是互相结合，相辅相成的．最典型的，体现于用数学归纳法研究问题的完整过程中．第一步是观察、实验；第二步是进行不完全归纳，猜想出结论；第三步是用数学归纳法加以证明．
17．什么是数学证明？直接证法与间接证法的区别是什么？
答：应用逻辑方法来判断数学命题真实性的过程叫做数学证明．
由论题的已知条件和已知定义，公理，定理等作为论据，运用逻辑推理法则来证明论题结论真实性的证明方法，叫做直接证法．间接证法不是直接证明论题的真实性，而是证明反论题不真，或者证明与论题等效的命题的真实性，或者在互逆命题等效的条件下，通过证明论题的逆命题的真实性，从而肯定论题的真实性的一种证明方法．
18．什么是综合法、分析法？试深刻比较它们的异同与优缺点．
答：在数学的证明中“由因导果”的方法通常称为综合法，而“执果索因”的方法称为“分析法”．
综合法与分析法的逻辑依据是相同的，都是蕴涵的传递性，只是思考的顺序相反．其中每个蕴涵都是已知的真命题．在数学中，证明一般都用综合法表述，因为综合法显得简捷，逻辑关系表现得很清楚．但是在数学教学中，综合法的表述常表现出它的弱点，每一步是在做什么，怎样做，并不那么容易看清楚，而每一步怎么想到的更容易使人困惑，尤其困难的是如何找出作为论证出发点的真命题，还有，为什么取那一个真命题为出发点也很难说清楚．因此，在教学中照本宣科地用综合法来论证，学生不仅难以弄明白，而且往往觉得是人为地想出来的．一般地，用分析法思考时，要给予论证的命题本身就是出发点，学生知道了应当从什么地方开始工作，就能够自觉地，充满信心地思考．显然综合法与分析法各有其优缺点，可以互相补充，各自的优点正好可以弥补另一方的不足．在实际论证一个命题时，先用分析法思考，发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，这常常是行之有效的方法，在数学教学中尤其应注意这一点．当然，分析法并不是总是行得通的．还有，对于一个论题，特别是较为复杂的论题，在实际思考探索它的证明时，常常不是单一地循着一个顺序，而是可以同时从题设和题断出发，分别使用综合法与分析法．逐步过渡到一个共同的中间过程，从而使思路得以接通．
19．什么是逆证法？它与分析法有何异同？逆证法的应用有何局限性？常在哪些情况下使用？
答：要证明“若
1）证明
2）上面每一步的推理都是可逆的．
则得出“
分析法与逆证法虽然都是以题断为出发点，但分析法的每一步都是寻求使一个命题成立的充分条件，而逆证法的1）中每一步是寻求使一个命题成立的必要条件．逆证法的1）是证了命题“若
逆证法常常在证明不等式或恒等式等情况使用，首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式，这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难．但在一般情况下使用逆证法并不省事．
逆证法有明显的局限性，它只适应于证明部分特殊命题，即题设与题断互为充要条件的命题，而分析法则具有普遍意义．可以使用逆证法的，当然可用分析法，但反之则不然．
20．反证法的逻辑基础是什么？并用等值公式表示出来．在实际应用反证法时，对于简单命题和条件命题，又具体表现为怎样的等值公式？
答：反证法的逻辑基础是形式逻辑的排中律，原论题
当
当
21．什么是同一法？从本质说，同一法与逆证法的关系如何？
答：我们知道，一个定理的逆命题在一般情况下是不成立的，但在特定条件下，即在定理的条件和结论所指概念的外延具有全同关系时，它的逆命题也成立．在这个情况下，证题时往往先构造论题的逆命题，并且证明这个逆命题的真实性，然后指出逆命题中题设所指的对象与原命题结论所指对象是同一对象，从而肯定原命题的真实性．这种证明方法称为同一法．
同一法与前面谈过的逆证法有某些相似之处，在适用范围上，都是只适用于题设和题断互为充要条件的那些特殊命题．在证明的步骤上第一步实际都是先证逆命题为真．但它们证明的第二步是不同的，逆证法是根据每一步可逆，相当于用综合法证原论题，而同一法是根据同一法则．
22．定理、公式的教学要掌握哪几个环节？
答：（1）使学生切实分清定理、公式的条件与结论．这既是弄清命题本身的要求，又是对命题进行证明的前提，也是应用命题来解决问题的需要．（2）弄清与定理、公式有关的概念．定理、公式与数学概念密切联系着，表达人们应用数学概念所作出的正确判断．因此，弄清与定理、公式有关的概念，是学习定理、公式的前提．（3）使学生掌握所学定理、公式的证明方法．定理（公式）的证明是定理的重要组成部分，是定理教学的重点，也是整个中学数学教学的重点之一．处理好定理证明的教学，可以使学生建立起所学定理与已有认知结构间的联系，加深对定理的理解，从而感到心理明白，记忆牢固，用起来踏实．许多定理的证明方法本身就是重要的数学方法，所以定理的证明不仅是得出结论的手段，它本身也是学生学习的重要内容．定理证明的教学还是学生学习思维方法，发展思维能力，培养良好的思维品质和思维习惯的最为重要的过程．
习题９
１．在数学教学中，为什么要培养学生的能力？
答：培养能力，是时代赋予我们教师的任务．世界各国的教育家很早就认识到培养学生能力的重大意义．我国古代教育早就有“举一反三”、“触类旁通”的教学经验的概括．而古人的“授人以鱼，供一饭之需；教人以渔，则终身受益”更是精辟地指出了培养学生能力和学习方法的重要性．苏联教育家赞可夫曾经说过：“教学应同时完成两重任务：既在掌握知识和技巧方面达到高质量，又在学生发展上取得重大进步”．当今世界，科学技术突飞猛进，人类的知识量快速增长．据统计，今天一个科学家，即使日以继夜地工作，也只能阅读有关他自己这个专业的世界上出版物的5％．一个大学生，即使勤奋地攻读，也只能获得将来从事所需知识的一部分．因此，教师只有在传授知识的同时，特别重视学生能力的培养，使他们从“学会”到“会学”．作为数学教师应同其他各学科教学一样，不仅要传授数学知识，而且更重要的是给学生开启数学知识宝库的“钥匙”．只有这样才能使学生将来在四化建设中学会那些迫切需要的东西，才能使他们的知识臻于取之不尽用之不完的境界，也只有这样的教学才能为我国的四化建设培养出大批栋梁之材．
２．在数学教学中，要培养学生的哪些能力？．
答：中学数学教学大纲中明确指出：要培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析问题和解决问题的能力．而其中的“分析问题和解决问题的能力”并不是单靠培养上述三种基本能力就能完成的．在数学教学过程中，还必须注意其他能力的培养，如观察能力、理解能力、记忆能力和运用能力等，它们都是在数学教学过程中的各个阶段所需要的“一般能力”．
３．培养学生的运算能力有哪些途径？试举例说明．
答：培养学生的运算能力首先必须弄清什么是运算能力．运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算，还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或”、“非”这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．
其实，对于学生的运算能力，教师在小学、初中与高中这几个阶段中，都必须有计划有步骤地进行培养，由算术运算到代数运算；由代数运算到分析运算、几何运算、集合运算、逻辑运算，由口算、笔算到表算、工具算等都要切实抓好．总之，一要学习,即学习与运算有关的知识；二要训练，即精心选择一部分习题，让学生独立完成．下面谈一谈培养学生运算能力的基本途径．
（1）牢固掌握基础知识，弄通算理、法则
要使运算正确而又迅速就要牢固地掌握与运算有关的概念、公式法则以及变形化简等思维方法．同时要多练习，常反复，形成熟练的技能技巧．但也不能“死练”，在练之前，要使得学生懂得“算理”使其懂得“怎样算”，“为什么这样算”．只有“计有据”，才能“算有准”．如果教师只教给学生“怎样算”，而学生并不明白“为什么这样算”，“为什么这样算就正确”，那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性，也形成不了什么运算能力．
例1 讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现
因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了．
（２）提高记忆能力，加强运算基本功训练
培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．
一般来说，在小学阶段，作为运算的基本功主要是：i）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；ii）20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼”的程度：熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：
在初中阶段，作为运算的基本功主要是：
i）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．
ii）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼”的程度：
a、多位数与一位数相乘，直接得积；
b、1－20的平方数，1－10的立方数．
c、将被开方数化为质因数乘积求方根；
d、特殊角的三角函数值；角度制与弧度制互换．
e、乘法公式．
在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形；学习行列式和复数的运算；学习极限与微积分运算；还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：
i）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．
ii）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度．
例如：
微积分基本公式等．
为了使学生练习基本功，一要理解运算所依据的道理；二要记住常用的公式、法则；三要通过练习才能落实到学生身上．练好运算的基本功，并使运算具有一定的速度，是培养学生正确迅速的运算能力不可缺少的．
（3）加强运算练习
我们知道任何能力都是可以有计划、有目的地训练出来的，提高学生运算能力必须加强练习，严格训练．加强练习就要按规律进行多练、巧练、反复练．题目由浅到深，基本题、引伸题、创新题依次出现，这样不但可训练学生的运算技能技巧，而且可培养学生的运算能力．严格训练就要做到高质量、高效率，即学生练习要做到正确、迅速、合理．从某种意义上讲，运算能力的培养实际上就是对合理进行计算的能力培养．而这种合理性的发现，“简捷算法”的寻得，首先就需要有很好的观察力和对基础知识的良好掌握．
由于每个人在观察时，抓住问题的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”，“多解”之中一般总有较为简捷的解法．经常引导学生重视“简捷算法”与“一题多解”的训练，可以培养学生思维的敏捷性和灵活性．只有思想上“迅速”了，行动上才能“迅速”起来；只有解法上“合理”了，即在应有的水平上达到了“最佳选择”，才能获得最快的速度．
当然“简捷算法”与“一题多解”的训练必须紧密结合教学内容进行；必须从小学到中学，一贯重视这种能力的培养，循序渐进地提高要求，才能使学生学到运算技能和技巧，得到系统的巩固和提高，从而形成一种运算能力，进而去探索未知领域，获得新知识．当然这种未知领域对于学生来说是先前未曾感知过的，而对教师来说是可能感知过的．
在低年级，一般宜进行“简捷运算”的训练．因为学生年龄尚小，所学知识也不多，他们往往会为获得一种“简捷运算”而欢欣鼓舞，可以说简捷运算容易引起学生的学习兴趣．当然在高年级也要寻求“简捷算法”，即使搞“一题多解”训练，最后也要比较，看哪种解法最为简捷．从而进行选择，加强解题的预见性，做到解题时思维敏捷，避繁就简，达到正确迅速的要求．而对于学生有创见的解法，也要善于引导，爱护他们独立思考的积极性，同时帮助他们分析具体错误的症结．
另外，在数学教学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的．
４．培养学生的逻辑思维能力有哪些途径？试举例说明．
答：逻辑思维能力就是根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析，抽象概括，推理证明的能力．培养学生的逻辑思维能力有如下基本途径：
（1）教师要作出示范
中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的．数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理的过程．数学中的概念的形成，命题的判断，都与逻辑思维紧密相连．所以，教师在传授数学知识的过程中要严格遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式，作出示范，循序渐进，潜移默化地培养学生的逻辑思维能力．
数学论证都是在一定的逻辑系统中进行的，所以教师必须在给定的逻辑系统中向学生传授知识．
例1 已知实数
求
解 因为
所以
本题是在实数范围内进行推演的，但是如果在复数范围内，这样推导出来的结果就不正确了．教师对于思维规律的使用不能有半点差错，否则他（或她）的学生思维便会发生混乱．教师对思维形式的使用也应是规范的，不然学生无章可循，也会无所适从．
（2）教会学生运用逻辑常识
培养学生逻辑思维能力的另一个途径是教会学生运用逻辑思维常识进行推理论证，并通过此过程提高他们抽象概括、分析综合、推理证明的能力．
众所周知，在中学数学教材中，运用了许多与逻辑知识有关的数学内容的推理证明方法．因此，应在数学教学过程中，结合具体数学内容通俗地讲授一些必要的逻辑常识，当然应该包括一些数理逻辑常识，使学生能运用它们来指导推理、证明．这样会有助于提高学生的逻辑思维能力．
例如，在学生学习了概念的从属关系以及“属概念加种差”的定义方法之后，在根据某概念的定义进行推理时，就不会只单单考虑定义中的种差，而且同时也会考虑被定义概念还具有它的属概念的一切属性．这样，在推理证明中的思路就会畅通得多．又如学生如果掌握了概念的分类方法和要求，当他们运用穷举法证明问题时，就不会遗漏或重复某种情况．
所以，学生若能运用逻辑知识来指导推理证明，就容易做到思维畅通，正确无误．
（3）加强逻辑思维能力的训练
在数学教学中，通过加强对数学概念形成的认识，来加强对数学命题推理证明的训练，是提高学生逻辑思维能力的更有效的途径．因此数学内容的讲授应加强逻辑的严谨性．讲授的例题，布置的习题应增加思考题、证明题、讨论题，借以加强逻辑思维能力的训练．不仅需在几何内容中加强逻辑推理的训练，还要在代数、三角、解析几何等内容中也要加强推理证明的训练，从而培养学生的逻辑思维能力．一些学校在课外活动中也加强逻辑思维能力的培养，同样是值得提倡的．
例1 有两个人玩这样一种游戏，第一个人说出一个个位数（即从1至9的整数）；第二个人对该数加上另一个个位数（也是从1至9的整数）；说出和数，不加数不行．接着第一个人对这个和数再加上一个个位数，并说出和数，如此下去．谁先说到66，谁便得胜．试问，如果玩法正确，胜者是谁？先开头的呢，还是其对手，要想得胜，应当怎样玩这种游戏呢？
解 若玩法正确，先开头说者得胜．这是因为二人竞赛，均想先说到66．而要想先说到66，必须先说到56，此时不论其对手说1至9中的哪一个，并加在56上，其和只能是57至65中的一个，均达不到66，先说者只需将1至9中的一数加到57至65中一数之上即可得66．依此类推，欲先说到56，又须先说到46、36、26、16、6，所以先说者开始只须讲6，然后控制16、26、36、46、56，作为每次加法的和数，则胜利定可在握．
这类题对培养学生的逻辑思维能力是很有益的．
５．培养学生的空间想象能力有哪些途径？试举例说明．
答：如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条：
（1）学好有关空间形式的基础知识
想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．
中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．
从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．
对于某一图形所反映的空间形式，怎样使学生形成关于它的空间概念呢？一般认为，大致需要经过如下过程．
运用实物、模型等进行直观教学，使学生在头脑中形成空间概念的整体形象．
通过教师和学生绘制草图和示意图，使头脑中形成的空间概念的形象“具体化”．
研究图形的组成元素及其性质，深入了解空间形式的内部结构和特性．
根据给定条件，运用画图工具作图，切实掌握空间形式的常用表达方法．
总之，空间概念的形成必须经过由画图到看图的一系列训练．
（2）从事数学实习活动
通过对实物的观察、解剖、分析或者制作模型、实地测量、作图等数学实习活动也是培养学生空间想象能力的重要途径．
人们以现实世界中客观事物为观察研究对象，通过抽象，通过抽象概括，舍弃了诸多的特性，保留了数量关系和空间形式，这种数量关系和空间形式在人们给出了相应的表达方式之后，使人们能够见数、形就能想象出客观事物．或者见到客观事物可抽象出数、形．人们经常从事这种数学实习活动，无疑会加强空间想象能力．
例如，在立体几何教学中，对物体或模型的直观分析，在机械制图的教学中通过活动影片来分析视图的性质，在解三角形的教学中测量不可及物体的“高深远近”，凡此种种，对培养学生的空间想象能力都会收到良好的效果．
（3）加强空间想象能力的训练，不断发展空间想象能力
在中学数学课里，不仅要研究图形及其性质，还要研究作图方法，而且要研究图形之间的联系以及数、形之间的联系．这些研究不仅要在一维空间中进行，而且要在二维、三维或高维抽象空间中进行．因此对学生加强下面的训练，将可以发展学生的空间想象能力．
（1）研究同类图形之间的联系，丰富学生的空间想象能力
在平面几何课里，最重要的图形是三角形和圆，在立体几何里最重要的基本图形是直线和平面．在教学中，在同类图形之间，研究其线面位置和量的关系，会有助于培养学生的空间想象能力．事实上，对各种位置和量的关系理解得越清楚，空间想象能力就越强．
（2）研究不同类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力
圆和多边形的联系是平面几何中最主要的内容之一，大量的习题都与它们有关，在数学教学中应当引导学生重视这类问题的分析，并加以训练．
（3）研究数形之间的联系，锻炼学生的空间想象能力
在中学阶段，数与形紧密联系起来学习的内容主要有两处：一是学习锐角三角函数与勾股定理；二是学习坐标法．学习这两部分内容时，要加强训练有目的地发展学生的空间想象能力，并进行唯物辩证法的教育．
（4）借助图形解决问题，增强学生的空间想象能力
数与形之间建立紧密联系之后，可以运用代数方法去解决几何问题；反过来，借助图形，也能帮助解决代数问题．我们知道，对空间想象能力高一级的要求，就是使学生“不但能进行逻辑思维，而且能进行形象思维，也就是说能运用图形的几何直觉去研究某些问题”．
总之，为培养学生的空间想象能力，我们总结了一些行之有效的方法，寻求了一些基本途径，只要在教学实践中，联系实际情况，加在应用，一定会取得好的效果．
６．培养学生的解题能力有哪些途径？试举例说明．
答：（１）认真审题，理解题意．（２）机动灵活，寻找途径．（３）加强练习，尽力创造．
举例略．
７．如何培养中学生的数学创造思维能力？试举例说明．
答：略．
８．解答数学习题有哪些基本要求？试举例说明．
答：解答数学习题应做到正确、合理、简捷、完满、清楚．按照这些基本要求来培养学生良好的解题习惯，对于提高练习质量和解题能力都有很好的作用．
解题的正确性是指解题过程中的运算、推理、证明和所得结果均准确无误．这是解题中最重要的一点．在解题过程中，如果步步无错，一般说来，结果也是正确的．即使如此，复核和验证也是必需的．思维的批判性不但可断定解题的正确与否，而且可判断解题的质量，包括解题是否合理，方法是否简捷，结果是否完满，表达是否清楚等．显然后面四条相对于正确性具有锦上添花的作用．
解题合理是指列式、运算、推理、作图有充分的理由，即遵循正确的思维规律和形式．提高解题的合理性的关键在于提高学生思维能力，重视数学理论知识对于解题的指导作用．
解题简捷是指采用比较简单快速的方法．要做到解题简捷，关键在于培养熟练技巧和提高分析问题的能力，能灵活运用知识找出解题捷径．
解题完满是指完满解决习题提出的全部问题或者求出全部结果，习题无解时需说明理由，不合题意的解答应除去，解答应验算的要验算，有参数的问题应根据参数的取值范围进行全面讨论．
解题清楚是指解题有条理、表达清楚并符合一定的格式．
举例略．
习题10
１．备课在中学教学工作中有何重要意义？备课有哪些工作要做？
答：所谓备课，就是上课前的一切准备工作．备课是教学全过程的基础，它对课堂教学的质量起着决定性的作用．
备课要做好以下工作：（1）备“思想”，备课中应注意思想教育．（2）备“教材”，掌握教材之间的内在联系．（3）备“习题”提高练习的质量．（4）备“学生”，知已知彼效果显著
２．如何钻研教材？主要解决哪几个问题？
答：分析钻研教材．在“精读”教材的基础上，对教材内容进行全面深刻的剖析，研究教材的思想性，研究数学中运动，发展、转化，由量变到质变，对立统一等观点在教材有关章节中的具体体现．尤其在概念教学中侧重于观察、抽象、概括、辨析等能力的培养，在定理教学中侧重于归纳、类比、分析、综合等探究能力的培养．对教学内容较易的侧重于自学能力的培养；对内容较难的则侧重于分析问题和解决问题能力的培养．
钻研教材主要解决以下几个问题：①紧扣教学目的，克服教学中的盲目性．②突出教学重点，克服学习的复杂性．③突破教学“难点”及早防止可能出现的错误．
３．编写数学题的原则是什么？
答：一般来说，编数学题要掌握两条原则：第一是编几何题时，首先要明确需要多少条件才能确定一个图形的形状和大小；第二是求几个未知数就需要几个关系式．
４．试编写一份初中一年级第一学期的代数教学工作计划．
答：略．
５．自选高中一年级立体几何的教材，写一份详细的教案．
答：略．
６．在课堂教学中要处理好哪几种关系？
答：（１）新与旧的关系；（２）深与浅的关系；（３）多与少的关系；（４）死与活的关系；（５）宽与严的关系．
７．数学课的课型有哪些？其基本结构各是怎样的？
答：（1）新授课（或称新知课）．新授课的课时结构有五个环节：①复习引入；②讲解新课；③领会理解；④巩固练习；⑤布置作业．
（2）习题课．习题课的结构一般是：①复习；②练习；③小结；④布置家庭作业．
（3）复习课．这类课一般安排在讲完某章节或全书以后进行，分阶段复习，期末复习和学科总复习三种．
（4）讲评课．这类课的内容与结构有两类，一是分析错误——问题归类——找出原因——加以改正——总结教训．二是列出多种解法——分析比较其思路——加以评价——总结经验．
８．数学课常用的教学方法有哪几种？各是怎样进行的？
答：可参阅第６章的习题３．
９．正确使用数学语言和精心设计板书对数学教学有何作用？
答：语言是人们交流思想的主要工具，语言是直接与思维联系的，它把人的思维活动的结果、认识活动的成果，用文字和图形记录下来．在教学活动中，教师的语言不仅是一般地交流思想，而且是传授系统的科学知识，影响学生思想感情与大的品质的工具，具有特殊重要的意义．数学是一门具有高度抽象性与严密逻辑性的科学，对语言要求更高．板书是教学的书面语言，在教学中具有特别重要的意义．这是因为，数学教学中有许多知识是通过板书来传授的，数学中的解题论证绘图等也是通过一定的板书来示范的．数学教学的过程常常是教师不断地讲述，不断地板书的过程．板书质量的好坏，直接影响数学教学的效果．
正确使用数学语言和精心设计数学板书可以提高教学质量和效果．
10．做作业有何重要意义？如何批改作业？
答：学生完成作业是整个教学过程的重要一环．学生通过自己的实践活动巩固基础知识和掌握基本技能，并逐步形成能力．批改作业是教师了解学生学习情况和检查教学效果的一个有力手段．
对作业的批改是教师全面了解学生的主要途径．所以作为教师，他将付出可观的时间去批改作业，对作业的处理一般有如下几种形式：
（1）全批全改形式．这是一种学生和家长普遍欢迎的形式．对数学作业学生每天交，教师每天改，这可以经常了解学生交纳作业与作业质量情况，可督促学生每天按教师要求去完成学习任务．但是采用这种批改形式教师必须做到对作业进行登记，定期公布，并列为成绩考核的一部分．另外对作业错对不能只划“′”、“?”，而应指出错误所在直至面批，及时总结．这样才能不使教师的宝贵时光每天花在形式主义的作业批改上．
（2）轮流批改形式．由于全批全改对教师的负担太重，占用时间太多，而教师的精力应主要花在备课上，所以部分批改是教师赢得时间的有效手段．这就是将学生分成几组，每次批改一部分，对发现的问题及时在课堂上总结纠正，对原则性错误和普遍性错误更应着重强调和提出解决办法，这比只划“?”、“′”更为有效．但是还要根据实际情况而定，特别是如果学生学习自觉性不高则还应全批全改．
（3）公布答案形式．这种批改形式是教师不直接改作业，而只公布答案，让学生自检．一般要求教师将标准答案公布在《数学园地》而不应只写在黑板上，否则写后即擦，大部分学生课后仍无答案可查．
（4）课堂讲解形式．这种方法是将上次布置的作业在开始上课时加以讲评．这种形式全班同学都可通过讲解而详细了解自己作业的对错，但占用新课时间，不宜普遍应用，而只能对普遍存在严重错误的作业，或者对有益于引进新课的作业题采取这种方法．
作业批改教师要评定成绩登入记分册，评分可鼓励先进，督促后进，起到调动学生学习积极性的作用．对学生做错的作业不能放任自流，而应督促学生及时纠正，对重做作业，教师也应适时批改，认真检查．这样，才能不让学生放过一点可能产生后遗症的问题．
11．如何对学生的成绩进行考核？怎样评定学生的成绩？
答：对学生考查从形式上可分口头考查和书面考查．口头考查主要是通过课堂提问、板演等方式评定平时成绩；书面考查又分平时测验、期中考试和期终考试三种．
学生成绩的评定
（1）命题．一张试卷反映教师对学生学习质量的要求，首先必须符合课程标准、教学大纲，命题必须合理，这就要注意题目的难易层次，注意命题的份量大小，还要考虑命题的覆盖面，命题的格式等．一份好的试卷应能合理地考查出一个学生对知识的掌握情况和能力的发展情况．
（2）评分．评定学生成绩是学校的重要工作之一，是能否升级、毕业的科学依据．
一般说每学期评定学生成绩由平时测验、期中考试、期末考试三部分组成，总评时一般期末考试占的比例较大．
在评分中教师要仔细准确，要注意各种不同解法，要持客观、公平的态度来评定每一个学生的成绩，发现漏评错评应及时改正，这样才不会降低教师的威信．
（3）试卷分析．对试卷分析一般指质和量的分析，其中定量分析主要指登记学生成绩，绘制学生成绩分布状况统计表，各题得分情况统计表、平行班级题差、均差比较表，产生原因分析表；定性分析主要指分析产生问题的原因，存在的主要问题及克服办法，优选最佳解题法，并具体从概念、计算、论证等多方面去分类分析．通过试卷分析，让学生总结经验，扬长补短；让教师心中有数、制定改进措施，从而促进师生共同为提高教学质量而奋斗．
12．课外活动有何意义？如何开展课外活动？
答：作为一个数学教师不仅要搞好课堂教学，而且还要搞好培养能力的第二课堂——课外活动．课外活动开展得好坏，不仅直接影响课堂的教学质量，而且对校风、班风也有一定的促进作用，所以搞好数学课外活动也是教师必不可少的工作之一．数学课外活动工作应该是面向全体学生的，不应认为课外活动仅仅是对数学感兴趣、成绩优异的学生实施组织的活动．
适当地开展各种形式的课外活动，对于全面提高数学教学质量有很大作用．
①可加强对学生的思想教育；②可扩展学生的科学眼界；③可培养学生独立工作的能力；④可提高学生学习数学的兴趣；⑤可培养优秀的人才．
数学课外活动小组，这是一种最实际也是最有效的一种基本组织形式．一般是一个班级成立一个活动小组，10人左右，要有负责人，要有活动计划，要有规章制度，要有活动地点，要有固定的指导教师．若要求参加人数的较多，可按学生不同学习层次分A、B组，分类活动．其活动次数一般以2~4周活动一次为宜，其活动内容一般有如下几种．
①办数学墙报；②专题讨论；③制作教具，参观访问；④数学专题讲座或数学竞赛辅导；⑤数学晚会、数学游戏等．其中有些活动可以数学课外活动小组为骨干，带动全班同学举办活动，这样效果最佳．
习题11
１．何谓数学教育评价？
答：数学教育评价是全面搜集和处理数学课程、教学设计与实施过程中的信息，从而做出价值判断、改进教育决策的过程．
２．数学教育评价有何功能？
答：（1）数学教育评价具有管理功能
数学教育评价以国家数学课程标准或数学教学大纲为基准，它所制定的目标，是为了实现国家数学课程标准或数学教学大纲的各项要求，再通过评价达到标准．只有科学的数学教育评价，才能有效地对数学教育过程进行科学的管理．大量事实表明，凡是管理失调的学校，教育质量都不甚理想．同样一所学校，通过教育评价进行严格的科学管理与不进行教育评价的随机性的自然管理，会呈现出两种截然不同的效果，这就是评价对管理的制约作用．
数学教育评价充分发挥管理的检查、指导、鉴别、强化和反馈等功能，构成坚实的管理系统．一般说来，在宏观上，包括数学教学的宗旨、课程、计划、方法、手段、设备等，都可以进行目标控制；在微观上，包括对每一个学生数学学习上的要求，学生对每一部分数学的知识、技能和数学思想、能力等掌握的程度，对数学教师的备课、上课、批改作业、课外辅导和个别化教育的常规要求等．
（2）数学教育评价具有导向功能
数学教育评价的导向功能是指教育和教学上的指导意向作用，可称为教学导向．有什么样的评价，就有什么样的内容，就会导致什么样的结果．例如，若把升学率作为评价基准，那么就会把教学导向到“题海战术”，而它所导致的结果是学生的“高分低能”．
数学教育评价的导向功应能集中体现评价基准的建立，科学可行的评价目标；必须面向世界、面向未来、面向四个现代化，它应该把我们的数学教学导向到有利于步入世界先进的行列．
数学教育评价的导向功能，还应该服从社会历史发展的大潮，并预示未来的趋向．21世纪不断丰富与发展的数学文化，给数学教育评价带来了崭新的内容．人们对数学教育成果的涵义的理解，比以往任何时候都更加广泛．它不再单纯地使用学习成绩评价，而且考虑用数学思想、数学方法来建立每个公民所必需的数学式的思维．把数学教育导向到发展数学思维过程，包括对思维方式、思维技术、思维层次、思维程序和思维结构的评价．
总之，应充分利用数学教育评价的导向功能，为学生提供尽可能多的机会，“用数学思维，按数学行动”，汲取数学营养，发展数学能力，丰富学生的智慧，实现数学教育对人才培养的总目标．
（3）数学教育评价具有调控功能
所谓调控功能是指调节与控制教学的功能．在数学教育评价的过程中，依靠大量的教育信息，通过信息反馈，评价者按预先设定的评价目标，调节教学，控制教学，使之尽快地达到目标要求，我们称这个评价的过程为调控过程．通过具备调控过程的教育评价，可以成功地获得教育或教学的理想效果，这就是调控功能．调控主要是调节教学内容、控制教学速度、教学节奏、教学密度、教学难度等．将收集到的原始信息，经过分析、比较、选择、加工、纠正后，使其成为符合一定目标要求的信息．如果经过加工的信息与设定的目标还存在一定的偏差，就需要进行再次纠正，直至完全符合目标要求．
数学教育的调控功能涉及的范围比较广泛．可以对数学教育的整体（总目标）进行调控，如对一个地区、一座城市的数学教育目标实施的调控；对某一个年龄段的学生学习数学的总方向进行调控等．也可以对数学教育某一个局部或者某一个被评价的个体进行调控．
除此之外，数学教育评价的调控功能还可以在数学教学的进程中发挥作用．一般说来，用定量评价不能及时对教学作出反馈效果，采用定性评价可以调节与控制学生的认知冲突，完善教学的内部结构，并调控每个学生的情感和动作技能的发展．
调控功能是数学教育评价的价值的重要体现，调节与控制得体的，评价效果好，反之，将会影响评价效果．因此，调控功能在数学教育评价中占有重要的位置．
（4）数学教育评价具有激发功能
数学教育评价的激发功能建立在调控功能的基础之上，调节与控制的目的在于激发学生学习数学的积极性，培养学生的数学意识，使学生热爱数学，这是学好数学的重要前提．
激发是在数学教学的过程中的活动，我们称它是激发性的教学活动．这种活动的外在表现是，学生情绪高昂，善于向教师提出问题．
通过数学教学评价，激发学生积极思维，强化对学生数学思维品质的培养，设置能检测和激发学生学习数学的思维品质的目标，通过形成性评价要求学生能动地调节自己的思维方式．如用思维的概括性去概括数学规律；用思维的创造性引导学生提出问题；用思维的相似性激发学生对同类问题、异类问题作比较，善于同中求异、异中求同，
（5）数学教育评价具有诊断功能
数学教育评价的诊断功能是教育评价自身所决定的，这种诊断功能常常用来提供教育决策的资料．
诊断本来是医疗学名词，是指医生对患者的病情进行检查，经过分析作出结论的过程．在教育评价的学习中，我们借用“诊断”这个术语，用来说明评价的本质属性．但诊断被引入评价体系中后，它的内涵则有所变化．通过对数学教育的各种形式的检测，把所有可提供的教育信息都集中起来进行综合分析，最后，就其结果的价值进行评断，得到科学的结论，这个过程就是教育诊断．教育诊断不是最终的，诊断后对每一个学生进行有针对性的教育，使之达到教育目标的要求才是我们教育评价的目的．
概括地说，教育评价的诊断功能，是为了补救和改善，论断的结论不是评价的归宿，而是教学过程的一部分，是完成后继学习内容的起点．通过教育上的诊断，可以为改进和提高下一阶段的学习提供依据；通过诊断及时了解存在问题的症结和弊端，以便有针对性地改变策略和方法，促进学生的发展．这就是把诊断和治疗统一起来，也可以称之为教育诊治．
数学教育评价的功能，在教育评价的过程中显示，它可以把知识、能力、情感、动作技能等有机地融为一体，并借助它有效地改善教学活动，保持教学平衡．同时，它又是破坏这个平衡的手段，在破坏中调动师生教学的积极性和主动性．推动数学教学的发展，从而又建立了新的平衡．这就是数学教育评价促使数学教学遵循“不平衡——平衡——不平衡——平衡”的规律，在不断地完善与发展．
３．数学教育评价的原则有哪些？
答：数学教育评价的原则可以归纳为如下四条．
（1）要求的统一性
教育是一种永恒的社会现象，但又受社会经济所制约．约束数学教育的直接因素是国家数学课程标准、数学教学大纲．国家数学课程标准、数学教学大纲是中学数学教学的指导性文件，它是确定数学教学目的、教学内容、教学标准的依据，是教师教学和检查教学的依据，也是命题的依据．既然数学教育评价从属于数学教育范畴，那么，国家数学课程标准、数学教学大纲也应该是教育评价的依据．
国家数学课程标准、数学教学大纲是国家对数学教学总体上的统一要求．数学教育评价遵循要求的统一性原则，就是在数学教学上应满足教学目的中的各项要求．
要求的统一性是将对数学教学和数学教学评价的要求标准与培养目标和教学目的的要求统一起来，即按一个客观标准要求，这是指总体评价．这里不排斥个体或局部的差异，因此，在贯彻这条原则时，要把影响评价标准的外部因素和背景综合起来考虑，灵活合理地处理．
（2）过程的教育性
数学教育评价是数学教育的组成部分，在评价的全过程中，评价直接和最终指向的对象是学生个人，是学生的成长和发展．任何将评价与教育分开或对立的做法，都是与这条原则不相容的．
要贯彻过程的教育性评价原则，必须树立新的评价观，把教育评价纳入数学教育使之成为其不可缺少的组成部分，并使它合理地在教学过程中运行．
过程的教育性原则强调在教学的每一个重要环节，针对每一个可教育的内容，通过设定目标，用目标的到达度去评价，继而作出教育价值判断，对成功的做法加以肯定，对不足之处及时纠正和改进，对不利因素加以抵制，使每个学生因评价而受益，在评价中提高和发展．
评价过程的教育性必须建立在测定的客观性和发展性的基础上．要对取得的“固定”的资料进行灵活分析，用发展、变化的观点去评价学生．重视以鼓励性为主的原则建立评价体制，任何可能带来副作用的评价都应予以否定．
形成性评价的教育价值主要通过信息的反馈和纠正实现．反馈的信息提供评价资料，它只表现事物的过去和未来．评价的教育意义是对未来的预示和规范，第一次评价是第二次评价的起点，用第二次评价去完善第一次评价，这个过程是纠正的过程，也是发展与提高的过程，所以，形成性评价中的信息反馈与纠正是教育性原则的核心，只有在对反馈信息的纠正的过程中，才能落实过程的教育性原则．
（3）方法的科学性
数学教育评价要遵循科学规律，采取实事求是的科学态度，讲究科学的评价方法和手段，从客观实际出发，全面考虑制约评价的各个因素，把定量测量与定性估断结合起来，进行切合实际的评价．
数学教育评价要以国家数学课程标准、数学教学大纲为依据，严格按照已确定的教学目标进行客观评价．在评价的过程中，不能随意改变或脱离评价标准，如果确实因为所确立的标准与学生的实际有一定差距，则需要经过对反馈信息的分析，调整教学目标，与此同时，也要纠正学生的缺点和错误，使之最终达到标准．
数学教育评价要全面考查每一个学生，听取各方面的意见，防止仅从某一个方面（或要素）片面地进行评价．例如单纯地从某一次考试的分数来确定学生的水平，单纯地依据一所学校的升学率来评价这所学校的教学水平，其评价方法都是不科学的．
数学教育评价要能全面地评价数学教育和数学教学．我们知道，教育是一个多层次多因素的复杂系统，在数学教学中，诸多因素直接或间接影响着教学效果．因此数学教育评价必须全面考察数学教学中的诸多因素，不应有遗漏．而各因素由于对数学教学影响的程序又不相同，所以对各因素的考察又应区别对待，不可等量齐观．
总之，数学教育评价应坚持一切从实际出发，尊重客观规律，讲究评价方法的科学性．
（4）实施的可行性
数学教育评价是实践性很强的一门科学，它的价值在于可实施、可操作，并能为广大教师、学生和教育工作者所接受．
这一原则要求在对学生进行数学教育评价时，其内容和标准应明确、具体，不能含混不清或不可捉摸；要有统一的评价指标，保证被评价的内容的可测性；要简化评价程序，使广大教师都能使用，这是实施方法的实用性．我国幅员辽阔，教育发展极不平衡，因此，对数学教育评价的实施，必须遵循它的可行性．从教学目标的制定，到对目标的检测，力求简便易行，不能忽视评价的实际效果．在进行教育测定的同时，不能忽视经验判断的作用；在进行定性分析与判断时，必须以科学的测量为重要的依据．只有将两者科学地结合起来，才能实现教育评价的可行性原则．
４．数学教育评价的范围是怎样的？
答：数学教育学总体上由“课程论”、“教学论”和“学习论”组成．相应地，数学教育评价学由“课程评价论”、“教学评价论”和“学习评价论”组成．
５．数学教育评价的模式和方法有哪些？
答：近年来，在世界范围内人们对教育评价的模式、类型作了各种尝试性的探讨，创造了许多可操作、行之有效的评价模式，比较常见的有：
（1）泰勒评价模式：制定数学教学目标作为评价标准，度量与考查学生在达到目标过程中的进步幅度，从而进行数学教学评价．
（2）学校鉴定评价模式：教师与学校组成评定组，通过对学生学习数学的目的、态度、能力的考查，并以检查学生学习的数学内容为重点，通过问卷、口试、笔试的形式，全面分析每一个学生学习数学的水平，由学校作出鉴定．
（3）赞同式教学评价模式：实际上这是一种经验判断．评价者对已占有的材料，如对学生的学习数学的态度、数学作业、课堂表现等，作出主观估计，然后，再进行考核和征求意见，来验证充实这些判断的正确性．
（4）CIPP教学评价模式：这是D．L．斯达夫尔宾和古比（Guba）提出的决策性的评价模式．它的重点内容是数学教学的管理，通过管理水平、作业、效果对数学教学作出评价，同时，通过评价强化数学教学的常规管理．这是向管理要质量的评价．
CIPP评价模式突破了泰勒的框架，它的流程是：背景评价→输入评价→过程评价→结果评价，从中突出教学管理．
（5）形成性的数学教学的评价模式：这是根据B．S．布鲁姆提出的目标评价（formative evaluation）的一种评价模式．它借助数学教学目标，在整个教学过程中进行．形成性教育评价依靠反馈信息，并对此作出纠正，最终达到数学教学目标．
（6）总结性的数学教学评价模式：这是与形成性数学教学评价相对照的产物，是形成性教育评价的最终步骤．总结性评价（Summative evaluation）是针对单元结束或学期、学年结束而对其教学结果进行评价的一种模式．
（7）诊断性的数学教学评价模式：这是根据B．S．布鲁姆的diagnostic evaluation提出的，如果把总结性评价看成阶段性的终了，那么诊断性数学教学评价是阶段性的开始，它是用于了解学生的数学基础知识、基本能力的基础，为制定新的教学计划和对学生新授知识而进行的评价．
大规模的评价项目，由国际机构或国家当局的学术机构组织，由专家精心设计．数学的教与学的过程的评价是地区性普遍适用的评价．主要是针对数学教学，包括数学课堂教学与数学教学成果之间的关系，它的综合作用是促进学生数学学习的提高和进步．
数学教学中的具体评价研究也是相当广泛的，分类也是非常复杂的．但无论怎样分类，以下几项是不可缺少的．
（1）学力评价：是指在数学教学中，对学生的数学知识、数学能力、数学技能和数学潜能的发展与发挥，达到的教学效果的评价．
（2）智能评价：通过现代的智力测验，包括因子分析、智力测验和学习数学的心理测量，达到对每个学生的数学思维和数学的智能水平的评价，其主要目的在于指导学生进行合理而有效地学习数学．智力测验可以通过将测验结果绘成侧面图（Profile）表示分析诊断情况．
（3）个性评价：个性评价又称人格评价．它包括学习数学的态度、兴趣、行为、情绪等．个性评价靠日常观察为主，以学生在学校各项活动中的表现为中心内容，属于数学教养范畴．个性评价是调节学习的心理素质和外部行为的重要手段，促使学生形成良好的思维品质与个性品质．
（4）思维评价：这是主要研究数学思维的形成与发展．突出数学思维的概括性、抽象性、问题性和相似性．对思维的评价范围比较广泛，我们集中在思维的全面性、思维的深刻性、思维的批判性、思维的灵活性、思维的敏捷性和思维的创造性的评价研究上，对上述六方面的综合评价就是对学生的数学思维品质的评价．
（5）教师评价：教师评价是对数学教师的素质、业务、成果、职业道德的全面评估．首先考虑数学教师的事业心和责任感．然后考虑在教学活动中的表现与作用以及在学生数学发展中的主导作用的成果．最后，是对数学教师的文化和学术方面的考查．
数学教育评价模式，种类甚多，我们不再一一列举．
６．学生学习成绩评价的意义是什么？
答：学习是过程，学习成绩是学习过程中每个阶段的收获．于是，我们研究学生学习成绩的评价，包含对学生学习过程和过程的结果的评价．
对学生学习成绩评价的主要目的是促进学生的发展和学业水平的提高．因此，除了大面积和整体上采用绝对评价或绝对评价与相对评价相结合的评价外，还应注意对学生个体也可用相对评价，评价的基准是学生本人，只有自己与自己相比较，才有利于发挥评价的激发功能和鼓励功能，使每个学生了解自己在集体中的相对位置，同时，也使自己知道学习上的进步和存在的问题，以推动每一个人在不同的起跑线上共同前进．
７．学生学习成绩评价的方法有哪些？
答：学生成绩的评价可由教师评价，也可由学生自我评价．
教师评价学生最直接最常用的方法是测试法．无论是诊断性评价、形成性评价、还是终结性评价，都离不开测验或测试．
学生的自我评价符合现代的评价观，它使评价从外部的转化到内在的、从形式的转向实质的、从被动的转向主动的．学生自我评价的方法很多，其评价的基础资料都与测验或测试相关．
８．如何求一次数学考试成绩的标准分？
答：标准分定义为某次考试的原始分与参加考试全体的平均分之差除以这次考试的标准差所得的商．
用公式表示为：
式中的
９．何谓质量管理图？如何制作和使用？
答：利用多次考试标准分的平均分
例如，某班级52名学生在一学年里进行了9次数学考试，每次考试全班的平均分和标准差见表11－3．
次 数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
班级平均分 | 83．6 | 86．2 | 89．4 | 88 | 85 | 78．1 | 86 | 89．2 | 84．9 |
班级标准差 | 9．4 | 8．5 | 6．9 | 8．2 | 9．3 | 8．2 | 6．35 | 5．4 | 7．8 |
表11－3：平均分和标准差表
质量管理图的制作：
（1）根据每次测验的班级的平均分和标准差，将学生本人的原始分化为标准分．
以学生甲为例，见表11－4．
考试次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
原始分 | 86 | 84 | 95 | 98 | 92 | 89 | 94 | 86 | 97 |
标准分 | 0．25 | -0．26 | 0．81 | 1．22 | 0．75 | 0．96 | 1．26 | -0．59 | 1．55 |
表11－4：学生甲在初中一学年9次数学考试成绩对照表
(2)取各次标准分的算术平均数
（3）画图
1 2 3 4 5 6 7 8 9 m 2 1 o -1 -2 图11-2
以横坐标m表示测验序号，纵坐标Z表示标准分数，以
下面，以学生甲所得的各次标准分在
（1）因为在质量管理图中，
考察
（2）
学生在一般正常学习状态下，他每次考试的标准分在图上的对应点，围绕
对平衡状态下的学习成绩会得到两种不同的评价，当
习题12
１．中学数学教师应具有怎样的职业道德？
答：合格中学数学教师的职业道德结构须具备对待数学教育事业的道德、对待教育对象的道德、对待教师集体的道德和对待学生家长的道德等．
（1）对待数学教育事业的道德
数学教师要热爱教育事业，这是最基本的职业道德．中学数学教师则还要热爱自己的数学专业教育工作．要不怕辛苦、不斤斤计较个人得失，努力提高自身的素质，积极进取，不断地提高自己的思想文化修养，充实数学专业知识，提高教育教学水平，严格要求自己为人师表．
（2）对待教育对象的道德
教师要热爱和关心学生，尊重和信任学生，公正平等地对待学生，严格要求每一个学生．
（3）对待教师集体的道德
一个教师在教师集体中应尊重他人，信任他人，与其他教师互相支持，团结互助，关心集体，依靠集体．提倡竞争，但绝不可打击别人提高自己，而应该目标一致，友好竞争、互相促进，共同进步．
（4）对待学生家长的道德
主动与学生家长和有关方面取得联系，交换学生在校内外的表现情况，商讨促使学生进步的方法，认真听取他们对教育工作的建议．教师应避免暗示家长体罚孩子，避免在家长面前告孩子的状和避免在孩子面前贬低家长．
对于一名数学教师，还应结合中学数学教育的一些特点，加强如严谨、踏实、坚定、沉着、热情、自信、勤奋、机敏等良好的个性品质修养，以便能更有效地促进和调动学生身心发展的所有内在因素，使学生能奋其志、激其趣、善于思、广于用．
２．合格的中学数学教师应具有怎样的知识结构？
答：中学数学教师的知识结构应包括三个基本方面：一是数学专业知识；二是教育学、心理学和数学教育学方面的知识；三是广泛的其他文化科学的基础知识．
（1）数学专业知识
中学数学教师的数学专业知识应具有面比较广、基础性、条理性和系统性强的特点，可分为三个层次：
首先，应通晓中学数学的全部内容（包括初等代数、初等几何学、三角学、解析几何学、微积分和概率统计的初步知识等）；非常熟悉教材并深刻理解和掌握知识体系，正确把握重点难点；熟练地解题，熟悉各部分典型例题并明确其目的作用，并能做到融会贯通．
其次，掌握与中学数学教学关系比较密切的高等数学课程（如：数学分析、高等代数、空间解析几何、高等几何、概率统计、计算机原理和算法语言等基础知识）．在一定程度上了解其对中学数学的指导作用，并能实际用于指导解决中学数学问题．
再次，对于函数论、常微分方程、近世代数、初等数论等也要有所知晓，从而可以对数学的发展与实际应用有所了解．
（2）教育学心理学方面的知识
数学教师必须掌握教育学心理学的基础知识，并能应用于中学教育的实际．缺少这方面的理论指导，在数学教学和教育活动中就会陷入盲目性，直接影响效果．要能用掌握的心理学和教育科学的基本原理研究中学生数学学习的规律、中学数学教学的规律，研究和改革教学方法．
师范院校的学生要把教育学、心理学知识与教育见习，教育实习，教育调查等紧密结合，努力使理论与实践结合．
（3）哲学和其他文化科学知识
在绪论中已阐述过中学数学与哲学、逻辑学等的密切联系．数学教师对学生的影响远远超过数学专业知识的范围，所以数学教师需要尽可能有广博的其它自然科学与社会科学知识．应当看到，知识是连接教师和学生的纽带，通过它可以使师生在心理上更为接近，有助于教师提高威信，教师教学和教育工作的影响也就能更多地渗入到学生生活的各个领域，达到教书育人之目的．
３．怎样理解中学数学教师应具有的能力结构？你还有哪些差距？
答：中学数学教师的能力结构应由数学能力、自学能力、数学教育学及其研究能力等组成，其中数学能力和自学能力是基础，应达到较高的要求；教学能力也应达到一定的水平，并逐步加强和提高；数学教学的研究能力也要注意锻炼和发展提高．
（1）数学能力
在中学数学教学中，要培养学生的运算能力、空间想象能力、思维能力以及运用数学知识来分析和解决实际问题的能力．当然，数学教师自身的这些能力就应该达到更高水平．此外，还需具有一定的分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎与类比等能力．
数学教师还要有较强的数学鉴别能力．它表现在对数学问题未作完善和详尽的推理论证或运算之前，就能直接迅速正确地对问题的正误、解法优劣作出判断和鉴别．这在数学教学中对解答学生的问题是十分重要的．
（2）自学能力
自学能力是指独立获得新的数学知识和新的数学教育知识的能力．自学能力是一种可持续发展的能力．主要表现在查阅文献资料，使用工具书，独立阅读、思考、教育、评价、撰写学习心得和运用知识解决问题等方面．在自学过程中，要善于独立思考，要有自己的见解，勇于提出问题和不断探索，不能停留在“书云亦云”的地方．
（3）数学教学能力
①组织使用教材，选择运用教法的能力．
数学教师要完成好教学任务，全面实现教学目的，必须熟悉国家数学课程标准、中学数学教学大纲，钻研全部中学数学教材，深刻理解教材的体系，掌握各部分内容的地位、作用和重点、难点、关键．同时要根据班级学生的年龄和心理特征、思维发展水平和已有的数学知识水平，正确组织和处理教材，选择运用合适的教法．因此合理组织使用教材，选择运用合适的教学方法的能力是教师的基本和重要的教学能力之一，它表现于教师备课和教学的全过程．
②语言表达能力
教师的语言表达能力直接影响着教学效果．这里的语言表达不仅指正确使用数学语言，讲解条理清楚、逻辑性强，而且还要生动，能吸引学生的注意力，启发他们积极思维，能激发学生学习的兴趣，同时也要适合中学生的年龄特点．
③组织管理能力
对教学活动的开展有明确的目标和计划，每个环节安排紧凑，衔接自然；善于把全班同学组织进教学活动之中，激发大家的学习兴趣，在全班培养起良好的学习习惯；教学活动能面向全班，面向大多数，同时能兼顾两头，进行因材施教；能把握教学活动的开展，果断妥善地处理突发性事件；在教学中自然地体现积极的思想教育．
④自我调节控制的能力
教案在具体实施时，需要根据教学活动的实际情况加以调整．因此，数学教师需要具有自我调节控制的能力．为了迅速获得学生的信息反馈，教师要善于观察学生听课的表现，做练习的反映，捕捉学生提出问题回答问题时的思维动向；要善于分析和抓住自己教学上的不足之处以及学生学习中存在的问题，有针对性地采取措施加以补救或完善，这都需要教师具有较强的自控与应变能力．这种能力不限于指上一堂课，也可以指一个单元，甚至是整个学期的教学．
数学教学能力是在教学实践中逐步形成和提高的．因此师范生应特别重视有关数学教育理论的学习和教育实习的实践锻炼，并在平时尽早开展一些如演讲、板书训练、微格教学、说课、试讲等活动，为教学能力的形成早作准备．
（4）一定的数学教学研究能力
数学教学研究能力是一种综合的能力，涉及到许多方面，包括集体备课、公开教学及评议，选择研究课题，进行调查和搜集整理资料，对教学提出局部的改进或进行设计，应用数学教育理论加以研究，对教学实践进行总结评价，整理研究成果，阐述自己的见解，写出教学经验总结或教学研究的论文等许多方面．
５．集体备课的重要意义是什么？集体备课应遵循哪些原则？
答：集体备课是针对数学教学中共同关心的问题而进行研究讨论的业务活动．以保证依据课程标准、数学教学大纲的统一要求进行正常教学，同时充分发挥每位教师的积极性，依靠集体的智慧共同搞好教学，不断提高教学质量．通过集体备课还有利于教师之间感情的融洽，增强团结，互相学习，取长补短．集体备课是帮助新教师迅速提高教学能力的最有效的活动．
集体备课应遵循的原则有：
（1）同年级的数学教师组成的备课组在每学期要有一个集体备课的活动计划，确定出每次集体备课的时间、内容、要求．
（2）每次集体备课活动前，要使每位教师先作准备，深入钻研有关教材，要确定好中心发言人，否则会流于形式．
（3）集体备课时所讨论的问题，应集中讨论最主要的内容，如教学目的、教材中的难点、重点、关键的处理．
（4）集体备课要充分发扬民主，互相学习，取长补短；发生分歧时，则要求同存异，留待实践中鉴别优劣．
（5）每一个教师都要自觉积极参加集体备课活动，并以集体备课的成果来指导自己的数学教学工作．
（6）集体备课不能要求搞“一刀切”，不能要求上课是统一的模式．否则就束缚了教师的手足，妨碍了教师针对自己所教学生的具体情况来进行工作，妨碍了教师主观能动性的发挥，也就影响了教学效果．
６．观摩教学的基本类型有哪些？它们的内容是什么？新教师应怎样对待？
答：由于组织观摩教学的目的、范围的不同，通常有以下四种类型的公开课．
（1）示范课．一般是专门组织的具有较大影响的公开课．在本地市、县教委教研室负责组织的公开课，也有本校或教研组专门组织的公开课，还有为数学本专科毕业班学生的教育见习而组织的公开课．这些公开课一般都是由教学经验丰富教学水平较高的中老年教师或教学水平突出的青年教师担任讲课的．这种课要求有一定的教育理论作指导，并在某些方面带有示范性．作为师范生或新教师应尽可能多听一些示范课，以吸取别人的教学经验，学习一些好的教学方法，使自己能很快地把握数学教学，以取得较好的教学效果．
（2）专题试验课．它是针对教研活动中所提出的某一个专题而专门组织的专题试验课．作为师范生或新教师也应尽可能多听一些专题试验课，以开阔眼界，参加进教学研究活动中，促进自己数学教学及教学研究能力的提高．
（3）青年教师评优课．这是青年教师提高教学水平的有效手段，也关系到青年教师威信的提高．评优课的成功对于增强教师本人的自信心极有好处．新教师应积极参加评优活动，主动争取教研组的支持和帮助，吸取老教师的经验，精心设计教学方案，全力以赴上好评优课．
（4）随堂听课．这是学校教导处及教研组平时检查督促了解每个教师平时教学情况而进行的．同科教师间的平时互相听课，也可以看成是公开课的一种形式．它能够比较真实地了解教师的教学水平和学生的正常学习情况，也便于使用同教材的教师互相学习．新教师要兢兢业业，努力上好每一堂课，经得起领导的随时检查．也只有做到这样，教学质量才有可靠的保证．
７．如何准备观摩教学课？
答：一次公开教学的好坏，取决于准备工作是否充分．各种类型的公开课都要认真确定主讲教师，确定公开教学内容，组织教师进行集体备课，以利于集中集体智慧．在集体讨论的基础上，主讲人应认真写好教案，并在上课前印好，发给听课的人使用．
８．评议一堂数学课应从哪些方面去分析？
答：（1）从教学目的要求上去分析．教学目的要明确，教学要求要适当．有了明确的教学目的，教学才能做到有的放矢．教学要求的适当与否衡量的标准是课程标准、教学大纲．
（2）从教学内容的组织和教学原则的适应上去分析．教学内容首先不能有科学性的错误．还要有条理，要揭示出教材的内在联系，要尽可能注意用教材内在的辩证因素培养学生的辩证唯物主义观点．教学安排要遵循教学原则．
（3）从“双基”教学是否落实去分析．即是否重视了数学基础知识和数学基本技能的教学与练习，是否突出了重点，抓住了关键，解决了难点．
（4）从教学指导思想上去分析．即是否采用了启发式教学，能否根据教学内容和学生实际选用了恰当的教学方法，教师的主导作用和学生的主体作用发挥得如何，学生学习的积极性调动得如何？创造意识是否得到了培养？
（5）从是否注意培养学生的能力去分析．表现在是否注意教给学生数学的思想方法、常用的学习与研究的方法和逻辑基础知识，是否带领学生一起思维，是否注意教学生运用数学知识去解决实际问题．
（6）从教学进程的组织、语言、板书和教态去分析．整个教学进程组织得是否紧凑协调；内容、时间安排得是否得当；语言表达是否清晰响亮，准确规范，简炼生动；教态是否大方自然；板书是否有计划，是否美观、合理等等．
（7）从是否恰当地使用教学辅助手段，包括使用小黑板、直观教具去分析．自制简单适用的教具常可取得好的效果，如果可能，还可使用幻灯、投影、多媒体等现代化教学手段．
（8）从教学效果去分析．一堂课的成功最后还得落实到有较好的教学效果上来．学生对教材能否理解和掌握，课堂气氛是否和谐，学生能否回答教师提出的问题，能否完成当堂的作业练习等，都能反映一堂课的教学效果．
以上几点不是孤立的，而是密切联系的．上好一堂课的根本是深入钻研教材．那些忽略对教材内容的钻研，只在方法上打圈子的做法，是一种舍本逐末的做法．师范生在教育见习中，要学习对所听的课进行评议；在进行试讲时，要认真开展评议活动，这和讲课本身一样是锻炼和提高的机会．一个新教师也要经常对自己的课加以评价，在别人听自己的课后，要主动请别人评议，特别是了解不足，才有努力方向．
９．教学试验的主要内容有哪些？
答：教学试验一般由教育行政部门负责组织，把任务分配到指定的学校、班级和教师．
对于新的教学方法的研究，一般地也从试验入手，通过实践，总结经验教训，从而鉴别这种方法的优缺点．系统的试验，经过几次反复，再进行总结、加工、整理才有可能上升为理论．
10．教学试验常用的基本方法有哪些？
答：教学试验的方法最常用的有观察试验法和控制实验法．
（1）观察试验法．先确定观察的目的和任务，拟订出进行观察的计划，然后按计划进行一系列的观察，并记录每次的数据结果．最后，把各方面观察所得的材料进行统计整理，再与其他有效资料对照分析，利用教育学、心理学的理论知识进行总结，并提出合理的改进方案．
（2）控制实验法．它是在不破坏对象的自然条件下，采用实验室中的组织形式进行工作的．例如对中学数学某一段教材和做法的研究，可以在同年级挑选出条件相同的两个班或更多的班级，由水平相当的教师采用不同的教学方法进行教学，然后进行考试测验，统计分析，了解学生学习的质量、耗费的时间、灵活运用的程度以及对其他学科学习的影响等各项指标，最后得出论断．
不论用什么方法进行试验，教学试验的实质就是对教学的某些理论或实际问题作出科学回答的系统的活动过程．
11．教学试验应如何评价？教学试验的总结和研究报告有哪些内容？
答：教学试验是一种教学科研活动，必须按照科学的方法来进行评价与总结．这就要求对试验的设计过程、数据收集、统计分析和试验成果等内容进行客观的科学分析，并作出科学的结论，进而提出符合实际的改进意见．定量定性对比评价，这是一种科学的评价方法，利用试验中得到的数据和事实，运用建立数学模型的方法，经过统计计算与分析能得出定量、定性的结果．
一般试验总结和研究报告包括以下的内容：
（1）教学试验工作的概述．这包括有本课题的简要背景与来历、主要意义及评述他人已做的工作成果．
（2）准确地阐述本课题研究的范围、目的、过程、内容和测试情况等．
（3）阐明研究的结果（包括定量定性的结论）．
（4）讨论研究的结果．
（5）列出主要的参考文献．
12．开展专题研究应注意些什么问题？
答：开展数学教学专题研究应注意以下几点：
（1）根据平时数学教学写好教后札记，不断积累材料．只有不断积累材料，特别是结合自己教学实践积累的第一手材料，才能使专题研究有坚实的基础．
（2）恰当地选定课题，制定研究计划．专题研究课题的选定是关键，课题的选定应该是自己最感兴趣或最了解的内容，也可以是存有争议、尚待研究的内容．课题的选取还必须对教学有一定的指导意义．一般可从比较小的、具体的课题入手，积累经验，逐步扩大．
（3）围绕课题的研究，除查阅有关文献资料之外，还要大量搜集有关的资料和原始素材数据，制作卡片．
（4）运用哲学、教育学、心理学、逻辑学和数学教育学的现有理论，对所搜集的材料（包括事实与数据）加以研究分析，作出恰如其分的结论，并写出文稿．
（5）反复修改初稿，进一步充实初稿，然后在有关教学教育研究的讨论会上交流，质量较高的，有独创的见解或有新意的，还可向有关杂志投稿．
（6）在教学实践中应用并检验研究成果，并继续搜集与之相近的专题材料，以期扩大研究成果．
进行数学教学专题研究，能有效地促进教师自身理论水平、业务能力的提高，也有助于提高数学教学质量．每位数学教师，特别是青年教师必须把数学专题研究作为一项重要的经常的工作开展起来．
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